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例1 小慧为班级策划联欢会，其中有一个抽奖环节(全班每名同学均有一次抽奖机会)：班级计划设置大奖和小奖，其中10%为大奖，其余为小奖.小慧设计了如下抽奖方案：在一个不透明的盒子中，放入2个黄球和3个白球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出2个球，摸到的2个球都是黄球的同学获得大奖，其余的同学获得小奖.该抽奖方案符合班级的设奖要求吗？请说明理由.
答案
该抽奖方案符合班级的设奖要求,理由如下:分别用黄1、黄2、白1、白2、白3表示这5个球,从中任意摸出2个球,可能出现的结果有：
| | 黄1 | 黄2 | 白1 | 白2 | 白3 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 黄1 | | (黄1,黄2) | (黄1,白1) | (黄1,白2) | (黄1,白3) |
| 黄2 | (黄2,黄1) | | (黄2,白1) | (黄2,白2) | (黄2,白3) |
| 白1 | (白1,黄1) | (白1,黄2) | | (白1,白2) | (白1,白3) |
| 白2 | (白2,黄1) | (白2,黄2) | (白2,白1) | | (白2,白3) |
| 白3 | (白3,黄1) | (白3,黄2) | (白3,白1) | (白3,白2) | |
共有20种结果,它们出现的可能性相同.所有的结果中,满足摸到的2个球都是黄球(记为事件A)的结果有2种,即(黄1,黄2)或(黄2,黄1),所以 $P(A)=\frac{2}{20}=\frac{1}{10}$,即获得大奖的概率为$\frac{1}{10}$,获得小奖的概率为$\frac{9}{10}$;按照小慧设计的抽奖方案:获得大奖的概率为$\frac{10}{10+90}=\frac{1}{10}$,获得小奖的概率为$\frac{90}{10+90}=\frac{9}{10}$;故该抽奖方案符合班级的设奖要求。
| | 黄1 | 黄2 | 白1 | 白2 | 白3 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 黄1 | | (黄1,黄2) | (黄1,白1) | (黄1,白2) | (黄1,白3) |
| 黄2 | (黄2,黄1) | | (黄2,白1) | (黄2,白2) | (黄2,白3) |
| 白1 | (白1,黄1) | (白1,黄2) | | (白1,白2) | (白1,白3) |
| 白2 | (白2,黄1) | (白2,黄2) | (白2,白1) | | (白2,白3) |
| 白3 | (白3,黄1) | (白3,黄2) | (白3,白1) | (白3,白2) | |
共有20种结果,它们出现的可能性相同.所有的结果中,满足摸到的2个球都是黄球(记为事件A)的结果有2种,即(黄1,黄2)或(黄2,黄1),所以 $P(A)=\frac{2}{20}=\frac{1}{10}$,即获得大奖的概率为$\frac{1}{10}$,获得小奖的概率为$\frac{9}{10}$;按照小慧设计的抽奖方案:获得大奖的概率为$\frac{10}{10+90}=\frac{1}{10}$,获得小奖的概率为$\frac{90}{10+90}=\frac{9}{10}$;故该抽奖方案符合班级的设奖要求。
解析
【分析】
要判断抽奖方案是否符合设奖要求，首先明确设奖要求是大奖占比为10%，也就是获得大奖的概率需为$\frac{1}{10}$，因此解题核心是计算该抽奖方案中摸到2个黄球（即中大奖）的概率，再与10%比较即可。计算概率时，由于摸球是不放回的等可能事件，可通过列表法列举出所有摸2个球的等可能结果，再统计满足“2个都是黄球”的结果数，最后代入概率公式计算即可。
【解析】
我们分别用黄1、黄2、白1、白2、白3表示盒子中的5个球，搅匀后任意摸出2个球，所有等可能的结果如下表：
| | 黄1 | 黄2 | 白1 | 白2 | 白3 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 黄1 | | (黄1,黄2) | (黄1,白1) | (黄1,白2) | (黄1,白3) |
