10. 新考法 分类讨论法 如图,在正方形ABCD中,点E在边BC上,点F在边CD上,且∠AEF=90°.若CF=2,DF=7,求tan∠EAF的值.

∵四边形$ABCD$为正方形,且$CF=2$,$DF=7$,
∴$AB=BC=CD=CF+DF=9$,$∠B=∠C=90°$.
∴$∠BAE+∠AEB=90°$.
∵$∠AEF=90°$,
∴$∠AEB+∠CEF=180°-∠AEF=90°$.
∴$∠BAE=∠CEF$.
∴$△ABE∽△ECF$.
∴$\frac{AB}{EC}=\frac{BE}{CF}=\frac{AE}{EF}$.
又
∵$BE=BC-EC=9-EC$,
∴$\frac{9}{EC}=\frac{9-EC}{2}$,即$EC^2-9EC+18=0$,解得$EC=3$或$EC=6$.
∴当$EC=3$时,$\tan∠EAF=\frac{EF}{AE}=\frac{EC}{AB}=\frac{1}{3}$;
当$EC=6$时,$\tan∠EAF=\frac{EF}{AE}=\frac{EC}{AB}=\frac{2}{3}$.
综上所述,$\tan∠EAF$的值为$\frac{1}{3}$或$\frac{2}{3}$.

11. ★★★ 深圳中考 新视角·新定义题 综合与探究
【探索发现】如图①,小军用两个大小不同的等腰直角三角尺拼接成一个四边形.
【抽象定义】以等腰三角形一边向外作等腰三角形,使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角,此时该四边形称为“双等四边形”,原等腰三角形称为四边形的“伴随三角形”.如图②,在$△ ABC$中,$AB=AC,AC=AD,∠ D=∠ BAC$.此时,四边形$ABCD$是“双等四边形”,$△ ABC$是“伴随三角形”.
【问题解决】如图③,在四边形$ABCD$中,$AB=AC,AD=CD,∠ D=∠ BAC$.求:
(1)$AD$与$BC$的位置关系:;
(2)$AC^2$ $AD· BC$. (填“＞”“＜”或“=”)
【方法应用】(3)如图④,在等腰三角形$ABC$中,$AC=BC$,将$△ ABC$绕点$A$逆时针旋转至$△ ADE$,点$D$恰好落在$BC$边上.求证:四边形$ABDE$是“双等四边形”.
(4)如图⑤,在等腰三角形$ABC$中,$AC=BC,\cos B=\frac{3}{5},AB=5$,在平面内找一点$D$,使四边形$ABCD$是以$△ ABC$为“伴随三角形”的“双等四边形”.若存在,请直接写出$CD$的长;若不存在,请说明理由.

(1)$AD// BC$
(2)$=$
(3)【证明】由旋转的性质,得$AB=AD$,$∠ABC=∠ADE$.
令$∠B=α$,则$∠ADB=∠ADE=α$,$∠BAD=180°-2α$.
由旋转的性质,得$DE=BC$,$AE=AC$.
∵$AC=BC$,
∴$EA=ED$.
∴$∠DAE=∠ADE=α$.
∴$∠E=180°-2α$.
∴$∠E=∠BAD$.
∴四边形$ABDE$为“双等四边形”.

(4)$CD=\frac{25}{6}$或$\frac{7}{3}$或$\frac{125}{36}$.
如图①,过点$A$作$AH⊥BC$于点$H$.
∵$\cos B=\frac{3}{5}$,$AB=5$,
∴$BH=3$.
∴$AH=4$.
设$CH=x$,则$AC=BC=x+3$.
在$\mathrm{Rt}△AHC$中,$CH^2+AH^2=AC^2$,即$x^2+4^2=(x+3)^2$,解得$x=\frac{7}{6}$.
∴$CH=\frac{7}{6}$,$BC=AC=\frac{25}{6}$.
当$∠ACB=∠D=∠CAD$时,$CD=AC=\frac{25}{6}$.
当$∠ACB=∠D=∠ACD$时,$AD=AC=\frac{25}{6}$.
如图①,过点$A$作$AM⊥CD$于点$M$,易知$CM=DM$,
$\frac{CM}{AC}=\cos∠ACM=\cos∠ACB=\frac{\frac{7}{6}}{\frac{25}{6}}=\frac{7}{25}$.
∴$CM=\frac{7}{25}×\frac{25}{6}=\frac{7}{6}$.
∴$CD=2CM=\frac{7}{3}$.
当$∠D=∠ACB$,$DA=DC$时,如图②,
易知$∠DAC=∠DCA=∠CAB=∠ABC$.
∴$△DAC∽△CAB$.
∴$\frac{CD}{BC}=\frac{AC}{AB}$.
∴$\frac{CD}{\frac{25}{6}}=\frac{\frac{25}{6}}{5}$.
∴$CD=\frac{125}{36}$.

综上所述,满足条件时,$CD=\frac{25}{6}$或$\frac{7}{3}$或$\frac{125}{36}$.