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4. 口袋中有15个球，其中白球有x个，绿球有2x个，其余为黑球。甲从袋中任意摸出1个球，若为绿球则获胜；甲摸出的球放回袋中，乙从袋中摸出1个球，若为黑球则获胜；则当x=
3
时，游戏对甲、乙双方都公平。答案
4. 3
解析
【分析】
要判断游戏对甲乙双方公平，核心条件是甲乙两人获胜的概率相等。首先我们需要分别表示出甲、乙获胜的概率：甲获胜的概率等于绿球的数量除以总球数，乙获胜的概率等于黑球的数量除以总球数。由于总球数相同，因此只需让绿球的数量等于黑球的数量即可。首先用含x的式子表示出黑球的数量，再根据数量相等列方程求解，最后验证x的值符合球的数量为正整数的实际要求即可。
【解析】
游戏对双方公平的条件是：甲获胜的概率 = 乙获胜的概率。
已知总球数为15，白球x个，绿球2x个，因此黑球的数量为：$15 - x - 2x = 15 - 3x$。
甲摸出绿球获胜，其获胜概率为：$\frac{\mathrm{绿球数}}{\mathrm{总球数}}=\frac{2x}{15}$；
乙摸出黑球获胜，其获胜概率为：$\frac{\mathrm{黑球数}}{\mathrm{总球数}}=\frac{15-3x}{15}$。
令两个概率相等：
$\frac{2x}{15}=\frac{15-3x}{15}$
两边同乘15得：$2x = 15 - 3x$
移项合并同类项得：$5x = 15$
解得：$x=3$。
验证：当x=3时，白球3个，绿球6个，黑球6个，均为正整数，符合实际意义。
【答案】
3
【知识点】
概率的计算、游戏公平性判断、一元一次方程的应用
【点评】
本题主要考查概率在实际问题中的应用，解题的关键是理解游戏公平的本质是参与双方获胜的概率相等，求解后要注意验证结果是否符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.7
要判断游戏对甲乙双方公平，核心条件是甲乙两人获胜的概率相等。首先我们需要分别表示出甲、乙获胜的概率：甲获胜的概率等于绿球的数量除以总球数，乙获胜的概率等于黑球的数量除以总球数。由于总球数相同，因此只需让绿球的数量等于黑球的数量即可。首先用含x的式子表示出黑球的数量，再根据数量相等列方程求解，最后验证x的值符合球的数量为正整数的实际要求即可。
【解析】
游戏对双方公平的条件是：甲获胜的概率 = 乙获胜的概率。
已知总球数为15，白球x个，绿球2x个，因此黑球的数量为：$15 - x - 2x = 15 - 3x$。
甲摸出绿球获胜，其获胜概率为：$\frac{\mathrm{绿球数}}{\mathrm{总球数}}=\frac{2x}{15}$；
乙摸出黑球获胜，其获胜概率为：$\frac{\mathrm{黑球数}}{\mathrm{总球数}}=\frac{15-3x}{15}$。
令两个概率相等：
$\frac{2x}{15}=\frac{15-3x}{15}$
两边同乘15得：$2x = 15 - 3x$
移项合并同类项得：$5x = 15$
解得：$x=3$。
验证：当x=3时，白球3个，绿球6个，黑球6个，均为正整数，符合实际意义。
【答案】
3
【知识点】
概率的计算、游戏公平性判断、一元一次方程的应用
【点评】
本题主要考查概率在实际问题中的应用，解题的关键是理解游戏公平的本质是参与双方获胜的概率相等，求解后要注意验证结果是否符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.7
5. 小明和小亮用如图所示的转盘进行游戏,三个扇形的圆心角均相等,分别标有数字1,2,3.游戏规则如下:一人转动一次转盘,若两次转盘指针所指的数字之积为偶数,则小明胜;若两次转盘指针所指的数字之积为奇数,则小亮胜.
(1) 用列表或画树状图的方法表示出所有可能出现的结果.
(2) 你认为这个游戏公平吗?请说明理由.