| 黄2 | (黄2,黄1) | | (黄2,白1) | (黄2,白2) | (黄2,白3) |
| 白1 | (白1,黄1) | (白1,黄2) | | (白1,白2) | (白1,白3) |
| 白2 | (白2,黄1) | (白2,黄2) | (白2,白1) | | (白2,白3) |
| 白3 | (白3,黄1) | (白3,黄2) | (白3,白1) | (白3,白2) | |
由表可知，共有20种等可能的结果，其中摸到2个球都是黄球（记为事件A）的结果有2种，即(黄1,黄2)和(黄2,黄1)。
根据概率公式可得：$P(A)=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能的结果数}=\frac{2}{20}=\frac{1}{10}=10\%$，刚好符合班级大奖占10%的设奖要求。
【答案】
该抽奖方案符合班级的设奖要求。
【知识点】
列表法求概率；概率公式；概率的实际应用
【点评】
本题是概率在实际生活中的应用类问题，解题的关键是明确判断标准，正确列举所有等可能的事件结果，准确计算目标事件的概率再与要求比较，解题时注意列举结果时不要重复或遗漏。
【难度系数】
0.7
要判断抽奖方案是否符合设奖要求，首先明确设奖要求是大奖占比为10%，也就是获得大奖的概率需为$\frac{1}{10}$，因此解题核心是计算该抽奖方案中摸到2个黄球（即中大奖）的概率，再与10%比较即可。计算概率时，由于摸球是不放回的等可能事件，可通过列表法列举出所有摸2个球的等可能结果，再统计满足“2个都是黄球”的结果数，最后代入概率公式计算即可。
【解析】
我们分别用黄1、黄2、白1、白2、白3表示盒子中的5个球，搅匀后任意摸出2个球，所有等可能的结果如下表：
| | 黄1 | 黄2 | 白1 | 白2 | 白3 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 黄1 | | (黄1,黄2) | (黄1,白1) | (黄1,白2) | (黄1,白3) |
| 黄2 | (黄2,黄1) | | (黄2,白1) | (黄2,白2) | (黄2,白3) |
| 白1 | (白1,黄1) | (白1,黄2) | | (白1,白2) | (白1,白3) |
| 白2 | (白2,黄1) | (白2,黄2) | (白2,白1) | | (白2,白3) |
| 白3 | (白3,黄1) | (白3,黄2) | (白3,白1) | (白3,白2) | |
由表可知，共有20种等可能的结果，其中摸到2个球都是黄球（记为事件A）的结果有2种，即(黄1,黄2)和(黄2,黄1)。
根据概率公式可得：$P(A)=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能的结果数}=\frac{2}{20}=\frac{1}{10}=10\%$，刚好符合班级大奖占10%的设奖要求。
【答案】
该抽奖方案符合班级的设奖要求。
【知识点】
列表法求概率；概率公式；概率的实际应用
【点评】
本题是概率在实际生活中的应用类问题，解题的关键是明确判断标准，正确列举所有等可能的事件结果，准确计算目标事件的概率再与要求比较，解题时注意列举结果时不要重复或遗漏。
【难度系数】
0.7
例2 一个不透明的袋中装有5个黄球，13个黑球和22个红球，它们除颜色外都相同.
（1）小明和小红玩摸球游戏，规定每人摸球后再将摸到的球放回去为一次游戏，若摸到黑球小明获胜，摸到黄球小红获胜，这个游戏对双方公平吗？请说明你的理由.
（2）现在裁判想从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，使得这个游戏对双方公平，裁判取出了多少黑球？
（1）小明和小红玩摸球游戏，规定每人摸球后再将摸到的球放回去为一次游戏，若摸到黑球小明获胜，摸到黄球小红获胜，这个游戏对双方公平吗？请说明你的理由.
（2）现在裁判想从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，使得这个游戏对双方公平，裁判取出了多少黑球？
答案
（1）不公平.
