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1. 写出下列方程的二次项系数、一次项系数和常数项：
(1) $1 - 2x^2 = 0$；
(2) $3x^2 = 4x$。
(1) $1 - 2x^2 = 0$；
(2) $3x^2 = 4x$。
答案
(1) 整理为标准形式$-2x^2+0x+1=0$，二次项系数为-2，一次项系数为0，常数项为1；(2) 移项得$3x^2-4x=0$，二次项系数为3，一次项系数为-4，常数项为0。
解析
【分析】
要确定一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，首先要明确一元二次方程的标准形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项。解题时首先需要把给出的方程通过移项等操作整理为标准形式，再对应提取各项系数即可，注意如果方程缺少某一项，该项的系数为0，不要遗漏。
【解析】
(1) 将方程$1 - 2x^2 = 0$调整顺序整理为标准形式：$-2x^2+0x+1=0$，对照标准形式可知，二次项系数为-2，一次项系数为0，常数项为1；
(2) 对$3x^2 = 4x$进行移项，将右侧的$4x$移到左侧，移项需变号，得到标准形式$3x^2-4x=0$，即$3x^2-4x+0=0$，对照标准形式可知，二次项系数为3，一次项系数为-4，常数项为0。
【答案】
(1) 整理为标准形式$-2x^2+0x+1=0$，二次项系数为-2，一次项系数为0，常数项为1；(2) 移项得$3x^2-4x=0$，二次项系数为3，一次项系数为-4，常数项为0。
【知识点】
一元二次方程的一般形式，一元二次方程的项与系数
【点评】
本题是基础题型，核心考查对一元二次方程一般形式的理解与应用，解题的关键是先将方程化为标准形式，要注意缺失项的系数为0，移项时不要弄错符号，避免因细节失误丢分。
【难度系数】
0.9
要确定一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，首先要明确一元二次方程的标准形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项。解题时首先需要把给出的方程通过移项等操作整理为标准形式，再对应提取各项系数即可，注意如果方程缺少某一项，该项的系数为0，不要遗漏。
【解析】
(1) 将方程$1 - 2x^2 = 0$调整顺序整理为标准形式：$-2x^2+0x+1=0$，对照标准形式可知，二次项系数为-2，一次项系数为0，常数项为1；
(2) 对$3x^2 = 4x$进行移项，将右侧的$4x$移到左侧，移项需变号，得到标准形式$3x^2-4x=0$，即$3x^2-4x+0=0$，对照标准形式可知，二次项系数为3，一次项系数为-4，常数项为0。
【答案】
(1) 整理为标准形式$-2x^2+0x+1=0$，二次项系数为-2，一次项系数为0，常数项为1；(2) 移项得$3x^2-4x=0$，二次项系数为3，一次项系数为-4，常数项为0。
【知识点】
一元二次方程的一般形式，一元二次方程的项与系数
【点评】
本题是基础题型，核心考查对一元二次方程一般形式的理解与应用，解题的关键是先将方程化为标准形式，要注意缺失项的系数为0，移项时不要弄错符号，避免因细节失误丢分。
【难度系数】
0.9
2.若方程$(m+2)x^{|m|}+3mx+1=0$是关于x的一元二次方程，则m的值是
2
.答案
2. 2
解析
【分析】
要确定m的值，需结合一元二次方程的定义梳理限制条件：一元二次方程需同时满足两个核心要求，一是未知数的最高次数为2，二是二次项系数不能为0（否则方程最高次项消失，不再是二次方程）。我们可以根据这两个条件分别列等式和不等式，联立求解即可得到m的正确取值。
【解析】
解：
∵方程$(m+2)x^{|m|}+3mx+1=0$是关于x的一元二次方程
∴根据一元二次方程的定义，可得：
$\begin{cases}|m|=2 \quad \mathrm{（未知数最高次数为2）} \\m+2 ≠ 0 \quad \mathrm{（二次项系数不为0）}\end{cases}$