(1) 用列表或画树状图的方法表示出所有可能出现的结果.
(2) 你认为这个游戏公平吗?请说明理由.
答案
(1) 根据题意,列表如下：
由表格可知,共有9种结果,且每种结果出现的可能性相同(2) 不公平.理由:由表格可知,两次转盘指针所指数字之积为偶数的有5种,积为奇数的有4种,则小明胜的概率是$\frac{5}{9}$,小亮胜的概率是$\frac{4}{9}$.$\because \frac{4}{9} ≠ \frac{5}{9}$,
∴这个游戏不公平
解析
【分析】
(1) 要表示两次转动转盘的所有可能结果，两次转动相互独立，每次都有1、2、3三种等可能结果，可选择列表法：将第一次转动的结果作为行标，第二次转动的结果作为列标，交叉位置填写两次数字的乘积，即可不重不漏枚举所有情况。(2) 判断游戏公平性的核心是比较双方获胜的概率是否相等：先分别统计数字之积为偶数、奇数的情况数，结合总情况数计算两人获胜的概率，概率相等则游戏公平，反之则不公平。
【解析】
(1) 两次转动转盘，每次均有3种等可能的结果，列表如下：
| | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 2 | 3 |
| 2 | 2 | 4 | 6 |
| 3 | 3 | 6 | 9 |
由表格可知，共有9种等可能出现的结果。
(2) 这个游戏不公平，理由如下：
统计表格中的乘积结果，积为偶数的情况有5种，积为奇数的情况有4种。
根据概率公式可得：
小明获胜的概率$P(小明胜)=\frac{5}{9}$，小亮获胜的概率$P(小亮胜)=\frac{4}{9}$。
∵$\frac{5}{9} ≠ \frac{4}{9}$，两人获胜的概率不相等，
∴这个游戏不公平。
【答案】
(1) 根据题意,列表如下：由表格可知,共有9种结果,且每种结果出现的可能性相同
(2) 不公平.理由:由表格可知,两次转盘指针所指数字之积为偶数的有5种,积为奇数的有4种,则小明胜的概率是$\frac{5}{9}$,小亮胜的概率是$\frac{4}{9}$.$\because \frac{4}{9} ≠ \frac{5}{9}$,
∴这个游戏不公平
【知识点】
列表法求概率；概率计算；游戏公平性判断
【点评】
本题是概率的常规应用题型，解题关键是通过列表法不重不漏地枚举所有等可能结果，再结合概率公式计算双方获胜概率，即可判断游戏是否公平，整体逻辑清晰，难度不大。
【难度系数】
0.7
(1) 要表示两次转动转盘的所有可能结果，两次转动相互独立，每次都有1、2、3三种等可能结果，可选择列表法：将第一次转动的结果作为行标，第二次转动的结果作为列标，交叉位置填写两次数字的乘积，即可不重不漏枚举所有情况。(2) 判断游戏公平性的核心是比较双方获胜的概率是否相等：先分别统计数字之积为偶数、奇数的情况数，结合总情况数计算两人获胜的概率，概率相等则游戏公平，反之则不公平。
【解析】
(1) 两次转动转盘，每次均有3种等可能的结果，列表如下：
| | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 2 | 3 |
| 2 | 2 | 4 | 6 |
| 3 | 3 | 6 | 9 |
由表格可知，共有9种等可能出现的结果。
(2) 这个游戏不公平，理由如下：
统计表格中的乘积结果，积为偶数的情况有5种，积为奇数的情况有4种。
根据概率公式可得：
小明获胜的概率$P(小明胜)=\frac{5}{9}$，小亮获胜的概率$P(小亮胜)=\frac{4}{9}$。
∵$\frac{5}{9} ≠ \frac{4}{9}$，两人获胜的概率不相等，
∴这个游戏不公平。
【答案】
(1) 根据题意,列表如下：
由表格可知,共有9种结果,且每种结果出现的可能性相同(2) 不公平.理由:由表格可知,两次转盘指针所指数字之积为偶数的有5种,积为奇数的有4种,则小明胜的概率是$\frac{5}{9}$,小亮胜的概率是$\frac{4}{9}$.$\because \frac{4}{9} ≠ \frac{5}{9}$,
∴这个游戏不公平
【知识点】
列表法求概率；概率计算；游戏公平性判断
【点评】
本题是概率的常规应用题型，解题关键是通过列表法不重不漏地枚举所有等可能结果，再结合概率公式计算双方获胜概率，即可判断游戏是否公平，整体逻辑清晰，难度不大。
【难度系数】
0.7
6. 为帮助同学们正确理解物理变化与化学变化，老师将5种生活现象分别制成无差别的卡片，分别放入如图所示的甲、乙两个口袋中.甲口袋中装有A,B,C 3张卡片，乙口袋中装有D,E 2张卡片.其中，没有生成其他物质的变化记作物理变化(A,D)；生成其他物质的变化记作化学变化(B,C,E).课堂上，同学们通过抽卡片来分享对应的科学知识.
