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7.如图,点C为$\overset{\frown}{AB}$的中点,过点C作$CD⊥ AB$,垂足为D,$AD=4$,$CD=2$,则$\overset{\frown}{AB}$所在圆的半径的长是
5
.答案
5
解析
【分析】
要求$\overset{\frown}{AB}$所在圆的半径，首先根据垂径定理的推论：平分弧（非直径弧）且垂直于对应弦的直线过圆心，可知CD所在直线经过$\overset{\frown}{AB}$的圆心。我们可以设半径为$r$，连接圆心和点A构造直角三角形，利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
设$\overset{\frown}{AB}$所在圆的圆心为$O$，半径长为$r$。
∵ 点$C$是$\overset{\frown}{AB}$的中点，且$CD ⊥ AB$，
∴ 根据垂径定理的推论，圆心$O$在$CD$的延长线上。
连接$OA$，则$OA=OC=r$，因此$OD=OC-CD=r-2$。
在$Rt△ OAD$中，$∠ ADO=90°$，由勾股定理可得：
$AD^2 + OD^2 = OA^2$
代入$AD=4$、$CD=2$得：
$4^2 + (r-2)^2 = r^2$
展开计算：
$16 + r^2 -4r +4 = r^2$
化简得$20-4r=0$，解得$r=5$。
【答案】
5
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题是圆中求半径的典型题型，解题关键是利用垂径定理确定圆心位置，再通过勾股定理建立方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7
要求$\overset{\frown}{AB}$所在圆的半径，首先根据垂径定理的推论：平分弧（非直径弧）且垂直于对应弦的直线过圆心，可知CD所在直线经过$\overset{\frown}{AB}$的圆心。我们可以设半径为$r$，连接圆心和点A构造直角三角形，利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
设$\overset{\frown}{AB}$所在圆的圆心为$O$，半径长为$r$。
∵ 点$C$是$\overset{\frown}{AB}$的中点，且$CD ⊥ AB$，
∴ 根据垂径定理的推论，圆心$O$在$CD$的延长线上。
连接$OA$，则$OA=OC=r$，因此$OD=OC-CD=r-2$。
在$Rt△ OAD$中，$∠ ADO=90°$，由勾股定理可得：
$AD^2 + OD^2 = OA^2$
代入$AD=4$、$CD=2$得：
$4^2 + (r-2)^2 = r^2$
展开计算：
$16 + r^2 -4r +4 = r^2$
化简得$20-4r=0$，解得$r=5$。
【答案】
5
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题是圆中求半径的典型题型，解题关键是利用垂径定理确定圆心位置，再通过勾股定理建立方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7
8.如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标是(20,0),点B的坐标是(16,0),点C,D在以OA为直径的半圆M上,且四边形OCDB是平行四边形,则点C的坐标为
(2,6)
.答案
(2,6)
解析
【分析】
解题思路如下：①首先根据OA是直径、A点坐标确定半圆的圆心M的坐标和半径长度；②利用平行四边形对边平行且相等的性质，得到CD的长度和CD与x轴平行的位置关系；③结合垂径定理，过圆心作CD的垂线，得到CD的中点，进而求出C点的横坐标；④在直角三角形中用勾股定理求出C点的纵坐标，即可得到C点坐标。
【解析】
1. 求半圆M的圆心与半径：
∵点A坐标为(20,0)，OA为半圆M的直径，
∴圆心M为OA中点，坐标为(10,0)，半圆半径$MC = \frac{1}{2}OA = 10$。
2. 利用平行四边形性质：
∵四边形OCDB是平行四边形，点B坐标为(16,0)，
∴$CD = OB = 16$，且$CD // OB$，即CD平行于x轴。
3. 结合垂径定理求C点横坐标：
过点M作$ME ⊥ CD$于点E，由垂径定理可得E为CD中点，
∴$CE = \frac{1}{2}CD = 8$。
∵CD平行于x轴，ME垂直CD，故ME为竖直线段，E点横坐标与M点横坐标相等为10，
∴C点横坐标为$10 - 8 = 2$。
4. 用勾股定理求C点纵坐标：
在$Rt△ MCE$中，$MC=10$，$CE=8$，
由勾股定理得：$ME = \sqrt{MC^2 - CE^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = 6$，
