2.【素材】某校在10周年校庆前设计了吉祥物“育育”挂件，并根据挂件尺寸设计了长方体形状的包装盒.设计组有细心的同学发现，把吉祥物“育育”装进包装盒后，拐角处还空余不少空间，这样比较浪费，所以打算进一步探究节省材料的方案.
【任务1】探究:对于底面积和高一定的长方体包装盒,什么情况下最省材料(即表面积最小)?
通过探究发现,问题等价于“底面矩形的面积一定时,周长何时最小?”设计组先假定底面积为16,列出下表:

根据表格,可猜测:矩形的面积一定,时周长最小.
为了证明上述猜测,小丫同学假设矩形面积为$a^2$,设两邻边长分别为$a-x$和$a+y$($x,y$均为非负数),则$(a-x)(a+y)=a^2$,得$y-x=\frac{xy}{a}$.
(1)按小丫同学的思路,请表示出周长并补全后续的证明过程.
【任务2】计算对比,合理优化:设计组之前设计的长方体包装盒的尺寸为长7 cm、宽4 cm、高5 cm.小明同学在保持底面积不变小的前提下,建议将包装盒形状改成底面是直径6 cm的圆,高保持不变的圆柱体,从节省材料的角度来看,你觉得合理吗?请判断并说明理由.

【任务1】 提示:设两邻边长分别为$a-x$和$a+y$($x,y$均为非负数),则$(a-x)(a+y)=a^2$,得$y-x=\frac{xy}{a}$,因为$x,y≥0$,$a＞0$,所以$\frac{2xy}{a}≥0$,因此矩形周长为$2(a-x)+2(a+y)=4a+2(y-x)=4a+\frac{2xy}{a}≥4a$,所以$x=y=0$,即矩形为正方形时,周长最小,故答案为:$x=y=0$
【任务2】 合理,理由如下:长方体的体积$7×4×5=140(\mathrm{cm^3})$,圆柱体的体积$\approx 3.14× (\frac{6}{2})^2× 5=141.3(\mathrm{cm^3})$,长方体的表面积为$(7×4+4×5+7×5)×2=166(\mathrm{cm^2})$. 圆柱体的表面积为$π× 3^2× 2+6π× 5=48π$,$48π＜48× 3.2=153.6$. 因为$153.6＜166$,所以改为圆柱体更节省材料

【分析】
任务1：先观察表格数据可发现，面积固定为16时，长和宽的差值越小，周长越小，当长=宽时周长最小，因此可先猜测长和宽相等（即矩形为正方形）时周长最小。证明时先根据给定的边长表达式写出周长公式，再代入已知的$y-x=\frac{xy}{a}$化简，结合x、y的非负性推导周长的最小值以及取最小值的条件即可。
任务2：判断方案是否合理首先要满足使用需求，即圆柱体积不能小于原长方体体积，其次要满足省材料的要求，即圆柱表面积小于原长方体表面积。因此分别计算长方体和圆柱的体积、表面积，对比两组数据即可得出结论。
【解析】
任务1
观察表格可猜测：矩形的面积一定，长和宽相等（为正方形）时周长最小。
证明：矩形周长$C=2[(a-x)+(a+y)]=4a+2(y-x)$
把$y-x=\frac{xy}{a}$代入得：$C=4a+\frac{2xy}{a}$
∵$x,y≥0$，$a＞0$，
∴$\frac{2xy}{a}≥0$，因此$C≥4a$
当且仅当$\frac{2xy}{a}=0$即$x=y=0$时等号成立，此时矩形两邻边均为$a$，即矩形为正方形，周长取得最小值$4a$。
任务2
方案合理，理由如下：
1. 体积对比：
原长方体体积：$7×4×5=140(\mathrm{cm^3})$
圆柱体积：$3.14×(\frac{6}{2})^2×5=141.3(\mathrm{cm^3})$
$141.3＞140$，满足装下挂件的容积要求。
2. 表面积对比：
原长方体表面积：$2×(7×4+7×5+4×5)=166(\mathrm{cm^2})$
圆柱表面积：$2×π×3^2+π×6×5=48π\approx48×3.14=150.72(\mathrm{cm^2})$
$150.72＜166$，圆柱表面积更小，更节省材料。
因此该方案合理。
【答案】
任务1：长和宽相等（或为正方形），证明过程见解析；
任务2：合理，理由见解析。
【知识点】
1. 矩形周长与面积计算
2. 几何体体积与表面积计算
3. 优化方案判断
【点评】
本题结合生活中包装盒优化的实际场景出题，既考查了代数最值的推导逻辑，又考查了常见几何体的相关计算，需要学生兼顾实际问题的使用需求和数学层面的优化要求，综合性较强，能很好地锻炼知识应用能力。
【难度系数】
0.6