（1）小南从甲口袋中随机抽取1张卡片，抽到的是物理变化的概率是
（2）游戏规则如下：老师从两个口袋中各随机抽取1张卡片，若抽取的2张卡片都是化学变化，则由小南分享；若抽取的2张卡片都是物理变化，则由小安分享.这个规则对小南和小安公平吗？请用画树状图或列表法说明理由.
（第6题）
（1）小南从甲口袋中随机抽取1张卡片，抽到的是物理变化的概率是
$\frac{1}{3}$
.（2）游戏规则如下：老师从两个口袋中各随机抽取1张卡片，若抽取的2张卡片都是化学变化，则由小南分享；若抽取的2张卡片都是物理变化，则由小安分享.这个规则对小南和小安公平吗？请用画树状图或列表法说明理由.
（第6题）答案
(1) $\frac{1}{3}$
(2) 这个规则对小南和小安不公平,列表如下：
共有6种等可能的结果,其中抽取的2张卡片都是化学变化的结果有2种,即BE、CE;抽取的2张卡片都是物理变化的结果有1种,即AD,∴由小南分享的概率=$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$,由小安分享的概率=$\frac{1}{6}$.$\because \frac{1}{3} ≠ \frac{1}{6}$,
∴由小南分享的概率≠由小安分享的概率.
∴这个规则对小南和小安不公平
解析
【分析】
（1）第一问先明确甲口袋的总卡片数，以及其中属于物理变化的卡片数量，根据“简单概率=所求情况数÷总情况数”即可计算结果。
（2）判断游戏是否公平的依据是两人获胜的概率是否相等。解题时先通过列表法列出从两个口袋各抽1张卡片的所有等可能结果，再分别找出“两张都是化学变化”“两张都是物理变化”的结果数，代入概率公式计算二者概率后比较即可。
【解析】
（1）甲口袋共有3张卡片，其中属于物理变化的卡片仅有A1张，因此抽到物理变化的概率为 $\frac{1}{3}$。
（2）规则不公平，理由如下：
根据题意列表得所有等可能结果：
由表可知一共有6种等可能的结果。
其中2张都是化学变化的结果有（B,E）、（C,E）共2种，因此小南分享的概率为 $\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$；
2张都是物理变化的结果仅有（A,D）1种，因此小安分享的概率为 $\frac{1}{6}$。
因为 $\frac{1}{3} ≠ \frac{1}{6}$，两人分享的概率不相等，所以这个规则不公平。
【答案】
(1) $\frac{1}{3}$
(2) 这个规则对小南和小安不公平,列表如下：
共有6种等可能的结果,其中抽取的2张卡片都是化学变化的结果有2种,即BE、CE;抽取的2张卡片都是物理变化的结果有1种,即AD,
∴由小南分享的概率=$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$,由小安分享的概率=$\frac{1}{6}$.$\because \frac{1}{3} ≠ \frac{1}{6}$,
∴由小南分享的概率≠由小安分享的概率.