∵不透明的袋中装有5个黄球、13个黑球和22个红球,摸到黑球小明获胜,摸到黄球小红获胜,
∴小明获胜的概率为$\frac{13}{40}$,小红获胜的概率为$\frac{5}{40}=\frac{1}{8}$
（2）由题意可得:设取出了x个黑球,则 $13-x=5+x$.解得 $x=4$.答:取出4个黑球。
∵不透明的袋中装有5个黄球、13个黑球和22个红球,摸到黑球小明获胜,摸到黄球小红获胜,
∴小明获胜的概率为$\frac{13}{40}$,小红获胜的概率为$\frac{5}{40}=\frac{1}{8}$
（2）由题意可得:设取出了x个黑球,则 $13-x=5+x$.解得 $x=4$.答:取出4个黑球。
解析
【分析】
要判断游戏是否公平，核心是比较双方获胜的概率是否相等：
1. 第一问：先计算袋中球的总数量，再分别根据概率公式计算小明、小红获胜的概率，比较两个概率大小即可判断公平性；
2. 第二问：要使游戏公平，需让黑球和黄球的数量相等（总球数不变时，数量相等则摸到的概率相等），设取出x个黑球，根据黑球剩余数量=黄球新增后数量列方程求解即可。
【解析】
（1）先计算袋中球的总个数：$5+13+22=40$（个）
摸到黑球小明获胜，因此小明获胜的概率为：$P(小明胜)=\frac{黑球个数}{总球数}=\frac{13}{40}$
摸到黄球小红获胜，因此小红获胜的概率为：$P(小红胜)=\frac{黄球个数}{总球数}=\frac{5}{40}=\frac{1}{8}$
∵$\frac{13}{40}≠\frac{5}{40}$，即两人获胜的概率不相等，因此这个游戏对双方不公平。
（2）设裁判取出了$x$个黑球，由于放入了相同数量的黄球，因此此时袋中黑球个数为$13-x$，黄球个数为$5+x$。
要使游戏公平，需两人获胜概率相等，即黑球和黄球的数量相等，据此列方程：
$13-x=5+x$
移项合并同类项得：$2x=8$
解得：$x=4$
【答案】
（1）不公平，小明获胜的概率为$\frac{13}{40}$，小红获胜的概率为$\frac{1}{8}$，两人获胜概率不相等；
（2）裁判取出了4个黑球。
【知识点】
概率公式，游戏公平性判定，一元一次方程的应用
【点评】
本题属于概率的基础应用题型，解题关键是明确游戏公平的本质是参与游戏的双方获胜概率相等，结合方程思想即可顺利求解，难度较低。
【难度系数】
0.8
要判断游戏是否公平，核心是比较双方获胜的概率是否相等：
1. 第一问：先计算袋中球的总数量，再分别根据概率公式计算小明、小红获胜的概率，比较两个概率大小即可判断公平性；
2. 第二问：要使游戏公平，需让黑球和黄球的数量相等（总球数不变时，数量相等则摸到的概率相等），设取出x个黑球，根据黑球剩余数量=黄球新增后数量列方程求解即可。
【解析】
（1）先计算袋中球的总个数：$5+13+22=40$（个）
摸到黑球小明获胜，因此小明获胜的概率为：$P(小明胜)=\frac{黑球个数}{总球数}=\frac{13}{40}$
摸到黄球小红获胜，因此小红获胜的概率为：$P(小红胜)=\frac{黄球个数}{总球数}=\frac{5}{40}=\frac{1}{8}$
∵$\frac{13}{40}≠\frac{5}{40}$，即两人获胜的概率不相等，因此这个游戏对双方不公平。
（2）设裁判取出了$x$个黑球，由于放入了相同数量的黄球，因此此时袋中黑球个数为$13-x$，黄球个数为$5+x$。
要使游戏公平，需两人获胜概率相等，即黑球和黄球的数量相等，据此列方程：
$13-x=5+x$
移项合并同类项得：$2x=8$
解得：$x=4$
【答案】
（1）不公平，小明获胜的概率为$\frac{13}{40}$，小红获胜的概率为$\frac{1}{8}$，两人获胜概率不相等；
（2）裁判取出了4个黑球。
【知识点】
概率公式，游戏公平性判定，一元一次方程的应用
【点评】
本题属于概率的基础应用题型，解题关键是明确游戏公平的本质是参与游戏的双方获胜概率相等，结合方程思想即可顺利求解，难度较低。
【难度系数】
0.8
1. 甲乙两人做游戏，同时掷两枚相同的硬币，双方约定：同面朝上甲胜，异面朝上则乙胜，则这个游戏对双方（
A.公平
B.对甲有利
C.对乙有利
D.无法确定公平性
A
）A.公平
B.对甲有利
C.对乙有利
D.无法确定公平性
答案