由$|m|=2$，解得$m=2$或$m=-2$
由$m+2 ≠ 0$，解得$m ≠ -2$
综上，m的值为2。
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程的定义、绝对值的性质
【点评】
本题是一元二次方程概念的基础应用题型，易错点是容易忽略二次项系数不为0的限制条件，误将m=-2也纳入答案，求解这类含参数的方程定义类问题时，要注意把所有限制条件考虑完整，避免多解错误。
【难度系数】
0.7
要确定m的值，需结合一元二次方程的定义梳理限制条件：一元二次方程需同时满足两个核心要求，一是未知数的最高次数为2，二是二次项系数不能为0（否则方程最高次项消失，不再是二次方程）。我们可以根据这两个条件分别列等式和不等式，联立求解即可得到m的正确取值。
【解析】
解：
∵方程$(m+2)x^{|m|}+3mx+1=0$是关于x的一元二次方程
∴根据一元二次方程的定义，可得：
$\begin{cases}|m|=2 \quad \mathrm{（未知数最高次数为2）} \\m+2 ≠ 0 \quad \mathrm{（二次项系数不为0）}\end{cases}$
由$|m|=2$，解得$m=2$或$m=-2$
由$m+2 ≠ 0$，解得$m ≠ -2$
综上，m的值为2。
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程的定义、绝对值的性质
【点评】
本题是一元二次方程概念的基础应用题型，易错点是容易忽略二次项系数不为0的限制条件，误将m=-2也纳入答案，求解这类含参数的方程定义类问题时，要注意把所有限制条件考虑完整，避免多解错误。
【难度系数】
0.7
3. 有一天,甲打算拿着竹竿进屋,横拿竖拿都进不去,横着比门框宽4尺,竖着比门框高2尺.乙教他沿着门的两个对角斜着拿竿,甲一试,不多不少刚好进去了.你知道竹竿有多长吗?设竹竿长度为x尺,请根据这一问题列出方程:$\underline{(x-4)^2 + (x-2)^2 = x^2}$.
将其整理为一般形式:$\underline{x^2 -12x +20 =0}$.
将其整理为一般形式:$\underline{x^2 -12x +20 =0}$.
答案
门框宽为$(x-4)$尺，门框高为$(x-2)$尺，由勾股定理列得方程$(x-4)^2+(x-2)^2=x^2$，展开后整理得一般形式$x^2-12x+20=0$。
解析
【分析】
解题时首先梳理各量的对应关系：已知设竹竿长为x尺，横着拿比门框宽4尺，说明门框宽度比竹竿短4尺，即门框宽为(x-4)尺；竖着拿比门框高2尺，说明门框高度比竹竿短2尺，即门框高为(x-2)尺。斜着拿竹竿刚好进门，说明竹竿长度等于矩形门框的对角线长度，门框的宽、高和对角线恰好构成直角三角形，可利用勾股定理列方程，再通过展开、移项、合并同类项将方程整理为一元二次方程的一般形式即可。
【解析】
解：
∵ 设竹竿长度为x尺，
由横着比门框宽4尺，可得门框宽度为$(x-4)$尺；
由竖着比门框高2尺，可得门框高度为$(x-2)$尺。
∵ 沿门的对角斜拿竹竿刚好进入，说明竹竿长度等于矩形门框的对角线长，门框的宽、高与对角线构成直角三角形，对角线为斜边，根据勾股定理“直角边的平方和等于斜边的平方”，可列方程：
$(x-4)^2 + (x-2)^2 = x^2$
接下来整理为一元二次方程的一般形式：
第一步展开左边各项：
$x^2 - 8x + 16 + x^2 - 4x + 4 = x^2$
第二步合并左边同类项：
$2x^2 -12x +20 = x^2$
第三步移项合并同类项：
$x^2 -12x +20 = 0$
【答案】
列方程为$\boldsymbol{(x-4)^2 + (x-2)^2 = x^2}$，一般形式为$\boldsymbol{x^2 -12x +20 =0}$
【知识点】
勾股定理的应用，列一元二次方程，一元二次方程的一般形式
【点评】
