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8.设圆锥的底面圆的半径为$r$，母线长为$l$，满足$2r + l = 6$，则这样的圆锥的侧面积（
A.有最大值$\frac{9π}{4}$
B.有最小值$\frac{9π}{4}$
C.有最大值$\frac{9π}{2}$
D.有最小值$\frac{9π}{2}$
C
）。A.有最大值$\frac{9π}{4}$
B.有最小值$\frac{9π}{4}$
C.有最大值$\frac{9π}{2}$
D.有最小值$\frac{9π}{2}$
答案
8. C
解析
【分析】
要解决圆锥侧面积的最值问题，可按以下思路思考：第一步，回忆圆锥侧面积公式，明确侧面积与底面半径r、母线长l的关系；第二步，根据题目给出的2r+l=6的等量关系，用代入消元法将侧面积转化为只含单个变量的表达式；第三步，观察得到的表达式是二次函数，结合二次函数的图像性质求最值，最后还要验证变量取值是否符合实际意义（半径和母线长都为正数）。
【解析】
首先，圆锥的侧面积公式为：$S_{\mathrm{侧}} = π r l$。
已知$2r + l = 6$，可得$l = 6 - 2r$，将其代入侧面积公式：
$S_{\mathrm{侧}} = π r · (6 - 2r) = -2π r^2 + 6π r$
这是关于$r$的二次函数，其中二次项系数$a=-2π ＜ 0$，因此函数图像开口向下，侧面积有最大值。
用配方法变形：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{侧}} &= -2π(r^2 - 3r) \\&= -2π(r^2 - 3r + \frac{9}{4} - \frac{9}{4}) \\&= -2π(r - \frac{3}{2})^2 + \frac{9π}{2}\end{aligned}$
当$r = \frac{3}{2}$时，侧面积取得最大值$\frac{9π}{2}$，此时$l = 6 - 2×\frac{3}{2} = 3 ＞ 0$，符合实际意义。
因此圆锥侧面积有最大值$\frac{9π}{2}$，选C。
【答案】
C
【知识点】
圆锥侧面积计算，二次函数最值，代入消元法
【点评】
本题结合几何图形面积计算与代数函数最值考查，需要掌握圆锥侧面积的计算公式，同时能灵活运用二次函数的性质求解实际问题的最值，解题时要注意实际问题中变量的取值需符合几何意义。
【难度系数】
0.65
要解决圆锥侧面积的最值问题，可按以下思路思考：第一步，回忆圆锥侧面积公式，明确侧面积与底面半径r、母线长l的关系；第二步，根据题目给出的2r+l=6的等量关系，用代入消元法将侧面积转化为只含单个变量的表达式；第三步，观察得到的表达式是二次函数，结合二次函数的图像性质求最值，最后还要验证变量取值是否符合实际意义（半径和母线长都为正数）。
【解析】
首先，圆锥的侧面积公式为：$S_{\mathrm{侧}} = π r l$。
已知$2r + l = 6$，可得$l = 6 - 2r$，将其代入侧面积公式：
$S_{\mathrm{侧}} = π r · (6 - 2r) = -2π r^2 + 6π r$
这是关于$r$的二次函数，其中二次项系数$a=-2π ＜ 0$，因此函数图像开口向下，侧面积有最大值。
用配方法变形：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{侧}} &= -2π(r^2 - 3r) \\&= -2π(r^2 - 3r + \frac{9}{4} - \frac{9}{4}) \\&= -2π(r - \frac{3}{2})^2 + \frac{9π}{2}\end{aligned}$
当$r = \frac{3}{2}$时，侧面积取得最大值$\frac{9π}{2}$，此时$l = 6 - 2×\frac{3}{2} = 3 ＞ 0$，符合实际意义。
因此圆锥侧面积有最大值$\frac{9π}{2}$，选C。
【答案】
C
【知识点】
圆锥侧面积计算，二次函数最值，代入消元法
【点评】
本题结合几何图形面积计算与代数函数最值考查，需要掌握圆锥侧面积的计算公式，同时能灵活运用二次函数的性质求解实际问题的最值，解题时要注意实际问题中变量的取值需符合几何意义。