即C点纵坐标为6。
综上，点C的坐标为(2,6)。
【答案】
(2,6)
【知识点】
平行四边形的性质，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是平面直角坐标系与圆、平行四边形结合的典型习题，解题的关键是灵活运用平行四边形的性质和垂径定理构造直角三角形，将坐标求解转化为线段长度的计算。
【难度系数】
0.65
解题思路如下：①首先根据OA是直径、A点坐标确定半圆的圆心M的坐标和半径长度；②利用平行四边形对边平行且相等的性质，得到CD的长度和CD与x轴平行的位置关系；③结合垂径定理，过圆心作CD的垂线，得到CD的中点，进而求出C点的横坐标；④在直角三角形中用勾股定理求出C点的纵坐标，即可得到C点坐标。
【解析】
1. 求半圆M的圆心与半径：
∵点A坐标为(20,0)，OA为半圆M的直径，
∴圆心M为OA中点，坐标为(10,0)，半圆半径$MC = \frac{1}{2}OA = 10$。
2. 利用平行四边形性质：
∵四边形OCDB是平行四边形，点B坐标为(16,0)，
∴$CD = OB = 16$，且$CD // OB$，即CD平行于x轴。
3. 结合垂径定理求C点横坐标：
过点M作$ME ⊥ CD$于点E，由垂径定理可得E为CD中点，
∴$CE = \frac{1}{2}CD = 8$。
∵CD平行于x轴，ME垂直CD，故ME为竖直线段，E点横坐标与M点横坐标相等为10，
∴C点横坐标为$10 - 8 = 2$。
4. 用勾股定理求C点纵坐标：
在$Rt△ MCE$中，$MC=10$，$CE=8$，
由勾股定理得：$ME = \sqrt{MC^2 - CE^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = 6$，
即C点纵坐标为6。
综上，点C的坐标为(2,6)。
【答案】
(2,6)
【知识点】
平行四边形的性质，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是平面直角坐标系与圆、平行四边形结合的典型习题，解题的关键是灵活运用平行四边形的性质和垂径定理构造直角三角形，将坐标求解转化为线段长度的计算。
【难度系数】
0.65
9.⊙O的半径为10 cm，AB，CD为弦，AB//CD，AB=16 cm，CD=12 cm，则AB，CD间的距离是
2或14
cm.答案
2或14
解析
【分析】
解决本题首先要明确平行弦与圆心的位置关系存在两种可能：两条弦在圆心同侧、两条弦在圆心异侧，需分类讨论。解题时先利用垂径定理，过圆心作两条平行弦的垂线，得到两条弦的弦心距所在的直角三角形，再结合勾股定理分别求出两条弦的弦心距，最后根据两种位置关系计算弦之间的距离即可。
【解析】
过圆心$O$作$OE⊥ AB$于点$E$，延长$OE$交$CD$于点$F$，
$\because AB// CD$，$\therefore OF⊥ CD$，
由垂径定理可得：$AE = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}×16 = 8\mathrm{cm}$，$CF = \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2}×12 = 6\mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ OAE$中，$OA=10\mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$OE = \sqrt{OA^2 - AE^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{36} = 6\mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ OCF$中，$OC=10\mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$OF = \sqrt{OC^2 - CF^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{64} = 8\mathrm{cm}$，
分两种情况讨论：
①当$AB$、$CD$在圆心$O$的同侧时，$AB$与$CD$的距离为 $OF - OE = 8 - 6 = 2\mathrm{cm}$；
②当$AB$、$CD$在圆心$O$的异侧时，$AB$与$CD$的距离为 $OF + OE = 8 + 6 = 14\mathrm{cm}$。
综上，$AB$、$CD$间的距离是$2$或$14\mathrm{cm}$。
【答案】
2或14
【知识点】
垂径定理，勾股定理，分类讨论
【点评】
本题的易错点是忽略两条平行弦位于圆心异侧的情况，造成漏解。解题时要结合圆的对称性全面分析平行弦的位置关系，熟练运用垂径定理和勾股定理求解弦长、弦心距相关问题。
