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1. $\sqrt{2}\cos 60° - \sin 45°$的值等于 （
A.0
B.$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$
C.$\sqrt{2}$
D.$\frac{\sqrt{2}}{2}-1$
A
）A.0
B.$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$
C.$\sqrt{2}$
D.$\frac{\sqrt{2}}{2}-1$
答案
1.A
2. 如图,在平面直角坐标系中,直线OA过点A(2,1),则cos α的值是 (
A.$\frac{\sqrt{5}}{5}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
D.2
C
)A.$\frac{\sqrt{5}}{5}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
D.2
答案
2.C
3. 情境题生活应用 如图，为方便行人推车过天桥，市政府在10 m高的天桥两端各修建了50 m长的斜道，用科学计算器计算这条斜道的倾斜角，下列按键顺序正确的是 (
A.ⓢⓘⓝ 0 · 2 ) EXE
B.ⓤⓟ sin (sin⁻¹) 0 · 2 ) EXE
C.ⓣⓐⓝ 0 · 2 ) EXE
D.ⓤⓟ tan (tan⁻¹) 0 · 2 ) EXE
B
)A.ⓢⓘⓝ 0 · 2 ) EXE
B.ⓤⓟ sin (sin⁻¹) 0 · 2 ) EXE
C.ⓣⓐⓝ 0 · 2 ) EXE
D.ⓤⓟ tan (tan⁻¹) 0 · 2 ) EXE
答案
3.B
4. 在$△ ABC$中，$∠ A$，$∠ B$都是锐角，且$\sin A=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos B=\frac{1}{2}$，则$△ ABC$的形状是（
A.直角三角形
B.钝角三角形
C.锐角三角形
D.锐角三角形或钝角三角形
C
）A.直角三角形
B.钝角三角形
C.锐角三角形
D.锐角三角形或钝角三角形
答案
4.C
5. 对于任意锐角$α$和$β$,下列说法中,正确的有（
①$0＜\sinα＜1,0＜\cosβ＜1$；
②如果$α＜β$,那么$\cosα＜\cosβ$；
③如果$\sinα＜\sinβ$,那么$α＜β$；
④如果$\tanα·\tanβ=1$,那么$α+β=90°$.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
）①$0＜\sinα＜1,0＜\cosβ＜1$；
②如果$α＜β$,那么$\cosα＜\cosβ$；
③如果$\sinα＜\sinβ$,那么$α＜β$；
④如果$\tanα·\tanβ=1$,那么$α+β=90°$.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
5.C
6. 如图，在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，D是AB的中点，过点D作AB的垂线交AC于点E，BC=6，$\sin A=\frac{3}{5}$，则DE的长为（
A.4
B.$\frac{15}{2}$
C.$\frac{15}{4}$
D.$\frac{25}{2}$
C
）A.4
B.$\frac{15}{2}$
C.$\frac{15}{4}$
D.$\frac{25}{2}$
答案
6.C 【点拨】在Rt△ABC中，
∵$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{3}{5},BC=6$，
∴AB=10.
∵D是AB的中点，
∴$AD=\frac{1}{2}AB=5$. 在Rt△ADE中，
∵$\sin A=\frac{DE}{AE}=\frac{3}{5}$，
∴设$DE=3x(x＞0)$，则$AE=5x$.
∵$AE^2=DE^2+AD^2$.
∴$(5x)^2=(3x)^2+5^2$. 解得$x=\frac{5}{4}$(负值已舍去).
∴$DE=3x=\frac{15}{4}$.
∵$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{3}{5},BC=6$，
∴AB=10.
∵D是AB的中点，
∴$AD=\frac{1}{2}AB=5$. 在Rt△ADE中，
∵$\sin A=\frac{DE}{AE}=\frac{3}{5}$，
∴设$DE=3x(x＞0)$，则$AE=5x$.
∵$AE^2=DE^2+AD^2$.
∴$(5x)^2=(3x)^2+5^2$. 解得$x=\frac{5}{4}$(负值已舍去).
∴$DE=3x=\frac{15}{4}$.