【难度系数】
0.65
9.某超市提供了一种尖底圆锥形纸杯供顾客饮水(如图).经过测量,母线长为10 cm,则生产100个这种纸杯需要原纸
$4\ 000π$
cm².(结果保留π)答案
9. $4\ 000π$
解析
【分析】
要计算生产100个纸杯需要的原纸面积，首先明确尖底纸杯没有底面，只需计算圆锥的侧面积。解题思路如下：1. 根据底面直径求出底面半径；2. 代入圆锥侧面积公式计算单个纸杯的侧面积；3. 用单个侧面积乘100得到总面积。
【解析】
解：已知圆锥形纸杯底面直径为8cm，因此底面半径 $ r = 8÷2 = 4\ \mathrm{cm} $，母线长 $ l = 10\ \mathrm{cm} $。
圆锥侧面积公式为 $ S_{\mathrm{侧}} = π r l $，代入数据得单个纸杯的侧面积：
$ S_{\mathrm{单}} = π × 4 × 10 = 40π\ \mathrm{cm}^2 $
则100个纸杯需要的原纸面积为：
$ S_{\mathrm{总}} = 100 × 40π = 4000π\ \mathrm{cm}^2 $
【答案】
$4000π$
【知识点】
圆锥侧面积计算；直径与半径换算
【点评】
本题结合生活场景考查圆锥侧面积的应用，解题时需注意纸杯无底面，不要错误计算全面积，同时不要遗漏乘以100个的数量要求，属于基础公式的实际应用类题目。
【难度系数】
0.7
要计算生产100个纸杯需要的原纸面积，首先明确尖底纸杯没有底面，只需计算圆锥的侧面积。解题思路如下：1. 根据底面直径求出底面半径；2. 代入圆锥侧面积公式计算单个纸杯的侧面积；3. 用单个侧面积乘100得到总面积。
【解析】
解：已知圆锥形纸杯底面直径为8cm，因此底面半径 $ r = 8÷2 = 4\ \mathrm{cm} $，母线长 $ l = 10\ \mathrm{cm} $。
圆锥侧面积公式为 $ S_{\mathrm{侧}} = π r l $，代入数据得单个纸杯的侧面积：
$ S_{\mathrm{单}} = π × 4 × 10 = 40π\ \mathrm{cm}^2 $
则100个纸杯需要的原纸面积为：
$ S_{\mathrm{总}} = 100 × 40π = 4000π\ \mathrm{cm}^2 $
【答案】
$4000π$
【知识点】
圆锥侧面积计算；直径与半径换算
【点评】
本题结合生活场景考查圆锥侧面积的应用，解题时需注意纸杯无底面，不要错误计算全面积，同时不要遗漏乘以100个的数量要求，属于基础公式的实际应用类题目。
【难度系数】
0.7
10.如图,小珍用半径为8 cm,圆心角为$100°$的扇形纸片,制作一个底面半径为2 cm的圆锥侧面,则这个圆锥侧面上粘贴部分的面积是
$\dfrac{16π}{9}$
$\mathrm{cm}^2$.(结果保留π)答案
10. $\dfrac{16π}{9}$
解析
【分析】
要计算圆锥侧面粘贴部分的面积，首先明确粘贴部分是原扇形中重叠的部分，本质为原扇形面积减去实际围成圆锥所需的扇形面积。解题核心关系是：圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面周长。我们可以先算出圆锥底面周长得到实际需要的扇形弧长，再求出原扇形和所需扇形的圆心角之差，最后用扇形面积公式计算重叠部分（粘贴部分）的面积即可。
【解析】
1. 计算围成圆锥所需的扇形弧长：
圆锥底面半径$r=2\ \mathrm{cm}$，底面周长$C=2πr=2π×2=4π\ \mathrm{cm}$，即实际需要的扇形弧长$l_{\mathrm{需}}=4π\ \mathrm{cm}$。
2. 计算实际围成圆锥的扇形对应的圆心角：
已知扇形半径（圆锥母线长）$R=8\ \mathrm{cm}$，根据弧长公式$l=\frac{nπR}{180}$，代入$l_{\mathrm{需}}=4π$、$R=8$得：
$4π=\frac{nπ×8}{180}$，约去$π$后解得$n=90°$。
3. 计算粘贴部分对应的圆心角：
原扇形圆心角为$100°$，重叠部分的圆心角$\Delta n=100°-90°=10°$。
4. 计算粘贴部分的面积：