1. A
解析
【分析】
要判断游戏是否公平，需分别计算甲、乙两人获胜的概率，若概率相等则游戏公平，否则不公平。解题时先列举出同时掷两枚硬币的所有等可能结果，再分别统计同面朝上、异面朝上的结果数，最后根据概率公式计算两人获胜的概率进行比较即可。
【解析】
同时掷两枚相同的硬币，所有等可能出现的结果为：（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反），共4种。
其中同面朝上的结果有2种：（正，正）、（反，反），因此甲获胜的概率为$P(甲胜)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$；
异面朝上的结果有2种：（正，反）、（反，正），因此乙获胜的概率为$P(乙胜)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
因为两人获胜的概率相等，所以这个游戏对双方公平。
【答案】
A
【知识点】
等可能事件概率计算；游戏公平性判断
【点评】
本题是游戏公平性的基础考查题，解题核心是准确列举出所有等可能的事件结果，再分别计算双方获胜的概率进行比较，掌握列举法求概率的方法就能顺利解题。
【难度系数】
0.9
要判断游戏是否公平，需分别计算甲、乙两人获胜的概率，若概率相等则游戏公平，否则不公平。解题时先列举出同时掷两枚硬币的所有等可能结果，再分别统计同面朝上、异面朝上的结果数，最后根据概率公式计算两人获胜的概率进行比较即可。
【解析】
同时掷两枚相同的硬币，所有等可能出现的结果为：（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反），共4种。
其中同面朝上的结果有2种：（正，正）、（反，反），因此甲获胜的概率为$P(甲胜)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$；
异面朝上的结果有2种：（正，反）、（反，正），因此乙获胜的概率为$P(乙胜)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
因为两人获胜的概率相等，所以这个游戏对双方公平。
【答案】
A
【知识点】
等可能事件概率计算；游戏公平性判断
【点评】
本题是游戏公平性的基础考查题，解题核心是准确列举出所有等可能的事件结果，再分别计算双方获胜的概率进行比较，掌握列举法求概率的方法就能顺利解题。
【难度系数】
0.9
2. 在联欢会上，有A，B，C三名选手站在一个三角形的三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在$△ ABC$的（
A.三边中线的交点
B.三边垂直平分线的交点
C.三条角平分线的交点
D.三边上高的交点
B
）A.三边中线的交点
B.三边垂直平分线的交点
C.三条角平分线的交点
D.三边上高的交点
答案
2. B
解析
【分析】要使抢凳子游戏公平，核心要求是凳子到三名选手（即△ABC的三个顶点A、B、C）的距离相等，这样三名选手到凳子的距离相同，获胜概率一致。解题时先将实际公平需求转化为数学条件，再逐一回忆三角形各特殊交点的性质，匹配符合“到三个顶点距离相等”的点即可。
【解析】要保证游戏公平，凳子到A、B、C三个顶点的距离必须相等：
1. 选项A：三边中线的交点是三角形的重心，重心的性质是到顶点的距离为到对边中点距离的2倍，不满足到三个顶点距离相等，排除；
2. 选项B：根据线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，因此三角形三边垂直平分线的交点到A、B、C三个顶点的距离都相等，符合要求；
3. 选项C：三条角平分线的交点是三角形的内心，内心的性质是到三角形三边的距离相等，不是到三个顶点距离相等，排除；
4. 选项D：三边上高的交点是三角形的垂心，不具备到三个顶点距离相等的性质，排除。
综上，答案选B。
【答案】B
【知识点】1.垂直平分线的性质 2.三角形特殊点性质
【点评】本题结合生活中的游戏场景考查三角形特殊点的性质应用，解题的关键是将实际问题中的公平要求转化为对应的数学条件，再结合基础概念判断，属于基础概念应用型题目。
【难度系数】0.8
【解析】要保证游戏公平，凳子到A、B、C三个顶点的距离必须相等：