【难度系数】
0.6
解决本题首先要明确平行弦与圆心的位置关系存在两种可能：两条弦在圆心同侧、两条弦在圆心异侧，需分类讨论。解题时先利用垂径定理，过圆心作两条平行弦的垂线，得到两条弦的弦心距所在的直角三角形，再结合勾股定理分别求出两条弦的弦心距，最后根据两种位置关系计算弦之间的距离即可。
【解析】
过圆心$O$作$OE⊥ AB$于点$E$，延长$OE$交$CD$于点$F$，
$\because AB// CD$，$\therefore OF⊥ CD$，
由垂径定理可得：$AE = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}×16 = 8\mathrm{cm}$，$CF = \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2}×12 = 6\mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ OAE$中，$OA=10\mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$OE = \sqrt{OA^2 - AE^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{36} = 6\mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ OCF$中，$OC=10\mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$OF = \sqrt{OC^2 - CF^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{64} = 8\mathrm{cm}$，
分两种情况讨论：
①当$AB$、$CD$在圆心$O$的同侧时，$AB$与$CD$的距离为 $OF - OE = 8 - 6 = 2\mathrm{cm}$；
②当$AB$、$CD$在圆心$O$的异侧时，$AB$与$CD$的距离为 $OF + OE = 8 + 6 = 14\mathrm{cm}$。
综上，$AB$、$CD$间的距离是$2$或$14\mathrm{cm}$。
【答案】
2或14
【知识点】
垂径定理，勾股定理，分类讨论
【点评】
本题的易错点是忽略两条平行弦位于圆心异侧的情况，造成漏解。解题时要结合圆的对称性全面分析平行弦的位置关系，熟练运用垂径定理和勾股定理求解弦长、弦心距相关问题。
【难度系数】
0.6
10.如图，AB是$\odot O$的直径，半径OC与弦BD平行，$CE ⊥ AB$于点E.求证：$OE=\dfrac{1}{2}BD$.
答案
证明:过点 $O$ 作 $OG ⊥ BD$ 于点 $G$,则 $BG=\dfrac{1}{2}BD$,
$\because CE ⊥ AB,\therefore ∠ OGB=∠ OEC=90°$,
$\because OC // BD,\therefore ∠ COE=∠ B$,
$\because OB=OC,\therefore △ OEC ≌ △ BGO(\mathrm{AAS}),\therefore OE=BG$,
$\therefore OE=\dfrac{1}{2}BD$.
$\because CE ⊥ AB,\therefore ∠ OGB=∠ OEC=90°$,
$\because OC // BD,\therefore ∠ COE=∠ B$,
$\because OB=OC,\therefore △ OEC ≌ △ BGO(\mathrm{AAS}),\therefore OE=BG$,
$\therefore OE=\dfrac{1}{2}BD$.
解析
【分析】
要证明$OE=\dfrac{1}{2}BD$，首先结合垂径定理，过圆心$O$作弦$BD$的垂线，即可得到$BG=\dfrac{1}{2}BD$，此时问题转化为证明$OE=BG$。接下来可通过证明$△ OEC$和$△ BGO$全等来推导等线段：已知$CE⊥ AB$，作$OG⊥ BD$后可得两个直角相等；由$OC// BD$可得同位角$∠ COE=∠ B$；又$OC$和$OB$都是$\odot O$的半径，长度相等，满足AAS全等的判定条件，即可完成证明。
【解析】
过点 $O$ 作 $OG ⊥ BD$ 于点 $G$,则 $BG=\dfrac{1}{2}BD$,
$\because CE ⊥ AB,\therefore ∠ OGB=∠ OEC=90°$,
$\because OC // BD,\therefore ∠ COE=∠ B$,
$\because OB=OC,\therefore △ OEC ≌ △ BGO(\mathrm{AAS}),\therefore OE=BG$,
$\therefore OE=\dfrac{1}{2}BD$.
