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1. 一元二次方程的求根公式:一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a≠0)$，当$b^2 -4ac≥0$时，它的实数根为 。
2. 一元二次方程根与系数的关系：
如果一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a≠0)$有两个实数根$x_1,x_2$，那么$x_1 + x_2 =$，$x_1x_2 =$。
说明:一元二次方程根与系数的关系是由16世纪的法国数学家韦达发现的,所以通常把此定理称为"韦达定理"。上述定理成立的前提是$\Delta≥0$。
2. 一元二次方程根与系数的关系：
如果一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a≠0)$有两个实数根$x_1,x_2$，那么$x_1 + x_2 =$，$x_1x_2 =$。说明:一元二次方程根与系数的关系是由16世纪的法国数学家韦达发现的,所以通常把此定理称为"韦达定理"。上述定理成立的前提是$\Delta≥0$。
答案
1. $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
2. $-\frac{b}{a}$ $\frac{c}{a}$
2. $-\frac{b}{a}$ $\frac{c}{a}$
解析
【分析】
本题考查一元二次方程的基础公式识记，解题思路如下：1. 求根公式是一元二次方程的核心基础公式，可通过配方法推导得到，只需牢记判别式$\Delta = b^2-4ac≥0$时的根的表达式即可，注意符号和根号部分不要写错；2. 根与系数的关系也叫韦达定理，既可以直接记忆结论，也可以通过两个求根公式相加、相乘化简推导得到，注意两根之和的符号不要记错。
【解析】
1. 对一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，用配方法推导求根公式：
移项得$ax^2+bx=-c$，二次项系数化为1得$x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$，
配方得$(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$，当$b^2-4ac≥0$时开方整理，可得实数根为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。
2. 已知方程两个根为$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$：
求和时根号部分抵消：$x_1+x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a}$；
求积时用平方差公式化简：$x_1x_2=\frac{(-b)^2-(\sqrt{b^2-4ac})^2}{4a^2}=\frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}$。
【答案】
1. $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
2. $-\frac{b}{a}$；$\frac{c}{a}$
【知识点】
一元二次方程求根公式；根与系数的关系（韦达定理）
【点评】
本题属于基础概念类题型，主要考察一元二次方程核心基础公式的掌握情况，两类公式是解决一元二次方程相关计算、应用类问题的重要基础，需要准确记忆、熟练运用。
【难度系数】
0.9
本题考查一元二次方程的基础公式识记，解题思路如下：1. 求根公式是一元二次方程的核心基础公式，可通过配方法推导得到，只需牢记判别式$\Delta = b^2-4ac≥0$时的根的表达式即可，注意符号和根号部分不要写错；2. 根与系数的关系也叫韦达定理，既可以直接记忆结论，也可以通过两个求根公式相加、相乘化简推导得到，注意两根之和的符号不要记错。
【解析】
1. 对一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，用配方法推导求根公式：
移项得$ax^2+bx=-c$，二次项系数化为1得$x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$，
配方得$(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$，当$b^2-4ac≥0$时开方整理，可得实数根为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。
2. 已知方程两个根为$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$：
求和时根号部分抵消：$x_1+x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a}$；
求积时用平方差公式化简：$x_1x_2=\frac{(-b)^2-(\sqrt{b^2-4ac})^2}{4a^2}=\frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}$。
【答案】