本题以生活实际场景为载体，既考查了将实际问题转化为数学问题的建模能力，又考查了勾股定理的使用和整式化简运算的能力，理清各数量的对应关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.75
解题时首先梳理各量的对应关系：已知设竹竿长为x尺，横着拿比门框宽4尺，说明门框宽度比竹竿短4尺，即门框宽为(x-4)尺；竖着拿比门框高2尺，说明门框高度比竹竿短2尺，即门框高为(x-2)尺。斜着拿竹竿刚好进门，说明竹竿长度等于矩形门框的对角线长度，门框的宽、高和对角线恰好构成直角三角形，可利用勾股定理列方程，再通过展开、移项、合并同类项将方程整理为一元二次方程的一般形式即可。
【解析】
解：
∵ 设竹竿长度为x尺，
由横着比门框宽4尺，可得门框宽度为$(x-4)$尺；
由竖着比门框高2尺，可得门框高度为$(x-2)$尺。
∵ 沿门的对角斜拿竹竿刚好进入，说明竹竿长度等于矩形门框的对角线长，门框的宽、高与对角线构成直角三角形，对角线为斜边，根据勾股定理“直角边的平方和等于斜边的平方”，可列方程：
$(x-4)^2 + (x-2)^2 = x^2$
接下来整理为一元二次方程的一般形式：
第一步展开左边各项：
$x^2 - 8x + 16 + x^2 - 4x + 4 = x^2$
第二步合并左边同类项：
$2x^2 -12x +20 = x^2$
第三步移项合并同类项：
$x^2 -12x +20 = 0$
【答案】
列方程为$\boldsymbol{(x-4)^2 + (x-2)^2 = x^2}$，一般形式为$\boldsymbol{x^2 -12x +20 =0}$
【知识点】
勾股定理的应用，列一元二次方程，一元二次方程的一般形式
【点评】
本题以生活实际场景为载体，既考查了将实际问题转化为数学问题的建模能力，又考查了勾股定理的使用和整式化简运算的能力，理清各数量的对应关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.75
4. 自学教科书第3页，标记出一元二次方程的根的定义。
答案
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。
解析
【分析】
这是一道基础概念识记类题目，解题思路非常清晰：首先明确题目要求是提取一元二次方程根的定义，我们可以先回忆通用的方程解的定义特征，再对应一元二次方程的专属命名，也可以直接对照教材第3页的内容抓取核心表述，重点抓住“使方程左右两边相等”“未知数的值”“也叫做根”这几个关键要素即可。
【解析】
我们先回顾方程解的通用定义：能使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。对于一元二次方程这类特殊的整式方程，它的解有专属的名称“根”，结合教材给出的标准表述，最终可以得到一元二次方程根的定义。
【答案】
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 方程的解的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，侧重检验对教材核心定义的记忆和理解情况，熟练掌握这类基础概念，是后续学习一元二次方程的求解、应用等内容的重要前提，同学们在学习新章节时要重视课本基础内容的梳理和识记。
【难度系数】
0.9
这是一道基础概念识记类题目，解题思路非常清晰：首先明确题目要求是提取一元二次方程根的定义，我们可以先回忆通用的方程解的定义特征，再对应一元二次方程的专属命名，也可以直接对照教材第3页的内容抓取核心表述，重点抓住“使方程左右两边相等”“未知数的值”“也叫做根”这几个关键要素即可。
【解析】
我们先回顾方程解的通用定义：能使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。对于一元二次方程这类特殊的整式方程，它的解有专属的名称“根”，结合教材给出的标准表述，最终可以得到一元二次方程根的定义。
【答案】