【答案】
过点 $O$ 作 $OG ⊥ BD$ 于点 $G$,则 $BG=\dfrac{1}{2}BD$,
$\because CE ⊥ AB,\therefore ∠ OGB=∠ OEC=90°$,
$\because OC // BD,\therefore ∠ COE=∠ B$,
$\because OB=OC,\therefore △ OEC ≌ △ BGO(\mathrm{AAS}),\therefore OE=BG$,
$\therefore OE=\dfrac{1}{2}BD$.
【知识点】
垂径定理，平行线的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆与三角形全等结合的基础证明题，解题核心是利用垂径定理将待证的半倍线段关系转化为等线段证明，再结合平行线性质和圆的半径相等的特征构造全等三角形，考查对基础几何定理的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
要证明$OE=\dfrac{1}{2}BD$，首先结合垂径定理，过圆心$O$作弦$BD$的垂线，即可得到$BG=\dfrac{1}{2}BD$，此时问题转化为证明$OE=BG$。接下来可通过证明$△ OEC$和$△ BGO$全等来推导等线段：已知$CE⊥ AB$，作$OG⊥ BD$后可得两个直角相等；由$OC// BD$可得同位角$∠ COE=∠ B$；又$OC$和$OB$都是$\odot O$的半径，长度相等，满足AAS全等的判定条件，即可完成证明。
【解析】
过点 $O$ 作 $OG ⊥ BD$ 于点 $G$,则 $BG=\dfrac{1}{2}BD$,
$\because CE ⊥ AB,\therefore ∠ OGB=∠ OEC=90°$,
$\because OC // BD,\therefore ∠ COE=∠ B$,
$\because OB=OC,\therefore △ OEC ≌ △ BGO(\mathrm{AAS}),\therefore OE=BG$,
$\therefore OE=\dfrac{1}{2}BD$.
【答案】
过点 $O$ 作 $OG ⊥ BD$ 于点 $G$,则 $BG=\dfrac{1}{2}BD$,
$\because CE ⊥ AB,\therefore ∠ OGB=∠ OEC=90°$,
$\because OC // BD,\therefore ∠ COE=∠ B$,
$\because OB=OC,\therefore △ OEC ≌ △ BGO(\mathrm{AAS}),\therefore OE=BG$,
$\therefore OE=\dfrac{1}{2}BD$.
【知识点】
垂径定理，平行线的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆与三角形全等结合的基础证明题，解题核心是利用垂径定理将待证的半倍线段关系转化为等线段证明，再结合平行线性质和圆的半径相等的特征构造全等三角形，考查对基础几何定理的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
11.只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条相互平行的两边与杯口相交于A，B，C，D四点，利用刻度尺量得该纸条宽MN为7 cm，AB＝6 cm，CD＝8 cm.请你帮忙计算纸杯的直径.
答案
由题意得 $MN ⊥ AB,MN ⊥ CD,MN$ 过圆心 $O,MN=7\ \mathrm{cm}$,连接 $OD,OB$,
则 $DM=\dfrac{1}{2}CD=\dfrac{1}{2} × 8=4\ \mathrm{cm},BN=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2} × 6=3\ \mathrm{cm}$.
设 $OM=x\ \mathrm{cm},\therefore ON=MN-OM=(7-x)\ \mathrm{cm}$,
$\because OM^2+MD^2=OD^2,ON^2+BN^2=OB^2,OD=OB$,
$\therefore OM^2+MD^2=ON^2+BN^2,\therefore x^2+4^2=(7-x)^2+3^2$,解得 $x=3$,
$\therefore OB=\sqrt{BN^2+(MN-OM)^2}=5\ \mathrm{cm},\therefore$ 纸杯的直径为 $5 × 2=10(\mathrm{cm})$.
则 $DM=\dfrac{1}{2}CD=\dfrac{1}{2} × 8=4\ \mathrm{cm},BN=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2} × 6=3\ \mathrm{cm}$.
设 $OM=x\ \mathrm{cm},\therefore ON=MN-OM=(7-x)\ \mathrm{cm}$,
$\because OM^2+MD^2=OD^2,ON^2+BN^2=OB^2,OD=OB$,
$\therefore OM^2+MD^2=ON^2+BN^2,\therefore x^2+4^2=(7-x)^2+3^2$,解得 $x=3$,
$\therefore OB=\sqrt{BN^2+(MN-OM)^2}=5\ \mathrm{cm},\therefore$ 纸杯的直径为 $5 × 2=10(\mathrm{cm})$.
