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6.[南京外国语学校期中] 如图，若准备利用一处墙角EAF和长度为28 m的篱笆围建一个矩形花圃ABCD，花圃的一边AD由墙AF和篱笆DF构成，另一边AB由墙AE和篱笆BE构成，其他两边BC，CD由剩下的篱笆围成.若AF=8 m，AE=4 m，矩形花圃的面积为75 m²，求花圃边BC的长度.
答案
6. 【解】设边 $BC$ 的长度为 $x$ m.
$\because$ 矩形周长为 $28+8+4=40(\mathrm{m})$,
$\therefore CD=(20-x)\ \mathrm{m}.$
由题意知,$x(20-x)=75$,整理,得 $x^2-20x+75=0$,
解得 $x_1=5,x_2=15.$
又$\because AF=8\ \mathrm{m},\therefore x=15.$
答:花圃边 $BC$ 的长度为 15 m.
$\because$ 矩形周长为 $28+8+4=40(\mathrm{m})$,
$\therefore CD=(20-x)\ \mathrm{m}.$
由题意知,$x(20-x)=75$,整理,得 $x^2-20x+75=0$,
解得 $x_1=5,x_2=15.$
又$\because AF=8\ \mathrm{m},\therefore x=15.$
答:花圃边 $BC$ 的长度为 15 m.
7.[陕师大附中期中]一敌方军舰以20海里/时的速度由西向东航行，我方侦察船以30海里/时的速度由北向南航行，它能侦察出周围50海里(包括50海里)范围内的目标.如图所示，当该敌方军舰航行至A处时，我方侦察船正位于A处正北方向的B处，且AB=90海里.若敌方军舰和我方侦察船仍按原速度沿原方向继续航行，那么航行途中我方侦察船最早再过
（第7题）（第8题）
2
小时能侦察到敌方军舰.（第7题）（第8题）
答案
7. 2 【点拨】设我方侦察船再过 $x$ 小时侦察到敌方军舰,则$(90-30x)^2+(20x)^2=50^2$,整理得 $13x^2-54x+56=0$,即$(13x-28)(x-2)=0,\therefore x_1=2,x_2=\frac{28}{13}$,$\therefore$ 我方侦察船最早再过 2 小时能侦察到敌方军舰.
8. 如图,在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,$∠ C=90°,AC=8\ \mathrm{cm},BC=6\ \mathrm{cm}$,现有动点 $P$ 从点 $A$ 出发,沿线段 $AC$向点 $C$运动,动点 $Q$ 从点 $C$出发,沿线段 $CB$向点 $B$运动,如果点 $P$ 的速度是 $1\ \mathrm{cm/s}$,点 $Q$ 的速度是$2\ \mathrm{cm/s}$,$P,Q$两点同时出发,当有一点到达所在线段的端点时,另一点停止运动,设运动时间为$t\ \mathrm{s}$,当 $t=$
2
时,$PQ$平分$△ ABC$的面积.答案
8. 2 【点拨】根据题意得 $AP=t$ cm,$CQ=2t$ cm,$\therefore PC=(8-t)$ cm. 由题易知 $0＜ t≤ 3.$ $\because PQ$ 平分$△ ABC$ 的面积,$\therefore S_{△ PCQ}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$,即 $\frac{1}{2}CQ· PC=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}BC· AC. \therefore \frac{1}{2}×2t×(8-t)=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×6×8$,整理得 $t^2-8t+12=0$,解得 $t_1=2,t_2=6$(舍去). $\therefore$ 当 $t=2$ 时,$PQ$ 平分$△ ABC$的面积.