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 方程的解的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，侧重检验对教材核心定义的记忆和理解情况，熟练掌握这类基础概念，是后续学习一元二次方程的求解、应用等内容的重要前提，同学们在学习新章节时要重视课本基础内容的梳理和识记。
【难度系数】
0.9
5. 一元一次方程的根有几个？一元二次方程的根有几个？若不止一个，请举例说明。
答案
一元一次方程的根只有1个；一元二次方程的根可能有2个，例如方程$x^2-1=0$的根为$x_1=1$，$x_2=-1$，存在两个不同的根。
解析
【分析】
我们可以结合两类方程的定义逐步推导根的个数：①先分析一元一次方程：它是只含1个未知数、未知数最高次数为1的整式方程，整理为标准形式后通过移项、系数化为1，只能得到唯一的x值，因此根只有1个；②再分析一元二次方程：它是只含1个未知数、未知数最高次数为2的整式方程，代入不同的x值可能都满足方程，因此根的个数可能不止1个，我们可以通过简单的因式分解类方程举例验证。
【解析】
1. 一元一次方程根的个数推导：
一元一次方程的标准形式为$ax + b = 0$（$a、b$为常数，且$a ≠ 0$），对其变形：移项得$ax = -b$，系数化为1得$x = -\frac{b}{a}$，仅存在唯一的x满足方程，因此一元一次方程的根只有1个。
2. 一元二次方程根的个数推导与举例：
一元二次方程的标准形式为$ax^2 + bx + c = 0$（$a、b、c$为常数，且$a ≠ 0$），在实数范围内它的根可能有2个（相等或不等），也可能没有实数根。举例如下：取方程$x^2 - 1 = 0$，将左边因式分解得$(x-1)(x+1)=0$，可得$x-1=0$或$x+1=0$，解得$x_1=1$，$x_2=-1$，即该方程存在2个不同的根。
【答案】
一元一次方程的根只有1个；一元二次方程的根可能有2个，例如方程$x^2-1=0$的根为$x_1=1$，$x_2=-1$，存在两个不同的根。
【知识点】
一元一次方程的解、一元二次方程的根、因式分解解方程
【点评】
本题是方程板块的基础概念题，重点考查对一元一次、一元二次方程根的数量的理解，需要熟练掌握两类方程的定义，能通过实例感知一元二次方程根的特点，为后续系统学习一元二次方程的解法打下基础。
【难度系数】
0.8
我们可以结合两类方程的定义逐步推导根的个数：①先分析一元一次方程：它是只含1个未知数、未知数最高次数为1的整式方程，整理为标准形式后通过移项、系数化为1，只能得到唯一的x值，因此根只有1个；②再分析一元二次方程：它是只含1个未知数、未知数最高次数为2的整式方程，代入不同的x值可能都满足方程，因此根的个数可能不止1个，我们可以通过简单的因式分解类方程举例验证。
【解析】
1. 一元一次方程根的个数推导：
一元一次方程的标准形式为$ax + b = 0$（$a、b$为常数，且$a ≠ 0$），对其变形：移项得$ax = -b$，系数化为1得$x = -\frac{b}{a}$，仅存在唯一的x满足方程，因此一元一次方程的根只有1个。
2. 一元二次方程根的个数推导与举例：
一元二次方程的标准形式为$ax^2 + bx + c = 0$（$a、b、c$为常数，且$a ≠ 0$），在实数范围内它的根可能有2个（相等或不等），也可能没有实数根。举例如下：取方程$x^2 - 1 = 0$，将左边因式分解得$(x-1)(x+1)=0$，可得$x-1=0$或$x+1=0$，解得$x_1=1$，$x_2=-1$，即该方程存在2个不同的根。
【答案】
一元一次方程的根只有1个；一元二次方程的根可能有2个，例如方程$x^2-1=0$的根为$x_1=1$，$x_2=-1$，存在两个不同的根。
【知识点】
一元一次方程的解、一元二次方程的根、因式分解解方程
【点评】
本题是方程板块的基础概念题，重点考查对一元一次、一元二次方程根的数量的理解，需要熟练掌握两类方程的定义，能通过实例感知一元二次方程根的特点，为后续系统学习一元二次方程的解法打下基础。
【难度系数】
0.8
1. 在前面“自主学习”有关“执竿进屋”的问题中,我们列得方程$x^2 -12x +20=0$.