1. 选项A：三边中线的交点是三角形的重心，重心的性质是到顶点的距离为到对边中点距离的2倍，不满足到三个顶点距离相等，排除；
2. 选项B：根据线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，因此三角形三边垂直平分线的交点到A、B、C三个顶点的距离都相等，符合要求；
3. 选项C：三条角平分线的交点是三角形的内心，内心的性质是到三角形三边的距离相等，不是到三个顶点距离相等，排除；
4. 选项D：三边上高的交点是三角形的垂心，不具备到三个顶点距离相等的性质，排除。
综上，答案选B。
【答案】B
【知识点】1.垂直平分线的性质 2.三角形特殊点性质
【点评】本题结合生活中的游戏场景考查三角形特殊点的性质应用，解题的关键是将实际问题中的公平要求转化为对应的数学条件，再结合基础概念判断，属于基础概念应用型题目。
【难度系数】0.8
3. 小兰和小青两人做游戏，有一个质量分布均匀的六面体骰子，骰子的六面分别标有1,2,3,4,5,6，若掷出的骰子的点数是偶数，则小兰赢；若掷出的骰子的点数是3的倍数，则小青赢。这个游戏规则对
小兰
有利。答案
3. 小兰
解析
【分析】
要判断游戏规则对谁有利，核心是比较两人赢的概率大小，概率更大的一方更有利。解题时首先确定掷骰子的所有等可能结果总数，再分别找出小兰、小青赢对应的结果数，根据等可能事件的概率公式计算各自获胜的概率，最后比较两个概率的大小就能得出结论。
【解析】
解：掷质量均匀的六面体骰子，朝上的点数共有1、2、3、4、5、6这6种等可能的结果。
1. 计算小兰赢的概率：
掷出偶数点时小兰赢，偶数点有2、4、6，共3种符合条件的结果，
因此$ P(\mathrm{小兰赢})=\frac{\mathrm{小兰赢的结果数}}{\mathrm{总结果数}}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2} $。
2. 计算小青赢的概率：
掷出的点数是3的倍数时小青赢，3的倍数有3、6，共2种符合条件的结果，
因此$ P(\mathrm{小青赢})=\frac{\mathrm{小青赢的结果数}}{\mathrm{总结果数}}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3} $。
因为$ \frac{1}{2}＞\frac{1}{3} $，说明小兰赢的概率更大，所以游戏规则对小兰有利。
【答案】
小兰
【知识点】
等可能事件概率计算，游戏公平性判断
【点评】
本题属于概率应用的基础题型，解题关键是准确统计对应事件的结果数，结合概率公式计算后比较大小即可判断规则倾向性，是概率章节的常见考题。
【难度系数】
0.9
要判断游戏规则对谁有利，核心是比较两人赢的概率大小，概率更大的一方更有利。解题时首先确定掷骰子的所有等可能结果总数，再分别找出小兰、小青赢对应的结果数，根据等可能事件的概率公式计算各自获胜的概率，最后比较两个概率的大小就能得出结论。
【解析】
解：掷质量均匀的六面体骰子，朝上的点数共有1、2、3、4、5、6这6种等可能的结果。
1. 计算小兰赢的概率：
掷出偶数点时小兰赢，偶数点有2、4、6，共3种符合条件的结果，
因此$ P(\mathrm{小兰赢})=\frac{\mathrm{小兰赢的结果数}}{\mathrm{总结果数}}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2} $。
2. 计算小青赢的概率：
掷出的点数是3的倍数时小青赢，3的倍数有3、6，共2种符合条件的结果，
因此$ P(\mathrm{小青赢})=\frac{\mathrm{小青赢的结果数}}{\mathrm{总结果数}}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3} $。
因为$ \frac{1}{2}＞\frac{1}{3} $，说明小兰赢的概率更大，所以游戏规则对小兰有利。
【答案】
小兰
【知识点】
等可能事件概率计算，游戏公平性判断
【点评】
本题属于概率应用的基础题型，解题关键是准确统计对应事件的结果数，结合概率公式计算后比较大小即可判断规则倾向性，是概率章节的常见考题。
【难度系数】
0.9
