1. 比较$\sqrt{6}+\sqrt{11}$与$\sqrt{14}+\sqrt{3}$的大小.

∵$(\sqrt{6}+\sqrt{11})^2=17+2\sqrt{66}$,$(\sqrt{14}+\sqrt{3})^2=17+2\sqrt{42}$,$17+2\sqrt{66}＞17+2\sqrt{42}$,
∴$(\sqrt{6}+\sqrt{11})^2＞(\sqrt{14}+\sqrt{3})^2$.
又
∵$\sqrt{6}+\sqrt{11}＞0$,$\sqrt{14}+\sqrt{3}＞0$,
∴$\sqrt{6}+\sqrt{11}＞\sqrt{14}+\sqrt{3}$.
点方法 利用平方法比较两个式子的大小:先将两个要比较的式子分别平方,再根据“$a＞0,b＞0$时,若$a^2＞b^2$,则$a＞b$;$a＜0,b＜0$时,若$a^2＞b^2$,则$a＜b$”来比较大小.对于$\sqrt{a}\pm\sqrt{b}$与$\sqrt{c}\pm\sqrt{d}$,若$a+b=c+d$,也可用此法.

2. 一题多解 比较$\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}+2}$与$\frac{\sqrt{a}+2}{\sqrt{a}+3}$的大小.

【解法1】$\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}+2}÷\frac{\sqrt{a}+2}{\sqrt{a}+3}=\frac{(\sqrt{a}+1)(\sqrt{a}+3)}{(\sqrt{a}+2)^2}=\frac{a+4\sqrt{a}+3}{a+4\sqrt{a}+4}＜1$.
易知$\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}+2}＞0$,$\frac{\sqrt{a}+2}{\sqrt{a}+3}＞0$,$\therefore\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}+2}＜\frac{\sqrt{a}+2}{\sqrt{a}+3}$.
点方法 已知$a＞0,b＞0$,若$\frac{a}{b}＞1$,则$a＞b$;若$\frac{a}{b}=1$,则$a=b$;若$\frac{a}{b}＜1$,则$a＜b$.
【解法2】$\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}+2}-\frac{\sqrt{a}+2}{\sqrt{a}+3}=\frac{(\sqrt{a}+1)(\sqrt{a}+3)}{(\sqrt{a}+2)(\sqrt{a}+3)}-\frac{(\sqrt{a}+2)(\sqrt{a}+2)}{(\sqrt{a}+2)(\sqrt{a}+3)}=\frac{a+4\sqrt{a}+3}{(\sqrt{a}+2)(\sqrt{a}+3)}-\frac{a+4\sqrt{a}+4}{(\sqrt{a}+2)(\sqrt{a}+3)}=\frac{-1}{(\sqrt{a}+2)(\sqrt{a}+3)}＜0$,
$\therefore\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}+2}＜\frac{\sqrt{a}+2}{\sqrt{a}+3}$.

3.(1)比较$\sqrt{15}-\sqrt{14}$与$\sqrt{14}-\sqrt{13}$的大小；
(2)比较$\sqrt{15}-\sqrt{13}$与$\sqrt{13}-\sqrt{11}$的大小.

(1)$\because\sqrt{15}-\sqrt{14}=\frac{(\sqrt{15}-\sqrt{14})(\sqrt{15}+\sqrt{14})}{\sqrt{15}+\sqrt{14}}=\frac{1}{\sqrt{15}+\sqrt{14}}$,$\sqrt{14}-\sqrt{13}=\frac{(\sqrt{14}-\sqrt{13})(\sqrt{14}+\sqrt{13})}{\sqrt{14}+\sqrt{13}}=\frac{1}{\sqrt{14}+\sqrt{13}}$,且$\sqrt{15}+\sqrt{14}＞\sqrt{14}+\sqrt{13}＞0$,
$\therefore\frac{1}{\sqrt{15}+\sqrt{14}}＜\frac{1}{\sqrt{14}+\sqrt{13}}$,即$\sqrt{15}-\sqrt{14}＜\sqrt{14}-\sqrt{13}$.
(2)$\because\sqrt{15}-\sqrt{13}=\frac{(\sqrt{15}-\sqrt{13})(\sqrt{15}+\sqrt{13})}{\sqrt{15}+\sqrt{13}}=\frac{2}{\sqrt{15}+\sqrt{13}}$,
$\sqrt{13}-\sqrt{11}=\frac{(\sqrt{13}-\sqrt{11})(\sqrt{13}+\sqrt{11})}{\sqrt{13}+\sqrt{11}}=\frac{2}{\sqrt{13}+\sqrt{11}}$,
且$\sqrt{15}+\sqrt{13}＞\sqrt{13}+\sqrt{11}＞0$,
$\therefore\frac{2}{\sqrt{15}+\sqrt{13}}＜\frac{2}{\sqrt{13}+\sqrt{11}}$,即$\sqrt{15}-\sqrt{13}＜\sqrt{13}-\sqrt{11}$.

4. 比较$\frac{1}{2-\sqrt{3}}$与$\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$的大小.

$\because\frac{1}{2-\sqrt{3}}=2+\sqrt{3}$,$\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\sqrt{3}+\sqrt{2}$,$2+\sqrt{3}＞\sqrt{3}+\sqrt{2}$,$\therefore\frac{1}{2-\sqrt{3}}＞\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$.

5. 比较 $3-\sqrt{6}$ 和 $\sqrt{6}-2$ 的大小.

$\because3-\sqrt{6}-(\sqrt{6}-2)=3-\sqrt{6}-\sqrt{6}+2=5-2\sqrt{6}$,
$5-2\sqrt{6}=\sqrt{25}-\sqrt{24}＞0$,$\therefore3-\sqrt{6}＞\sqrt{6}-2$.
点方法 利用作差法比较两个式子的大小时,若$a-b＞0$,则$a＞b$;若$a-b＜0$,则$a＜b$;若$a-b=0$,则$a=b$.

6. 已知$x=\sqrt{n+3}-\sqrt{n+1}, y=\sqrt{n+2}-\sqrt{n}$，试比较$x,y$的大小.

$\frac{1}{x}=\frac{1}{\sqrt{n+3}-\sqrt{n+1}}=\frac{\sqrt{n+3}+\sqrt{n+1}}{2}＞0$,
$\frac{1}{y}=\frac{1}{\sqrt{n+2}-\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n+2}+\sqrt{n}}{2}＞0$.
$\because\sqrt{n+3}+\sqrt{n+1}＞\sqrt{n+2}+\sqrt{n}＞0$,
$\therefore\frac{1}{x}＞\frac{1}{y}＞0$.$\therefore x＜y$.

7. 若$0＜x＜1$，请用“＜”号连接$x$，$\frac{1}{x}$，$x^2$，$\sqrt{x}$：

7.$x^2＜x＜\sqrt{x}＜\frac{1}{x}$ 【点拨】取特殊值$x=\frac{1}{4}$,则$\frac{1}{x}=4$,$x^2=\frac{1}{16}$,$\sqrt{x}=\frac{1}{2}$.$\therefore x^2＜x＜\sqrt{x}＜\frac{1}{x}$.

8. 比较 $A = \sqrt{54\ 321 × 54\ 324}$ 与 $B = \sqrt{54\ 323 × 54\ 322}$ 的大小.

设 54 321=x,则$A=\sqrt{x(x+3)}=\sqrt{x^2+3x}$,
$B=\sqrt{(x+2)(x+1)}=\sqrt{x^2+3x+2}$.
$\because x^2+3x＜x^2+3x+2$,$\therefore A＜B$.