解析
【分析】
要计算纸杯杯口的直径，可将实际问题转化为圆的几何计算问题：已知圆内两条平行弦AB、CD的长度，以及两弦的距离，求圆的直径。首先根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，本题中纸条的宽MN同时垂直于平行弦AB、CD且过圆心，因此MN分别平分AB、CD。我们设圆心O到CD的距离OM为x cm，则O到AB的距离ON为(7-x) cm，连接OD、OB（二者均为圆的半径，长度相等），分别在两个直角三角形中用勾股定理表示出半径的平方，利用半径相等列方程求解x，再计算半径即可得到直径。
【解析】
由题意得 $MN ⊥ AB,MN ⊥ CD,MN$ 过圆心 $O,MN=7\ \mathrm{cm}$，连接 $OD,OB$，
根据垂径定理，得 $DM=\dfrac{1}{2}CD=\dfrac{1}{2} × 8=4\ \mathrm{cm},BN=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2} × 6=3\ \mathrm{cm}$。
设 $OM=x\ \mathrm{cm}$，$\therefore ON=MN-OM=(7-x)\ \mathrm{cm}$，
$\because OM^2+MD^2=OD^2,ON^2+BN^2=OB^2,OD=OB$，
$\therefore OM^2+MD^2=ON^2+BN^2$，$\therefore x^2+4^2=(7-x)^2+3^2$，
解得 $x=3$，
$\therefore OB=\sqrt{BN^2+(MN-OM)^2}=5\ \mathrm{cm}$，$\therefore$ 纸杯的直径为 $5 × 2=10(\mathrm{cm})$。
【答案】
$\boxed{10\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
垂径定理、勾股定理、同圆半径相等
【点评】
本题结合生活实际，考查将实际问题转化为几何模型的能力，需要灵活运用垂径定理、勾股定理，通过设未知数列方程的方法求解，是圆中线段长度计算的典型题型。
【难度系数】
0.7
要计算纸杯杯口的直径，可将实际问题转化为圆的几何计算问题：已知圆内两条平行弦AB、CD的长度，以及两弦的距离，求圆的直径。首先根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，本题中纸条的宽MN同时垂直于平行弦AB、CD且过圆心，因此MN分别平分AB、CD。我们设圆心O到CD的距离OM为x cm，则O到AB的距离ON为(7-x) cm，连接OD、OB（二者均为圆的半径，长度相等），分别在两个直角三角形中用勾股定理表示出半径的平方，利用半径相等列方程求解x，再计算半径即可得到直径。
【解析】
由题意得 $MN ⊥ AB,MN ⊥ CD,MN$ 过圆心 $O,MN=7\ \mathrm{cm}$，连接 $OD,OB$，
根据垂径定理，得 $DM=\dfrac{1}{2}CD=\dfrac{1}{2} × 8=4\ \mathrm{cm},BN=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2} × 6=3\ \mathrm{cm}$。
设 $OM=x\ \mathrm{cm}$，$\therefore ON=MN-OM=(7-x)\ \mathrm{cm}$，
$\because OM^2+MD^2=OD^2,ON^2+BN^2=OB^2,OD=OB$，
$\therefore OM^2+MD^2=ON^2+BN^2$，$\therefore x^2+4^2=(7-x)^2+3^2$，
解得 $x=3$，
$\therefore OB=\sqrt{BN^2+(MN-OM)^2}=5\ \mathrm{cm}$，$\therefore$ 纸杯的直径为 $5 × 2=10(\mathrm{cm})$。
【答案】
$\boxed{10\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
垂径定理、勾股定理、同圆半径相等
【点评】
本题结合生活实际，考查将实际问题转化为几何模型的能力，需要灵活运用垂径定理、勾股定理，通过设未知数列方程的方法求解，是圆中线段长度计算的典型题型。
【难度系数】
0.7