(1)填空:
(2)方程$x^2 -12x +20=0$的解是多少?
如果抛开实际问题,问题中还有其他解吗?
(1)填空:
(2)方程$x^2 -12x +20=0$的解是多少?
如果抛开实际问题,问题中还有其他解吗?
答案
(1) [图1] (2) 符合实际的解是x=10，抛开实际问题还有另一个解x=2。
解析
【分析】
(1) 要完成表格填空，只需将x的各个取值依次代入代数式$x^2 -12x +20$，计算出对应结果即可；
(2) 求解该一元二次方程可选用因式分解法，得到两个根后，结合“执竿进屋”的实际背景，x代表竿的长度，需符合现实场景的长度要求，据此判断符合实际的解，抛开实际问题则两个根均为方程的有效解。
【解析】
(1) 分别将x=1,2,3,…,11代入$x^2 -12x +20$计算：
当x=1时，$1^2 -12×1 +20=9$；
当x=2时，$2^2 -12×2 +20=0$；
当x=3时，$3^2 -12×3 +20=-7$；
当x=4时，$4^2 -12×4 +20=-12$；
当x=5时，$5^2 -12×5 +20=-15$；
当x=6时，$6^2 -12×6 +20=-16$；
当x=7时，$7^2 -12×7 +20=-15$；
当x=8时，$8^2 -12×8 +20=-12$；
当x=9时，$9^2 -12×9 +20=-7$；
当x=10时，$10^2 -12×10 +20=0$；
当x=11时，$11^2 -12×11 +20=9$。
(2) 解方程$x^2 -12x +20=0$，用因式分解法将方程变形为：
$(x-2)(x-10)=0$
可得$x-2=0$或$x-10=0$，解得$x_1=2$，$x_2=10$。
结合“执竿进屋”的实际场景，x代表竿的长度，长度为2不符合实际需求，因此符合实际的解是x=10；如果抛开实际问题，还有另一个解x=2。
【答案】
(1) 表格从左到右依次填：9，0，-7，-12，-15，-16，-15，-12，-7，0，9；
(2) 符合实际的解是x=10，抛开实际问题还有另一个解x=2。
【知识点】
代数式求值，一元二次方程的解法，解的实际检验
【点评】
本题基础且贴合实际，既锻炼了基本的代数计算能力，又引导学生注意数学方程的解要结合实际场景判断合理性，有助于养成严谨的解题习惯。
【难度系数】
0.7
(1) 要完成表格填空，只需将x的各个取值依次代入代数式$x^2 -12x +20$，计算出对应结果即可；
(2) 求解该一元二次方程可选用因式分解法，得到两个根后，结合“执竿进屋”的实际背景，x代表竿的长度，需符合现实场景的长度要求，据此判断符合实际的解，抛开实际问题则两个根均为方程的有效解。
【解析】
(1) 分别将x=1,2,3,…,11代入$x^2 -12x +20$计算：
当x=1时，$1^2 -12×1 +20=9$；
当x=2时，$2^2 -12×2 +20=0$；
当x=3时，$3^2 -12×3 +20=-7$；
当x=4时，$4^2 -12×4 +20=-12$；
当x=5时，$5^2 -12×5 +20=-15$；
当x=6时，$6^2 -12×6 +20=-16$；
当x=7时，$7^2 -12×7 +20=-15$；
当x=8时，$8^2 -12×8 +20=-12$；
当x=9时，$9^2 -12×9 +20=-7$；
当x=10时，$10^2 -12×10 +20=0$；
当x=11时，$11^2 -12×11 +20=9$。
(2) 解方程$x^2 -12x +20=0$，用因式分解法将方程变形为：
$(x-2)(x-10)=0$
可得$x-2=0$或$x-10=0$，解得$x_1=2$，$x_2=10$。
结合“执竿进屋”的实际场景，x代表竿的长度，长度为2不符合实际需求，因此符合实际的解是x=10；如果抛开实际问题，还有另一个解x=2。
【答案】