1. $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
2. $-\frac{b}{a}$；$\frac{c}{a}$
【知识点】
一元二次方程求根公式；根与系数的关系（韦达定理）
【点评】
本题属于基础概念类题型，主要考察一元二次方程核心基础公式的掌握情况，两类公式是解决一元二次方程相关计算、应用类问题的重要基础，需要准确记忆、熟练运用。
【难度系数】
0.9
1.若一元二次方程$x^2 - x -6=0$的两个实数根为$x_1,x_2$,则$x_1+x_2$的值为（
A.1
B.$-1$
C.0
D.$-6$
A
）。A.1
B.$-1$
C.0
D.$-6$
答案
A
解析
【分析】
要计算一元二次方程两根之和，有两种思路：一是先解方程求出两个实根再相加，二是直接用根与系数的关系（韦达定理）快速计算，后者更简便。首先回忆韦达定理：对于$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两个实根为$x_1,x_2$，则$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。我们只需从给定方程中找到对应系数$a、b$的值，代入公式计算即可。
【解析】
解：给定一元二次方程$x^2 - x -6=0$，对照一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，可得$a=1$，$b=-1$。
根据根与系数的关系，两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，代入数值计算：
$x_1+x_2=-\frac{(-1)}{1}=1$。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题属于基础题，直接考查根与系数关系的应用，解题的关键是准确识别方程各项系数，代入公式时注意符号不要出错。
【难度系数】
0.9
要计算一元二次方程两根之和，有两种思路：一是先解方程求出两个实根再相加，二是直接用根与系数的关系（韦达定理）快速计算，后者更简便。首先回忆韦达定理：对于$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两个实根为$x_1,x_2$，则$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。我们只需从给定方程中找到对应系数$a、b$的值，代入公式计算即可。
【解析】
解：给定一元二次方程$x^2 - x -6=0$，对照一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，可得$a=1$，$b=-1$。
根据根与系数的关系，两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，代入数值计算：
$x_1+x_2=-\frac{(-1)}{1}=1$。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题属于基础题，直接考查根与系数关系的应用，解题的关键是准确识别方程各项系数，代入公式时注意符号不要出错。
【难度系数】
0.9
2.若方程$3x^2 +6x -4=0$的两个实数根为$x_1,x_2$,则$x_1x_2=(\quad)$。
A.$-2$
B.$\frac{4}{3}$
C.$2$
D.$-\frac{4}{3}$
A.$-2$
B.$\frac{4}{3}$
C.$2$
D.$-\frac{4}{3}$
答案
D
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的应用，解题思路如下：首先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$），若其两根为$x_1、x_2$，则两根之积的计算公式为$x_1x_2=\frac{c}{a}$；接下来从题干给出的方程中准确找出$a、b、c$的取值，注意系数的正负号，最后代入公式计算即可得到结果。
【解析】
一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$），对于方程$3x^2 +6x -4=0$，可得：
$a=3$，$b=6$，$c=-4$
根据一元二次方程根与系数的关系，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$，代入数值计算：
$x_1x_2=\frac{-4}{3}=-\frac{4}{3}$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
2. 一元二次方程系数识别
【点评】
本题属于基础类题型，核心考查韦达定理中两根之积公式的应用，解题的关键是准确提取方程各项的系数，尤其要注意常数项的符号，避免因符号看错导致计算错误。
【难度系数】
0.9
本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的应用，解题思路如下：首先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$），若其两根为$x_1、x_2$，则两根之积的计算公式为$x_1x_2=\frac{c}{a}$；接下来从题干给出的方程中准确找出$a、b、c$的取值，注意系数的正负号，最后代入公式计算即可得到结果。
【解析】