根据扇形面积公式$S=\frac{nπR^2}{360}$，代入$\Delta n=10°$、$R=8\ \mathrm{cm}$得：
$S_{\mathrm{粘贴}}=\frac{10π×8^2}{360}=\frac{640π}{360}=\frac{16π}{9}\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
$\dfrac{16π}{9}$
【知识点】
弧长公式；扇形面积计算；圆锥与展开图关系
【点评】
本题考查圆锥侧面展开图与圆锥的对应关系，解题的关键是抓住“圆锥底面周长等于侧面展开扇形的弧长”这一核心等量关系，明确粘贴部分为多余扇形的面积，只要理清各量之间的对应关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
要计算圆锥侧面粘贴部分的面积，首先明确粘贴部分是原扇形中重叠的部分，本质为原扇形面积减去实际围成圆锥所需的扇形面积。解题核心关系是：圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面周长。我们可以先算出圆锥底面周长得到实际需要的扇形弧长，再求出原扇形和所需扇形的圆心角之差，最后用扇形面积公式计算重叠部分（粘贴部分）的面积即可。
【解析】
1. 计算围成圆锥所需的扇形弧长：
圆锥底面半径$r=2\ \mathrm{cm}$，底面周长$C=2πr=2π×2=4π\ \mathrm{cm}$，即实际需要的扇形弧长$l_{\mathrm{需}}=4π\ \mathrm{cm}$。
2. 计算实际围成圆锥的扇形对应的圆心角：
已知扇形半径（圆锥母线长）$R=8\ \mathrm{cm}$，根据弧长公式$l=\frac{nπR}{180}$，代入$l_{\mathrm{需}}=4π$、$R=8$得：
$4π=\frac{nπ×8}{180}$，约去$π$后解得$n=90°$。
3. 计算粘贴部分对应的圆心角：
原扇形圆心角为$100°$，重叠部分的圆心角$\Delta n=100°-90°=10°$。
4. 计算粘贴部分的面积：
根据扇形面积公式$S=\frac{nπR^2}{360}$，代入$\Delta n=10°$、$R=8\ \mathrm{cm}$得：
$S_{\mathrm{粘贴}}=\frac{10π×8^2}{360}=\frac{640π}{360}=\frac{16π}{9}\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
$\dfrac{16π}{9}$
【知识点】
弧长公式；扇形面积计算；圆锥与展开图关系
【点评】
本题考查圆锥侧面展开图与圆锥的对应关系，解题的关键是抓住“圆锥底面周长等于侧面展开扇形的弧长”这一核心等量关系，明确粘贴部分为多余扇形的面积，只要理清各量之间的对应关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
11.(2024·广东)综合与实践.
【主题】滤纸与漏斗
【素材】如图1所示.
①一张直径为10 cm的圆形滤纸；
②一只漏斗口直径与母线均为7 cm的圆锥形过滤漏斗.
【实践操作】
步骤1:取一张滤纸；
步骤2:按如图2所示步骤折叠好滤纸；
步骤3:将其中一层撑开,围成圆锥形；
步骤4:将围成圆锥形的滤纸放入如图1所示漏斗中.
【实践探索】
(1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁(忽略漏斗管口处)?用你所学的数学知识说明.
(2)当滤纸紧贴漏斗内壁时,求滤纸围成的圆锥形的体积(结果保留π).
【主题】滤纸与漏斗
【素材】如图1所示.
①一张直径为10 cm的圆形滤纸；
②一只漏斗口直径与母线均为7 cm的圆锥形过滤漏斗.
【实践操作】
步骤1:取一张滤纸；
步骤2:按如图2所示步骤折叠好滤纸；
步骤3:将其中一层撑开,围成圆锥形；
步骤4:将围成圆锥形的滤纸放入如图1所示漏斗中.
【实践探索】
(1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁(忽略漏斗管口处)?用你所学的数学知识说明.
(2)当滤纸紧贴漏斗内壁时,求滤纸围成的圆锥形的体积(结果保留π).