(1) 表格从左到右依次填：9，0，-7，-12，-15，-16，-15，-12，-7，0，9；
(2) 符合实际的解是x=10，抛开实际问题还有另一个解x=2。
【知识点】
代数式求值，一元二次方程的解法，解的实际检验
【点评】
本题基础且贴合实际，既锻炼了基本的代数计算能力，又引导学生注意数学方程的解要结合实际场景判断合理性，有助于养成严谨的解题习惯。
【难度系数】
0.7
2. 方程的解就是能使方程左右两边相等的未知数的值，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根。
回过头来看：$x^2 -12x +20 =0$有两个根，一个是2，另一个是10，都满足方程；有时由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的解，还要考虑这些根是否符合实际问题的意义。
思考：$x=2$和$x=10$都是实际问题的解吗？
回过头来看：$x^2 -12x +20 =0$有两个根，一个是2，另一个是10，都满足方程；有时由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的解，还要考虑这些根是否符合实际问题的意义。
思考：$x=2$和$x=10$都是实际问题的解吗？
答案
不是，x=2不符合实际意义：若竹竿长2尺，那么门框宽为$2-4=-2$尺，长度不能为负，不符合现实逻辑，只有x=10是该实际问题的解。
解析
【分析】
解题时首先要明确该一元二次方程对应的实际问题背景，本题方程来自竹竿过门的实际场景，设竹竿长度为未知数x，门框宽、高都用含x的式子表示。解题思路是把两个根分别代入对应实际量的表达式，判断结果是否符合现实逻辑（如长度不能为负、人数为正整数等），不符合逻辑的根需要舍去。
【解析】
结合该方程对应的实际问题，设竹竿长度为x尺，由题意可知门框宽为$(x-4)$尺。
1. 代入$x=2$计算：门框宽为$2-4=-2$尺，长度为负数不符合现实生活的逻辑，因此$x=2$不是该实际问题的解；
2. 代入$x=10$计算：门框宽为$10-4=6$尺，高为$10-2=8$尺，均为正数，符合实际意义，因此$x=10$是该实际问题的解。
【答案】
不是，x=2不符合实际意义：若竹竿长2尺，那么门框宽为$2-4=-2$尺，长度不能为负，不符合现实逻辑，只有x=10是该实际问题的解。
【知识点】
1. 一元二次方程的根
2. 实际问题解的检验
【点评】
本题重点考查实际问题中方程解的取舍，引导学生明确方程求出的根仅为数学意义上的解，必须结合实际场景的约束条件验证，才能得到符合要求的最终答案。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确该一元二次方程对应的实际问题背景，本题方程来自竹竿过门的实际场景，设竹竿长度为未知数x，门框宽、高都用含x的式子表示。解题思路是把两个根分别代入对应实际量的表达式，判断结果是否符合现实逻辑（如长度不能为负、人数为正整数等），不符合逻辑的根需要舍去。
【解析】
结合该方程对应的实际问题，设竹竿长度为x尺，由题意可知门框宽为$(x-4)$尺。
1. 代入$x=2$计算：门框宽为$2-4=-2$尺，长度为负数不符合现实生活的逻辑，因此$x=2$不是该实际问题的解；
2. 代入$x=10$计算：门框宽为$10-4=6$尺，高为$10-2=8$尺，均为正数，符合实际意义，因此$x=10$是该实际问题的解。
【答案】
不是，x=2不符合实际意义：若竹竿长2尺，那么门框宽为$2-4=-2$尺，长度不能为负，不符合现实逻辑，只有x=10是该实际问题的解。
【知识点】
1. 一元二次方程的根
2. 实际问题解的检验
【点评】
本题重点考查实际问题中方程解的取舍，引导学生明确方程求出的根仅为数学意义上的解，必须结合实际场景的约束条件验证，才能得到符合要求的最终答案。
【难度系数】
0.8