一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$），对于方程$3x^2 +6x -4=0$，可得：
$a=3$，$b=6$，$c=-4$
根据一元二次方程根与系数的关系，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$，代入数值计算：
$x_1x_2=\frac{-4}{3}=-\frac{4}{3}$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
2. 一元二次方程系数识别
【点评】
本题属于基础类题型，核心考查韦达定理中两根之积公式的应用，解题的关键是准确提取方程各项的系数，尤其要注意常数项的符号，避免因符号看错导致计算错误。
【难度系数】
0.9
3.已知实数 $ x_1, x_2 $ 满足 $ x_1 + x_2 = 7 $，$ x_1x_2 = -12 $，则以 $ x_1, x_2 $ 为根的一元二次方程是(
A.$ x^2 - 7x + 12 = 0 $
B.$ x^2 - 7x - 12 = 0 $
C.$ x^2 + 7x - 12 = 0 $
D.$ x^2 + 7x + 12 = 0 $
B
)。A.$ x^2 - 7x + 12 = 0 $
B.$ x^2 - 7x - 12 = 0 $
C.$ x^2 + 7x - 12 = 0 $
D.$ x^2 + 7x + 12 = 0 $
答案
B
解析
【分析】
解题时首先回忆一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：对于二次项系数为1的一元二次方程，若两根为$x_1$、$x_2$，则方程的一次项系数为两根之和的相反数，常数项为两根之积。我们只需要将题目给出的两根和、两根之积代入构造方程的公式，再匹配选项即可得到答案。
【解析】
根据一元二次方程根与系数的关系，若二次项系数为1、两根为$x_1$、$x_2$，则对应的一元二次方程为：
$x^2 - (x_1+x_2)x + x_1x_2 = 0$
已知$x_1 + x_2 = 7$，$x_1x_2 = -12$，代入上述公式：
一次项系数为$-(x_1+x_2) = -7$，常数项为$x_1x_2 = -12$
因此得到方程为$x^2 -7x -12 =0$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程的构造
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题型，核心是牢记已知两根构造一元二次方程的公式，解题时注意符号的处理，避免因符号计算失误丢分，属于基础类考题。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：对于二次项系数为1的一元二次方程，若两根为$x_1$、$x_2$，则方程的一次项系数为两根之和的相反数，常数项为两根之积。我们只需要将题目给出的两根和、两根之积代入构造方程的公式，再匹配选项即可得到答案。
【解析】
根据一元二次方程根与系数的关系，若二次项系数为1、两根为$x_1$、$x_2$，则对应的一元二次方程为：
$x^2 - (x_1+x_2)x + x_1x_2 = 0$
已知$x_1 + x_2 = 7$，$x_1x_2 = -12$，代入上述公式：
一次项系数为$-(x_1+x_2) = -7$，常数项为$x_1x_2 = -12$
因此得到方程为$x^2 -7x -12 =0$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程的构造
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题型，核心是牢记已知两根构造一元二次方程的公式，解题时注意符号的处理，避免因符号计算失误丢分，属于基础类考题。
【难度系数】
0.9
4.若$x_1,x_2$是方程$x^2 + x -1=0$的两个实数根，则$(x_1 -2)(x_2 -2)$的值为（
A.2
B.4
C.5
D.$-2$
C
）。A.2
B.4
C.5
D.$-2$
答案
C
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用，解题思路如下：首先观察所求代数式是关于方程两根的对称式，无需解出两根的具体值，先利用整式乘法将所求代数式展开，整理为只含两根之和、两根之积的形式；再根据一元二次方程根与系数的关系求出两根之和与两根之积，最后整体代入计算即可得到结果。
【解析】
已知方程$x^2 + x -1=0$中，$a=1$，$b=1$，$c=-1$。
根据一元二次方程根与系数的关系，可得：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -1$，$x_1x_2 = \frac{c}{a} = -1$。
将所求代数式展开化简：
$(x_1 - 2)(x_2 - 2) = x_1x_2 - 2x_1 - 2x_2 + 4 = x_1x_2 - 2(x_1 + x_2) + 4$。
把$x_1 + x_2 = -1$，$x_1x_2 = -1$代入上式：
原式$= -1 - 2×(-1) + 4 = -1 + 2 + 4 = 5$。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 整式乘法运算
3. 整体代入求值