∴这个规则对小南和小安不公平
【知识点】
简单概率计算，列表法求概率，游戏公平性判断
【点评】
本题结合跨学科常识考查概率的基础应用，解题关键是准确梳理所有等可能结果，牢记游戏公平的判断依据是双方获胜概率相等。
【难度系数】
0.8
（1）第一问先明确甲口袋的总卡片数，以及其中属于物理变化的卡片数量，根据“简单概率=所求情况数÷总情况数”即可计算结果。
（2）判断游戏是否公平的依据是两人获胜的概率是否相等。解题时先通过列表法列出从两个口袋各抽1张卡片的所有等可能结果，再分别找出“两张都是化学变化”“两张都是物理变化”的结果数，代入概率公式计算二者概率后比较即可。
【解析】
（1）甲口袋共有3张卡片，其中属于物理变化的卡片仅有A1张，因此抽到物理变化的概率为 $\frac{1}{3}$。
（2）规则不公平，理由如下：
根据题意列表得所有等可能结果：
由表可知一共有6种等可能的结果。
其中2张都是化学变化的结果有（B,E）、（C,E）共2种，因此小南分享的概率为 $\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$；
2张都是物理变化的结果仅有（A,D）1种，因此小安分享的概率为 $\frac{1}{6}$。
因为 $\frac{1}{3} ≠ \frac{1}{6}$，两人分享的概率不相等，所以这个规则不公平。
【答案】
(1) $\frac{1}{3}$
(2) 这个规则对小南和小安不公平,列表如下：
共有6种等可能的结果,其中抽取的2张卡片都是化学变化的结果有2种,即BE、CE;抽取的2张卡片都是物理变化的结果有1种,即AD,
∴由小南分享的概率=$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$,由小安分享的概率=$\frac{1}{6}$.$\because \frac{1}{3} ≠ \frac{1}{6}$,
∴由小南分享的概率≠由小安分享的概率.
∴这个规则对小南和小安不公平
【知识点】
简单概率计算，列表法求概率，游戏公平性判断
【点评】
本题结合跨学科常识考查概率的基础应用，解题关键是准确梳理所有等可能结果，牢记游戏公平的判断依据是双方获胜概率相等。
【难度系数】
0.8
7.“击鼓传花”是集体活动中的传统游戏.在“徒步春光”活动中，老师组织大家玩新式的“传花”游戏，游戏规则如下：选择5名同学作为参与者和1名同学作为裁判，5名参与者围成一个圆圈，按照顺时针方向分别编号为1～5号，如图所示.初始时，1号位置的同学拿着“花”，然后由裁判掷出一枚硬币来确定“传花”的方向，硬币正面朝上顺时针传递，反面朝上逆时针传递.再掷一枚骰子决定传递步数（如硬币正面，骰子掷出6点则传至2号位置）.最终持有“花”的同学需要在班级中表演节目.
（1）掷出一枚硬币，正面朝上的概率是
（2）小陆选择了2号位置，小港选择了3号位置.这个游戏对小陆和小港是否公平？请用列表法或树状图法说明.
（1）掷出一枚硬币，正面朝上的概率是
$\frac{1}{2}$
.（2）小陆选择了2号位置，小港选择了3号位置.这个游戏对小陆和小港是否公平？请用列表法或树状图法说明.
