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例1 在学习频率与概率的相关知识时，小明与同学一起做“同时抛掷2枚质地均匀的硬币”的试验，记录的试验结果如表.
（1）根据表中试验结果，估计“2枚硬币正面都朝上”的概率是
（2）请你用列表或画树状图的方法解释（1）中的结论.
（1）根据表中试验结果，估计“2枚硬币正面都朝上”的概率是
0.25
（结果精确到0.01）；（2）请你用列表或画树状图的方法解释（1）中的结论.
答案
(1) 0.25
(2) 画树状图如下：
由图知，共有4种等可能结果，其中2枚硬币正面都朝上的有1种结果，所以2枚硬币正面都朝上的概率为$\frac{1}{4}$
解析
【分析】
（1）求解第一问时，依据频率估计概率的原理：大量重复试验中，事件发生的频率会逐渐稳定在概率附近，观察表格中随抛掷次数增加，频率的稳定值即可得到概率估计值。
（2）求解第二问时，同时抛两枚硬币属于两步随机试验，通过画树状图列出所有等可能的结果，再找出“2枚正面都朝上”的结果数，根据等可能事件的概率公式计算即可验证第一问的结论。
【解析】
（1）观察表格数据可知，随着抛掷次数不断增大，“2枚硬币正面都朝上”的频率在0.25上下波动，逐渐趋于稳定，因此估计该事件的概率为0.25。
（2）画树状图分析：第一枚硬币有“正”“反”2种等可能的结果，对应每种结果，第二枚硬币也有“正”“反”2种等可能的结果，因此总共有4种等可能的结果：（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反）。其中满足“2枚硬币正面都朝上”的结果只有1种，根据概率公式$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能结果数}}$，可得该事件的概率为$\frac{1}{4}=0.25$，与（1）中估计的概率一致。
【答案】
(1) 0.25
(2) 画树状图如下：
由图知，共有4种等可能结果，其中2枚硬币正面都朝上的有1种结果，所以2枚硬币正面都朝上的概率为$\frac{1}{4}$
【知识点】
频率估计概率；树状图求概率；等可能事件概率计算
【点评】
本题将试验统计和理论计算相结合，既考查了频率与概率的关系，又考查了用树状图法求解等可能事件概率的方法，帮助学生理解概率的实际意义和理论推导的一致性，是概率章节的典型基础题。
【难度系数】
0.75
（1）求解第一问时，依据频率估计概率的原理：大量重复试验中，事件发生的频率会逐渐稳定在概率附近，观察表格中随抛掷次数增加，频率的稳定值即可得到概率估计值。
（2）求解第二问时，同时抛两枚硬币属于两步随机试验，通过画树状图列出所有等可能的结果，再找出“2枚正面都朝上”的结果数，根据等可能事件的概率公式计算即可验证第一问的结论。
【解析】
（1）观察表格数据可知，随着抛掷次数不断增大，“2枚硬币正面都朝上”的频率在0.25上下波动，逐渐趋于稳定，因此估计该事件的概率为0.25。
（2）画树状图分析：第一枚硬币有“正”“反”2种等可能的结果，对应每种结果，第二枚硬币也有“正”“反”2种等可能的结果，因此总共有4种等可能的结果：（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反）。其中满足“2枚硬币正面都朝上”的结果只有1种，根据概率公式$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能结果数}}$，可得该事件的概率为$\frac{1}{4}=0.25$，与（1）中估计的概率一致。
【答案】
(1) 0.25
(2) 画树状图如下：
由图知，共有4种等可能结果，其中2枚硬币正面都朝上的有1种结果，所以2枚硬币正面都朝上的概率为$\frac{1}{4}$
【知识点】
频率估计概率；树状图求概率；等可能事件概率计算
【点评】
本题将试验统计和理论计算相结合，既考查了频率与概率的关系，又考查了用树状图法求解等可能事件概率的方法，帮助学生理解概率的实际意义和理论推导的一致性，是概率章节的典型基础题。
【难度系数】
0.75
例2 在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共40个，小颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出1个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是“摸到白色球”的频率折线统计图(图5.4.1).
（1）请估计:当n很大时,摸到白球的概率将会接近
（2）试估算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个.
（3）在(2)的条件下,如果要使摸到白球的概率为$\frac{3}{5}$,需要往盒子里再放入多少个白球?
图5.4.1
（1）请估计:当n很大时,摸到白球的概率将会接近
0.50
,假如你摸一次,你摸到白球的概率为0.50
.(结果精确到0.01)（2）试估算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个.