9. 【问题情境】对于矩形的“减半”问题进行研究，即：任意给定一个矩形，是否一定存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？
【理解探究】
(1)小明同学分别研究了长和宽为2和1，3和1，4和1，5和1这四个矩形，发现都不存在“减半”矩形，因此得出结论：对于长为$ d $，宽为1的已知矩形，一定不存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半。你认为小明得出的结论是否正确？如果正确，请用小明研究的这四个矩形中的任意一个进行验证；如果不正确，请举例，并说明理由。
【拓展延伸】
(2)若已知矩形的长为$ m $，宽为$ n $，是否存在另一个矩形，它的周长和面积都是已知矩形周长和面积的一半？如果存在，写出$ m $与$ n $应满足的关系式；如果不存在，说明理由。
【理解探究】
(1)小明同学分别研究了长和宽为2和1，3和1，4和1，5和1这四个矩形，发现都不存在“减半”矩形，因此得出结论：对于长为$ d $，宽为1的已知矩形，一定不存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半。你认为小明得出的结论是否正确？如果正确，请用小明研究的这四个矩形中的任意一个进行验证；如果不正确，请举例，并说明理由。
【拓展延伸】
(2)若已知矩形的长为$ m $，宽为$ n $，是否存在另一个矩形，它的周长和面积都是已知矩形周长和面积的一半？如果存在，写出$ m $与$ n $应满足的关系式；如果不存在，说明理由。
答案
9. 【解】(1)小明得出的结论不正确.举例说明如下：
若已知矩形的长为 6,宽为 1,则已知矩形的周长为 $2×(6+1)=14$,面积为 $6×1=6$,
设周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半的另一个矩形的长为 $x$,则它的宽为 $\frac{6+1}{2}-x=\frac{7}{2}-x$,
由题意得 $x(\frac{7}{2}-x)=6×\frac{1}{2}$,
解得 $x=\frac{3}{2}$ 或 $x=2.$
当 $x=\frac{3}{2}$ 时,$\frac{7}{2}-x=\frac{7}{2}-\frac{3}{2}=2＞\frac{3}{2}$,不符合题设,舍去;
当 $x=2$ 时,$\frac{7}{2}-x=\frac{7}{2}-2=\frac{3}{2}$,符合题设.
所以周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半的另一个矩形的长为 2,宽为 $\frac{3}{2}$,
即对于长为 6,宽为 1 的已知矩形,存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半.
(2)存在.
设另一个矩形的长为 $a$,宽为 $b$,它的周长和面积都是已知矩形周长和面积的一半,由题意得$\begin{cases}a+b=\frac{m+n}{2},①\\ab=\frac{mn}{2}.②\end{cases}$
由①得 $b=\frac{m+n}{2}-a$,③
将③代入②,得 $\frac{m+n}{2}a-a^2=\frac{mn}{2}$,即 $a^2-\frac{m+n}{2}a+\frac{mn}{2}=0$,
则当关于 $a$ 的一元二次方程 $a^2-\frac{m+n}{2}a+\frac{mn}{2}=0$ 有实数根时,存在另一个矩形,它的周长和面积都是已知矩形周长和面积的一半,
所以这个方程根的判别式 $\Delta=(-\frac{m+n}{2})^2-4×\frac{mn}{2}≥0$,
整理得 $m^2-6mn+n^2≥0.$
所以存在另一个矩形,它的周长和面积都是已知矩形周长和面积的一半,此时 $m$ 与 $n$ 应满足的关系式为 $m^2-6mn+n^2≥0.$
若已知矩形的长为 6,宽为 1,则已知矩形的周长为 $2×(6+1)=14$,面积为 $6×1=6$,
设周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半的另一个矩形的长为 $x$,则它的宽为 $\frac{6+1}{2}-x=\frac{7}{2}-x$,
由题意得 $x(\frac{7}{2}-x)=6×\frac{1}{2}$,
解得 $x=\frac{3}{2}$ 或 $x=2.$
当 $x=\frac{3}{2}$ 时,$\frac{7}{2}-x=\frac{7}{2}-\frac{3}{2}=2＞\frac{3}{2}$,不符合题设,舍去;
当 $x=2$ 时,$\frac{7}{2}-x=\frac{7}{2}-2=\frac{3}{2}$,符合题设.
所以周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半的另一个矩形的长为 2,宽为 $\frac{3}{2}$,
即对于长为 6,宽为 1 的已知矩形,存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半.
(2)存在.
设另一个矩形的长为 $a$,宽为 $b$,它的周长和面积都是已知矩形周长和面积的一半,由题意得$\begin{cases}a+b=\frac{m+n}{2},①\\ab=\frac{mn}{2}.②\end{cases}$
由①得 $b=\frac{m+n}{2}-a$,③
将③代入②,得 $\frac{m+n}{2}a-a^2=\frac{mn}{2}$,即 $a^2-\frac{m+n}{2}a+\frac{mn}{2}=0$,
则当关于 $a$ 的一元二次方程 $a^2-\frac{m+n}{2}a+\frac{mn}{2}=0$ 有实数根时,存在另一个矩形,它的周长和面积都是已知矩形周长和面积的一半,
所以这个方程根的判别式 $\Delta=(-\frac{m+n}{2})^2-4×\frac{mn}{2}≥0$,
整理得 $m^2-6mn+n^2≥0.$
所以存在另一个矩形,它的周长和面积都是已知矩形周长和面积的一半,此时 $m$ 与 $n$ 应满足的关系式为 $m^2-6mn+n^2≥0.$