答案
(1) $\frac{1}{2}$
(2) 这个游戏对小陆和小港不公平.画树状图如下：
由树状图知,共有12种等可能结果,其中传到2号位置的有3种结果,传到3号位置的有2种结果,所以传到2号位置的概率为$\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$,传到3号位置的概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$,故这个游戏对小陆和小港不公平
解析
【分析】
（1）第一问考查简单古典概型的概率计算，掷硬币只有正面朝上、反面朝上2种等可能结果，用符合条件的结果数除以总结果数即可得到正面朝上的概率。
（2）判断游戏是否公平的核心是比较花传到2号、3号位置的概率是否相等。该试验分两步：第一步掷硬币确定传递方向，共2种等可能结果；第二步掷骰子确定传递步数，共6种等可能结果，总共有12种等可能结果。可以通过树状图列举所有结果，分别统计传到2号、3号的结果数，计算对应概率后比较大小，概率相等则游戏公平，否则不公平。
【解析】
（1）掷一枚硬币，共有正面朝上、反面朝上2种等可能的结果，其中正面朝上的结果有1种，根据概率公式可得：
$P(正面朝上)=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能结果数}=\frac{1}{2}$。
（2）根据游戏规则，先绘制树状图列举所有等可能的情况：
第一步掷硬币有“正”“反”2种结果，对应每种结果，掷骰子有1~6共6种传递步数，分别计算最终位置：
硬币正面（顺时针传递）：掷1步到2号，掷2步到3号，掷3步到4号，掷4步到5号，掷5步到1号，掷6步到2号；
硬币反面（逆时针传递）：掷1步到5号，掷2步到4号，掷3步到3号，掷4步到2号，掷5步到1号，掷6步到5号。
综上，共有12种等可能的结果，其中传到2号位置的结果有3种，传到3号位置的结果有2种。
因此$P(传到2号)=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$，$P(传到3号)=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$，二者概率不相等，所以游戏不公平。
【答案】
(1) $\frac{1}{2}$
(2) 这个游戏对小陆和小港不公平.画树状图如下：
由树状图知,共有12种等可能结果,其中传到2号位置的有3种结果,传到3号位置的有2种结果,所以传到2号位置的概率为$\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$,传到3号位置的概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$,故这个游戏对小陆和小港不公平
【知识点】
古典概型概率计算，树状图法求概率，游戏公平性判断
【点评】
本题以生活中常见的击鼓传花游戏为背景，将概率知识和实际场景结合，既考查了基础的概率计算能力，也要求学生掌握用列举法分析所有等可能事件的方法，能够有效锻炼学生运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
（1）第一问考查简单古典概型的概率计算，掷硬币只有正面朝上、反面朝上2种等可能结果，用符合条件的结果数除以总结果数即可得到正面朝上的概率。
（2）判断游戏是否公平的核心是比较花传到2号、3号位置的概率是否相等。该试验分两步：第一步掷硬币确定传递方向，共2种等可能结果；第二步掷骰子确定传递步数，共6种等可能结果，总共有12种等可能结果。可以通过树状图列举所有结果，分别统计传到2号、3号的结果数，计算对应概率后比较大小，概率相等则游戏公平，否则不公平。
【解析】
（1）掷一枚硬币，共有正面朝上、反面朝上2种等可能的结果，其中正面朝上的结果有1种，根据概率公式可得：
$P(正面朝上)=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能结果数}=\frac{1}{2}$。
（2）根据游戏规则，先绘制树状图列举所有等可能的情况：
第一步掷硬币有“正”“反”2种结果，对应每种结果，掷骰子有1~6共6种传递步数，分别计算最终位置：
硬币正面（顺时针传递）：掷1步到2号，掷2步到3号，掷3步到4号，掷4步到5号，掷5步到1号，掷6步到2号；
硬币反面（逆时针传递）：掷1步到5号，掷2步到4号，掷3步到3号，掷4步到2号，掷5步到1号，掷6步到5号。
综上，共有12种等可能的结果，其中传到2号位置的结果有3种，传到3号位置的结果有2种。
因此$P(传到2号)=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$，$P(传到3号)=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$，二者概率不相等，所以游戏不公平。
【答案】
(1) $\frac{1}{2}$
(2) 这个游戏对小陆和小港不公平.画树状图如下：
由树状图知,共有12种等可能结果,其中传到2号位置的有3种结果,传到3号位置的有2种结果,所以传到2号位置的概率为$\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$,传到3号位置的概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$,故这个游戏对小陆和小港不公平
【知识点】
古典概型概率计算，树状图法求概率，游戏公平性判断
【点评】
本题以生活中常见的击鼓传花游戏为背景，将概率知识和实际场景结合，既考查了基础的概率计算能力，也要求学生掌握用列举法分析所有等可能事件的方法，能够有效锻炼学生运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