答案
解：
(1) 滤纸能紧贴此漏斗内壁，理由如下：
圆形滤纸的直径为10 cm，因此围成的圆锥形滤纸的母线长$l_1=\frac{10}{2}=5\ \mathrm{cm}$。
由折叠过程可知，该滤纸圆锥的侧面展开图是圆心角为$180°$的扇形。
设滤纸圆锥的底面半径为$r_1$，根据扇形弧长等于圆锥底面周长：
$\frac{180π × 5}{180}=2π r_1$
解得$r_1=2.5\ \mathrm{cm}$。
已知圆锥形漏斗的母线长$l_2=7\ \mathrm{cm}$，漏斗口直径为7 cm，因此漏斗底面半径$r_2=\frac{7}{2}=3.5\ \mathrm{cm}$。
设漏斗侧面展开图的圆心角为$n°$，同理可得：
$\frac{nπ × 7}{180}=2π × 3.5$
解得$n=180$。
两个圆锥的侧面展开图圆心角相等，侧面倾斜程度完全一致，因此滤纸能紧贴此漏斗内壁。
(2) 设滤纸围成的圆锥的高为$h$，由勾股定理：
$h=\sqrt{l_1^2 - r_1^2}=\sqrt{5^2 - 2.5^2}=\frac{5\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{cm}$
根据圆锥体积公式$V=\frac{1}{3}π r^2 h$：
$V=\frac{1}{3}π × 2.5^2 × \frac{5\sqrt{3}}{2}=\frac{125\sqrt{3}π}{24}\ \mathrm{cm}^3$
答：滤纸围成的圆锥形的体积为$\frac{125\sqrt{3}π}{24}\ \mathrm{cm}^3$。
(1) 滤纸能紧贴此漏斗内壁，理由如下：
圆形滤纸的直径为10 cm，因此围成的圆锥形滤纸的母线长$l_1=\frac{10}{2}=5\ \mathrm{cm}$。
由折叠过程可知，该滤纸圆锥的侧面展开图是圆心角为$180°$的扇形。
设滤纸圆锥的底面半径为$r_1$，根据扇形弧长等于圆锥底面周长：
$\frac{180π × 5}{180}=2π r_1$
解得$r_1=2.5\ \mathrm{cm}$。
已知圆锥形漏斗的母线长$l_2=7\ \mathrm{cm}$，漏斗口直径为7 cm，因此漏斗底面半径$r_2=\frac{7}{2}=3.5\ \mathrm{cm}$。
设漏斗侧面展开图的圆心角为$n°$，同理可得：
$\frac{nπ × 7}{180}=2π × 3.5$
解得$n=180$。
两个圆锥的侧面展开图圆心角相等，侧面倾斜程度完全一致，因此滤纸能紧贴此漏斗内壁。
(2) 设滤纸围成的圆锥的高为$h$，由勾股定理：
$h=\sqrt{l_1^2 - r_1^2}=\sqrt{5^2 - 2.5^2}=\frac{5\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{cm}$
根据圆锥体积公式$V=\frac{1}{3}π r^2 h$：
$V=\frac{1}{3}π × 2.5^2 × \frac{5\sqrt{3}}{2}=\frac{125\sqrt{3}π}{24}\ \mathrm{cm}^3$
答：滤纸围成的圆锥形的体积为$\frac{125\sqrt{3}π}{24}\ \mathrm{cm}^3$。
解析
【分析】
要判断滤纸能否紧贴漏斗内壁，本质是判断两个圆锥的侧面倾斜程度是否一致，即侧面展开图的圆心角是否相等。解题思路如下：①先分析滤纸折成的圆锥：圆形滤纸直径为10cm，折成圆锥的母线长等于滤纸半径5cm，由折叠方式可知其侧面展开图是圆心角为180°的扇形，结合“扇形弧长=圆锥底面周长”可算出滤纸圆锥的底面半径；②再分析漏斗圆锥：已知漏斗母线长7cm，底面直径7cm即半径3.5cm，同样利用弧长与底面周长的等量关系，求出漏斗侧面展开图的圆心角；③若两个圆心角相等，则侧面倾斜度一致，滤纸可紧贴漏斗。第二问求圆锥体积，已知母线长和底面半径，先用勾股定理求出圆锥的高，再代入圆锥体积公式计算即可。
【解析】
(1) 滤纸能紧贴此漏斗内壁，理由如下：
圆形滤纸的直径为10 cm，因此围成的圆锥形滤纸的母线长$l_1=\frac{10}{2}=5\ \mathrm{cm}$。
由折叠过程可知，该滤纸圆锥的侧面展开图是圆心角为$180°$的扇形。