7. ★★ 一题多解 如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，OC：BC=1：2，连结AC，过点O作OP//AB交AC的延长线于P. 若P(1,1)，则$\tan∠ OAP$的值是（
A.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\frac{1}{3}$
D.3
C
）A.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\frac{1}{3}$
D.3
答案
7.C 【点拨】方法1:如图，过点P作PQ⊥x轴于点Q.
∵OP//AB，
∴△OCP∽△BCA，
∴CP:AC=OC:BC=1:2.
∵∠AOC=∠AQP=90°，
∴CO//PQ，
∴OQ:AO=CP:AC=1:2.
∵P(1,1)，
∴PQ=OQ=1，
∴AO=2，
∴$\tan∠OAP=\frac{PQ}{AQ}=\frac{1}{2+1}=\frac{1}{3}$. 方法2:
∵P点坐标为(1,1)，
∴易知OP与x轴正方向的夹角为45°. 又
∵OP//AB，
∴∠BAO=45°，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴OA=OB. 设OC=x，则OB=3OC=3x，则OA=OB=3x，
∴$\tan∠OAP=\frac{OC}{OA}=\frac{x}{3x}=\frac{1}{3}$.
8. 在$△ ABC$中，$a,b,c$分别为$∠ A,∠ B,∠ C$的对边，若$∠ B=60°$，则$\frac{c}{a+b}+\frac{a}{c+b}$的值为（
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$1$
D.$\sqrt{2}$
C
）A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$1$
D.$\sqrt{2}$
答案
8.C 【点拨】如图，过点A作AD⊥BC于点D，
在Rt△BDA中，∠B=60°，∴$DB=\frac{c}{2},AD=\frac{\sqrt{3}}{2}c$. 在Rt△ADC中，$DC^2=AC^2-AD^2$，
∴$(a-\frac{c}{2})^2=b^2-\frac{3}{4}c^2$，即$a^2+c^2=b^2+ac$，
∴$\frac{c}{a+b}+\frac{a}{c+b}=\frac{c^2+cb+a^2+ab}{(a+b)(c+b)}=\frac{a^2+c^2+ab+bc}{ac+ab+bc+b^2}=1$.
二、填空题(每题5分,共20分)
9.如图,将$∠ BAC$放置在$5×5$的正方形网格中,顶点A在格点上.则$\sin∠ BAC$的值为
9.如图,将$∠ BAC$放置在$5×5$的正方形网格中,顶点A在格点上.则$\sin∠ BAC$的值为
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
.答案
9.$\frac{\sqrt{2}}{2}$ 【点拨】如图所示，连结BC.
∵$AB=BC=\sqrt{10},AC=2\sqrt{5}$，
∴$AB^2+BC^2=AC^2$，
∴∠ABC=90°，
∴∠BAC=∠ACB=45°，
∴$\sin∠BAC=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
10. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A$，$∠ B$，$∠ C$的对边分别为$a$，$b$，$c$，则式子$\dfrac{a^2}{bc}\cos A + \dfrac{b^2}{ac}\cos B$的结果为
1
。答案
10.1 【点拨】
∵$\cos A=\frac{b}{c},\cos B=\frac{a}{c},a^2+b^2=c^2$，
∴$\frac{a^2}{bc}\cos A+\frac{b^2}{ac}\cos B=\frac{a^2}{bc}·\frac{b}{c}+\frac{b^2}{ac}·\frac{a}{c}=\frac{a^2}{c^2}+\frac{b^2}{c^2}=\frac{a^2+b^2}{c^2}=1$.
∴式子$\frac{a^2}{bc}\cos A+\frac{b^2}{ac}\cos B$的结果为1.
∵$\cos A=\frac{b}{c},\cos B=\frac{a}{c},a^2+b^2=c^2$，
∴$\frac{a^2}{bc}\cos A+\frac{b^2}{ac}\cos B=\frac{a^2}{bc}·\frac{b}{c}+\frac{b^2}{ac}·\frac{a}{c}=\frac{a^2}{c^2}+\frac{b^2}{c^2}=\frac{a^2+b^2}{c^2}=1$.
∴式子$\frac{a^2}{bc}\cos A+\frac{b^2}{ac}\cos B$的结果为1.