【点评】
本题属于基础题型，核心是灵活运用韦达定理，通过整体代入的方式简化计算，避免求解方程根的繁琐步骤，解题的关键在于将目标代数式变形为含两根之和、两根之积的结构，能很好地考查学生对韦达定理的掌握程度和代数式变形能力。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用，解题思路如下：首先观察所求代数式是关于方程两根的对称式，无需解出两根的具体值，先利用整式乘法将所求代数式展开，整理为只含两根之和、两根之积的形式；再根据一元二次方程根与系数的关系求出两根之和与两根之积，最后整体代入计算即可得到结果。
【解析】
已知方程$x^2 + x -1=0$中，$a=1$，$b=1$，$c=-1$。
根据一元二次方程根与系数的关系，可得：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -1$，$x_1x_2 = \frac{c}{a} = -1$。
将所求代数式展开化简：
$(x_1 - 2)(x_2 - 2) = x_1x_2 - 2x_1 - 2x_2 + 4 = x_1x_2 - 2(x_1 + x_2) + 4$。
把$x_1 + x_2 = -1$，$x_1x_2 = -1$代入上式：
原式$= -1 - 2×(-1) + 4 = -1 + 2 + 4 = 5$。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 整式乘法运算
3. 整体代入求值
【点评】
本题属于基础题型，核心是灵活运用韦达定理，通过整体代入的方式简化计算，避免求解方程根的繁琐步骤，解题的关键在于将目标代数式变形为含两根之和、两根之积的结构，能很好地考查学生对韦达定理的掌握程度和代数式变形能力。
【难度系数】
0.8
5.若一元二次方程$x^2 - 2x = 0$的两个实数根分别为$x_1$和$x_2$，则$x_1x_2$的值为
0
。答案
0
解析
【分析】
本题可通过两种思路求解：思路一：利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解，先确定方程一般形式中a、b、c的取值，再代入两根之积的公式计算即可，该方法更为快捷；思路二：先解一元二次方程求出两个实数根，再直接计算两根的乘积，该方法更直观易理解。
【解析】
方法一（利用根与系数的关系）：
对于一元二次方程的标准形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之积满足$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
将题中方程$x^2 - 2x = 0$化为标准形式为$x^2 - 2x + 0 = 0$，可得$a=1$，$b=-2$，$c=0$。
代入公式得：$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{0}{1}=0$。
方法二（直接解方程计算）：
对$x^2 - 2x = 0$因式分解得$x(x-2)=0$，
解得$x_1=0$，$x_2=2$，
则$x_1x_2=0×2=0$。
【答案】
0
【知识点】
根与系数的关系；一元二次方程的解法
【点评】
本题属于基础题型，两种解题方法都比较容易掌握，熟练运用根与系数的关系可简化计算过程，提高解题效率。
【难度系数】
0.9
本题可通过两种思路求解：思路一：利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解，先确定方程一般形式中a、b、c的取值，再代入两根之积的公式计算即可，该方法更为快捷；思路二：先解一元二次方程求出两个实数根，再直接计算两根的乘积，该方法更直观易理解。
【解析】
方法一（利用根与系数的关系）：
对于一元二次方程的标准形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之积满足$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
将题中方程$x^2 - 2x = 0$化为标准形式为$x^2 - 2x + 0 = 0$，可得$a=1$，$b=-2$，$c=0$。
代入公式得：$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{0}{1}=0$。
方法二（直接解方程计算）：
对$x^2 - 2x = 0$因式分解得$x(x-2)=0$，
解得$x_1=0$，$x_2=2$，
则$x_1x_2=0×2=0$。
【答案】
0
【知识点】
根与系数的关系；一元二次方程的解法
【点评】
本题属于基础题型，两种解题方法都比较容易掌握，熟练运用根与系数的关系可简化计算过程，提高解题效率。
【难度系数】
0.9
6.已知－3是一元二次方程$x^2 -4x +c=0$的一个实数根，则方程的另一个实数根是
7
。答案
7
解析
【分析】
本题可利用一元二次方程根与系数的关系快速求解，也可先代入已知根求出参数c再解方程。思路1：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1$、$x_2$，则$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，已知一个根，直接代入两根和的公式即可求出另一个根，是最简便的解法；思路2：将已知根代入原方程求出c的值，再解完整的一元二次方程得到另一个根。