设滤纸圆锥的底面半径为$r_1$，根据扇形弧长等于圆锥底面周长：
$\frac{180π × 5}{180}=2π r_1$
解得$r_1=2.5\ \mathrm{cm}$。
已知圆锥形漏斗的母线长$l_2=7\ \mathrm{cm}$，漏斗口直径为7 cm，因此漏斗底面半径$r_2=\frac{7}{2}=3.5\ \mathrm{cm}$。
设漏斗侧面展开图的圆心角为$n°$，同理可得：
$\frac{nπ × 7}{180}=2π × 3.5$
解得$n=180$。
两个圆锥的侧面展开图圆心角相等，侧面倾斜程度完全一致，因此滤纸能紧贴此漏斗内壁。
(2) 设滤纸围成的圆锥的高为$h$，由勾股定理：
$h=\sqrt{l_1^2 - r_1^2}=\sqrt{5^2 - 2.5^2}=\frac{5\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{cm}$
根据圆锥体积公式$V=\frac{1}{3}π r^2 h$：
$V=\frac{1}{3}π × 2.5^2 × \frac{5\sqrt{3}}{2}=\frac{125\sqrt{3}π}{24}\ \mathrm{cm}^3$
【答案】
(1) 滤纸能紧贴此漏斗内壁；
(2) $\frac{125\sqrt{3}π}{24}\ \mathrm{cm}^3$
【知识点】
圆锥展开图性质，弧长公式应用，圆锥体积计算
【点评】
本题结合生活实践情境考查圆锥的相关计算，需要准确建立圆锥实体与侧面展开图各参数的对应关系，熟练运用弧长公式、勾股定理和体积公式解决问题，体现了数学知识的实际应用价值。
【难度系数】
0.6
要判断滤纸能否紧贴漏斗内壁，本质是判断两个圆锥的侧面倾斜程度是否一致，即侧面展开图的圆心角是否相等。解题思路如下：①先分析滤纸折成的圆锥：圆形滤纸直径为10cm，折成圆锥的母线长等于滤纸半径5cm，由折叠方式可知其侧面展开图是圆心角为180°的扇形，结合“扇形弧长=圆锥底面周长”可算出滤纸圆锥的底面半径；②再分析漏斗圆锥：已知漏斗母线长7cm，底面直径7cm即半径3.5cm，同样利用弧长与底面周长的等量关系，求出漏斗侧面展开图的圆心角；③若两个圆心角相等，则侧面倾斜度一致，滤纸可紧贴漏斗。第二问求圆锥体积，已知母线长和底面半径，先用勾股定理求出圆锥的高，再代入圆锥体积公式计算即可。
【解析】
(1) 滤纸能紧贴此漏斗内壁，理由如下：
圆形滤纸的直径为10 cm，因此围成的圆锥形滤纸的母线长$l_1=\frac{10}{2}=5\ \mathrm{cm}$。
由折叠过程可知，该滤纸圆锥的侧面展开图是圆心角为$180°$的扇形。
设滤纸圆锥的底面半径为$r_1$，根据扇形弧长等于圆锥底面周长：
$\frac{180π × 5}{180}=2π r_1$
解得$r_1=2.5\ \mathrm{cm}$。
已知圆锥形漏斗的母线长$l_2=7\ \mathrm{cm}$，漏斗口直径为7 cm，因此漏斗底面半径$r_2=\frac{7}{2}=3.5\ \mathrm{cm}$。
设漏斗侧面展开图的圆心角为$n°$，同理可得：
$\frac{nπ × 7}{180}=2π × 3.5$
解得$n=180$。
两个圆锥的侧面展开图圆心角相等，侧面倾斜程度完全一致，因此滤纸能紧贴此漏斗内壁。
(2) 设滤纸围成的圆锥的高为$h$，由勾股定理：
$h=\sqrt{l_1^2 - r_1^2}=\sqrt{5^2 - 2.5^2}=\frac{5\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{cm}$
根据圆锥体积公式$V=\frac{1}{3}π r^2 h$：
$V=\frac{1}{3}π × 2.5^2 × \frac{5\sqrt{3}}{2}=\frac{125\sqrt{3}π}{24}\ \mathrm{cm}^3$
【答案】
(1) 滤纸能紧贴此漏斗内壁；
(2) $\frac{125\sqrt{3}π}{24}\ \mathrm{cm}^3$
【知识点】
圆锥展开图性质，弧长公式应用，圆锥体积计算
【点评】
本题结合生活实践情境考查圆锥的相关计算，需要准确建立圆锥实体与侧面展开图各参数的对应关系，熟练运用弧长公式、勾股定理和体积公式解决问题，体现了数学知识的实际应用价值。
【难度系数】
0.6
