15.（10分）如图，在$△ ABC$中，AO平分$∠ BAC$交BC于点O，以点O为圆心，BO长为半径的$\odot O$与AB相切于点B，与BC相交于点D.
(1)求证：AC是$\odot O$的切线.
(2)若$AB=5$，$AC=13$，设$△ ABO$的面积为$S_1$，$△ ABC$的面积为$S_2$，$m=\dfrac{S_1}{S_2}$.求常数$m$的值.

15.(1)证明:过点O作$OE⊥AC$,垂足为E,如图所示.
因为以点O为圆心,BO长为半径的$\odot O$与AB相切于点B，
所以$OB⊥AB$.
因为AO平分$∠BAC$，
所以$OE=OB$，
所以OE是$\odot O$的半径.
又因为$OE⊥AC$，
所以AC是$\odot O$的切线.
(2)解:$\dfrac{5}{18}$.

16.(10分)如图，$\odot O$是$△ ABC$的内切圆，与$AB$，$BC$，$CA$分别相切于点$D$，$E$，$F$，$∠ DOE=120°$，$∠ EOF=150°$。
(1)求$△ ABC$的三个内角的大小.
(2)设$\odot O$的直径为$d$，求证：$d=AB+AC-BC$.

16.(1)解:因为$\odot O$是$△ABC$的内切圆,与AB,BC,CA分别相切于点D,E,F，
所以$AB⊥OD,BC⊥OE,CA⊥OF$，
所以 $∠ODB = ∠OEB = ∠OEC = ∠OFC=90°$.
因为$∠DOE=120°,∠EOF=150°$，
所以$∠B = 360° - ∠ODB - ∠OEB - ∠DOE = 60°$, $∠C = 360° - ∠OEC - ∠OFC - ∠EOF=30°$，
所以$∠A=180°-∠B-∠C=90°$，
所以$∠A,∠B,∠C$的度数分别为$90°$,$60°$,$30°$.
(2)证明:由切线长定理,得$AD=AF$,$BD=BE$,$CF=CE$，
所以$BD+CF=BE+CE=BC$，
所以$AB+AC=AD+BD+CF+AF=2AF+BC$，
所以$2AF=AB+AC-BC$.
因为$∠ODA=∠OFA=∠A=90°$，
所以四边形ADOF是矩形，
所以$OD=AF$.
因为$\odot O$的直径为d,OD为$\odot O$的半径，
所以$d=2OD=2AF$，
所以$d=AB+AC-BC$.