【解析】
方法一（根与系数关系法）：
设方程的另一个实数根为$x_1$，
对于一元二次方程$x^2 -4x +c=0$，$a=1$，$b=-4$，
根据根与系数的关系，两根之和为$x_1 + (-3) = -\frac{b}{a} = 4$，
解得$x_1 = 4 + 3 = 7$。
方法二（代入求参法）：
将$x=-3$代入原方程，得：
$(-3)^2 -4×(-3) + c = 0$
$9 + 12 + c = 0$
解得$c=-21$，
则原方程为$x^2 -4x -21 = 0$，
因式分解得$(x-7)(x+3)=0$，
解得$x_1=7$，$x_2=-3$，
所以方程的另一个实数根是7。
【答案】
7
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的根的定义
【点评】
本题是基础类题型，重点考查对一元二次方程根与系数关系的运用，熟练掌握韦达定理可大幅提升此类题的解题效率，无需计算参数即可直接求出未知根。
【难度系数】
0.8
本题可利用一元二次方程根与系数的关系快速求解，也可先代入已知根求出参数c再解方程。思路1：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1$、$x_2$，则$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，已知一个根，直接代入两根和的公式即可求出另一个根，是最简便的解法；思路2：将已知根代入原方程求出c的值，再解完整的一元二次方程得到另一个根。
【解析】
方法一（根与系数关系法）：
设方程的另一个实数根为$x_1$，
对于一元二次方程$x^2 -4x +c=0$，$a=1$，$b=-4$，
根据根与系数的关系，两根之和为$x_1 + (-3) = -\frac{b}{a} = 4$，
解得$x_1 = 4 + 3 = 7$。
方法二（代入求参法）：
将$x=-3$代入原方程，得：
$(-3)^2 -4×(-3) + c = 0$
$9 + 12 + c = 0$
解得$c=-21$，
则原方程为$x^2 -4x -21 = 0$，
因式分解得$(x-7)(x+3)=0$，
解得$x_1=7$，$x_2=-3$，
所以方程的另一个实数根是7。
【答案】
7
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的根的定义
【点评】
本题是基础类题型，重点考查对一元二次方程根与系数关系的运用，熟练掌握韦达定理可大幅提升此类题的解题效率，无需计算参数即可直接求出未知根。
【难度系数】
0.8
7. 已知 $ x_1, x_2 $ 是方程 $ 3x^2 - 2x -7 =0 $ 的两个根，不解方程，利用一元二次方程的根与系数的关系，求下列各式的值。
(1) $ x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2 $；
(2) $ (x_1 - x_2)^2 $；
(3) $ (x_1 + \frac{1}{x_2})(x_2 + \frac{1}{x_1}) $；
(4) $ \frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2} $。
(1) $ x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2 $；
(2) $ (x_1 - x_2)^2 $；
(3) $ (x_1 + \frac{1}{x_2})(x_2 + \frac{1}{x_1}) $；
(4) $ \frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2} $。
答案
解:由题意得 $x_1+x_2=\frac{2}{3},x_1x_2=-\frac{7}{3}$。
(1)原式$=x_1x_2(x_1+x_2)=-\frac{14}{9}$。
(2)原式$=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=\frac{4}{9}-4×(-\frac{7}{3})=\frac{88}{9}$。
(3)原式$=x_1x_2+\frac{1}{x_1x_2}+2=-\frac{16}{21}$。
(4)原式$=\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}=-\frac{46}{21}$。
(1)原式$=x_1x_2(x_1+x_2)=-\frac{14}{9}$。
(2)原式$=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=\frac{4}{9}-4×(-\frac{7}{3})=\frac{88}{9}$。
(3)原式$=x_1x_2+\frac{1}{x_1x_2}+2=-\frac{16}{21}$。
(4)原式$=\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}=-\frac{46}{21}$。
解析
【分析】
解题时首先利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），先求出两根之和$x_1+x_2$与两根之积$x_1x_2$的值；再将每个待求代数式通过因式分解、完全平方公式、通分、去括号等方式进行恒等变形，把式子转化为仅含$x_1+x_2$和$x_1x_2$的形式，最后代入数值计算即可，不需要求解原方程的根。