（3）在(2)的条件下,如果要使摸到白球的概率为$\frac{3}{5}$,需要往盒子里再放入多少个白球?
图5.4.1
答案
(1) 0.50,0.50
(2) $40×0.5=20$(个),$40-20=20$(个).答:估算盒子里白、黑两种颜色的球分别有20个、20个
(3) 设需要往盒子里再放入$x$个白球;根据题意,得$\frac{20+x}{40+x}=\frac{3}{5}$.解得$x=10$.答:需要往盒子里再放入10个白球
(2) $40×0.5=20$(个),$40-20=20$(个).答:估算盒子里白、黑两种颜色的球分别有20个、20个
(3) 设需要往盒子里再放入$x$个白球;根据题意,得$\frac{20+x}{40+x}=\frac{3}{5}$.解得$x=10$.答:需要往盒子里再放入10个白球
解析
【分析】
本题考查利用频率估计概率及概率的相关计算，解题思路如下：1. 第一问根据大量重复试验时频率会逐渐稳定在概率附近的规律，观察折线图的频率稳定值即可得到摸到白球的概率；2. 第二问利用“所求情况数=总情况数×对应概率”计算白球数量，再用总球数减去白球数得到黑球数量；3. 第三问设添加白球的数量为未知数，结合新的摸到白球的概率列分式方程，求解后检验结果符合实际意义即可。
【解析】
（1）观察频率折线统计图，当摸球次数不断增大时，摸到白球的频率稳定在0.50附近，因此当n很大时，摸到白球的概率将会接近0.50；根据频率估计概率的原理，单次摸球时摸到白球的概率为0.50。
（2）已知盒子内总球数为40个，摸到白球的概率约为0.5，因此白球数量为：$40×0.5=20$（个），黑球数量为：$40-20=20$（个）。
（3）设需要往盒子里再放入$x$个白球，此时盒子内白球总数量为$(20+x)$个，球的总数量为$(40+x)$个，根据摸到白球的概率为$\frac{3}{5}$，列方程得：
$\frac{20+x}{40+x}=\frac{3}{5}$
交叉相乘得：$5(20+x)=3(40+x)$
展开计算得：$100+5x=120+3x$
移项合并得：$2x=20$
解得：$x=10$
经检验，$x=10$时分母不为0，是原方程的解，且符合实际意义。
【答案】
(1) 0.50，0.50
(2) 白球20个，黑球20个
(3) 10个
【知识点】
频率估计概率、概率计算、分式方程应用
【点评】
本题是概率应用的基础题型，核心是理解大量重复试验下频率和概率的关系，解题时要准确把握概率公式的等量关系，列分式方程求解后需注意验证结果是否符合实际场景，整体解题逻辑清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
本题考查利用频率估计概率及概率的相关计算，解题思路如下：1. 第一问根据大量重复试验时频率会逐渐稳定在概率附近的规律，观察折线图的频率稳定值即可得到摸到白球的概率；2. 第二问利用“所求情况数=总情况数×对应概率”计算白球数量，再用总球数减去白球数得到黑球数量；3. 第三问设添加白球的数量为未知数，结合新的摸到白球的概率列分式方程，求解后检验结果符合实际意义即可。
【解析】
（1）观察频率折线统计图，当摸球次数不断增大时，摸到白球的频率稳定在0.50附近，因此当n很大时，摸到白球的概率将会接近0.50；根据频率估计概率的原理，单次摸球时摸到白球的概率为0.50。
（2）已知盒子内总球数为40个，摸到白球的概率约为0.5，因此白球数量为：$40×0.5=20$（个），黑球数量为：$40-20=20$（个）。
（3）设需要往盒子里再放入$x$个白球，此时盒子内白球总数量为$(20+x)$个，球的总数量为$(40+x)$个，根据摸到白球的概率为$\frac{3}{5}$，列方程得：
$\frac{20+x}{40+x}=\frac{3}{5}$
交叉相乘得：$5(20+x)=3(40+x)$
展开计算得：$100+5x=120+3x$
移项合并得：$2x=20$
解得：$x=10$
经检验，$x=10$时分母不为0，是原方程的解，且符合实际意义。
【答案】
(1) 0.50，0.50
(2) 白球20个，黑球20个
(3) 10个
【知识点】
频率估计概率、概率计算、分式方程应用
【点评】
本题是概率应用的基础题型，核心是理解大量重复试验下频率和概率的关系，解题时要准确把握概率公式的等量关系，列分式方程求解后需注意验证结果是否符合实际场景，整体解题逻辑清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