【解析】
对于方程$3x^2 - 2x -7 =0$，其中$a=3,b=-2,c=-7$，根据韦达定理可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=\frac{2}{3}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=-\frac{7}{3}$。
(1) 因式分解原式得：
$x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2=x_1x_2(x_1+x_2)$
代入数值计算：$=-\frac{7}{3}×\frac{2}{3}=-\frac{14}{9}$。
(2) 根据完全平方公式变形得：
$(x_1 - x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$
代入数值计算：$=(\frac{2}{3})^2-4×(-\frac{7}{3})=\frac{4}{9}+\frac{28}{3}=\frac{88}{9}$。
(3) 展开括号化简得：
$(x_1 + \frac{1}{x_2})(x_2 + \frac{1}{x_1})=x_1x_2+\frac{1}{x_1x_2}+2$
代入数值计算：$=-\frac{7}{3}-\frac{3}{7}+2=-\frac{16}{21}$。
(4) 通分后结合完全平方公式变形得：
$\frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2}=\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}$
代入数值计算：$=\frac{(\frac{2}{3})^2-2×(-\frac{7}{3})}{-\frac{7}{3}}=-\frac{46}{21}$。
【答案】
(1) $-\frac{14}{9}$；(2) $\frac{88}{9}$；(3) $-\frac{16}{21}$；(4) $-\frac{46}{21}$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，代数式恒等变形，完全平方公式
【点评】
本题核心考查韦达定理的应用，解题关键是熟练掌握常见代数式的变形技巧，将待求式转化为两根和、两根积的表达形式，无需解方程即可求值，计算时要注意符号处理，避免运算错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），先求出两根之和$x_1+x_2$与两根之积$x_1x_2$的值；再将每个待求代数式通过因式分解、完全平方公式、通分、去括号等方式进行恒等变形，把式子转化为仅含$x_1+x_2$和$x_1x_2$的形式，最后代入数值计算即可，不需要求解原方程的根。
【解析】
对于方程$3x^2 - 2x -7 =0$，其中$a=3,b=-2,c=-7$，根据韦达定理可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=\frac{2}{3}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=-\frac{7}{3}$。
(1) 因式分解原式得：
$x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2=x_1x_2(x_1+x_2)$
代入数值计算：$=-\frac{7}{3}×\frac{2}{3}=-\frac{14}{9}$。
(2) 根据完全平方公式变形得：
$(x_1 - x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$
代入数值计算：$=(\frac{2}{3})^2-4×(-\frac{7}{3})=\frac{4}{9}+\frac{28}{3}=\frac{88}{9}$。
(3) 展开括号化简得：
$(x_1 + \frac{1}{x_2})(x_2 + \frac{1}{x_1})=x_1x_2+\frac{1}{x_1x_2}+2$
代入数值计算：$=-\frac{7}{3}-\frac{3}{7}+2=-\frac{16}{21}$。
(4) 通分后结合完全平方公式变形得：
$\frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2}=\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}$
代入数值计算：$=\frac{(\frac{2}{3})^2-2×(-\frac{7}{3})}{-\frac{7}{3}}=-\frac{46}{21}$。
【答案】
(1) $-\frac{14}{9}$；(2) $\frac{88}{9}$；(3) $-\frac{16}{21}$；(4) $-\frac{46}{21}$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，代数式恒等变形，完全平方公式
【点评】
本题核心考查韦达定理的应用，解题关键是熟练掌握常见代数式的变形技巧，将待求式转化为两根和、两根积的表达形式，无需解方程即可求值，计算时要注意符号处理，避免运算错误。
【难度系数】
0.7
