25. (10分)(2025·青岛月考)如图,BD是正方形ABCD的对角线,BC=2,边BC在其所在的直线上平移,将通过平移得到的线段记为PQ,连接PA,QD,并过点Q作QO⊥BD,垂足为O,连接OA,OP.设BP长为x.
(1)请判断线段BC在平移过程中,四边形APQD是什么四边形,并说明理由;
(2)在平移变换的过程中,当0≤x≤2,求△OPB的面积y与x的函数关系式;
(3)是否存在一个x的值,使点Q在线段PO的垂直平分线上?

25. (1)四边形 APQD 是平行四边形.理由如下: $\because$ 四边形 ABCD 是正方形, $\therefore AD// BC$ 且 $AD=BC$,由平移的性质得 $PQ=BC$, $\therefore AD// PQ$ 且 $AD=PQ, \therefore$ 四边形 APQD 是平行四边形.
(2)过 O 作 $OE⊥ BC$ 于点 E, $\because$ 四边形 ABCD 是正方形, $\therefore ∠ DBC=45°. \because QO⊥ BD, \therefore ∠ BOQ=90°, \therefore ∠ OQB=45°=∠ DBC, \therefore OB=OQ, \therefore OE=\frac{1}{2}BQ$.①如图①,当 P 点在 B 点右侧时,则 $BQ=x+2, OE=\frac{x+2}{2}, \therefore y=\frac{1}{2}×\frac{x+2}{2}· x$,即 $y=\frac{1}{4}(x+1)^2-\frac{1}{4}$;
②如图②,当 P 点在 B 点左侧时,则 $BQ=2-x, OE=\frac{2-x}{2}$, $\therefore y=\frac{1}{2}×\frac{2-x}{2}· x$,即 $y=-\frac{1}{4}(x-1)^2+\frac{1}{4}$.综上所述, $△ OPB$ 的面积 y 与 x 的函数关系式为 $y=\frac{1}{4}(x+1)^2-\frac{1}{4}$ 或 $y=-\frac{1}{4}(x-1)^2+\frac{1}{4}$.
(3)当点 Q 在点 B 右侧时, $\because$ 四边形 ABCD 是正方形, $\therefore AB=BC=PQ, ∠ ABO=∠ OBQ=45°. \because OQ⊥ BD, \therefore ∠ PQO=45°, \therefore ∠ ABO=∠ OBQ=∠ PQO=45°, \therefore OB=OQ. \because$ 点 Q 在线段 PO 的垂直平分线上, $\therefore OQ=PQ, \therefore BO=OQ=PQ=BC=2, \therefore BQ=2+x=\sqrt{2}OB=2\sqrt{2}, \therefore x=2\sqrt{2}-2$;当点 Q 在点 B 左侧时,同理可得 $BQ=2\sqrt{2}$,则 $x=BP=PQ+BQ$,即 $x=2+2\sqrt{2}$.故存在一个 x 的值,使点 Q 在线段 PO 的垂直平分线上.

26. (10分)【教材呈现】(1)如图①,在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起,点A为公共顶点,∠BAC=∠G=90°,若△ABC固定不动,将△AFG绕点A旋转,边AF,AG与边BC分别交于点D,E(点D不与点B重合,点E不与点C重合),则结论$BE· CD=AB^2$(填“成立”或“不成立”);
【类比引申】(2)如图②,在正方形ABCD中,∠EAF为∠BAD内的一个动角,两边分别与BD,BC交于点E,F,且满足∠EAF=∠ADB,求证:$△ ADE ∽ △ ACF$;
【拓展延伸】(3)如图③,菱形ABCD的边长为12 cm,∠BAD=120°,∠EAF的两边分别与BD,BC相交于点E,F,且满足∠EAF=∠ADB.若BF=9 cm,则线段DE的长为cm.

26. (1)成立 解析: $\because △ ABC$ 和 $△ AFG$ 都是等腰直角三角形, $\therefore ∠ B=∠ C=∠ FAG=45°. \because ∠ DAC=∠ CAE+45°$, $∠ AEB=∠ CAE+45°, \therefore ∠ DAC=∠ AEB$.又 $\because ∠ B=∠ C$, $\therefore △ BEA∽△ CAD, \therefore \frac{BE}{CA}=\frac{AB}{DC}. \because AC=AB, \therefore BE· CD=AB^2$,故结论 $BE· CD=AB^2$ 成立.
(2) $\because$ 四边形 ABCD 是正方形, $\therefore ∠ CAD=∠ ACB=∠ ADB=45°. \because ∠ EAF=∠ ADB, \therefore ∠ EAF=∠ CAD=45°$, $\therefore ∠ CAF+∠ CAE=∠ DAE+∠ CAE, \therefore ∠ CAF=∠ DAE$.又 $\because ∠ ACB=∠ ADB, \therefore △ ADE∽△ ACF$.
(3)$5\sqrt{3}$ 解析:如图,在 DE 上取一点 M,使 $∠ MAD=30°$,过点 M 作 $MN⊥ AD$ 于点 N. $\because$ 四边形 ABCD 为菱形,且 $∠ BAD=120°$, $\therefore ∠ CAD=∠ ACB=∠ ADC=60°, \therefore ∠ MDA=\frac{1}{2}∠ ADC=30°$, $\therefore ∠ MAD=∠ MDA=30°, \therefore ∠ AME=60°, \therefore ∠ AME=∠ ACB=60°. \because ∠ CAD=60°, ∠ MAD=30°, \therefore ∠ CAM=30°$. $\because ∠ EAF=∠ ADB, \therefore ∠ EAF=∠ CAM=30°, \therefore ∠ CAF=∠ MAE, \therefore △ ACF∽△ AME, \therefore \frac{CF}{ME}=\frac{AC}{AM}. \because AN=\frac{1}{2}AD, AN=\frac{\sqrt{3}}{2}AM, \therefore MA=MD=\frac{\sqrt{3}}{3}AD. \because AD=AC, \therefore AC=\sqrt{3}AM$, $\therefore \frac{CF}{ME}=\frac{AC}{AM}=\sqrt{3}, \therefore CF=\sqrt{3}ME. \because$ 菱形 ABCD 的边长为 12 cm, $\therefore BC=AD=12$ cm. $\because BF=9$ cm, $\therefore CF=\sqrt{3}ME=3$ cm, $\therefore ME=\sqrt{3}$ cm. $\because MD=\frac{\sqrt{3}}{3}AD, \therefore MD=\frac{\sqrt{3}}{3}×12=4\sqrt{3}(\mathrm{cm}), \therefore DE=MD+ME=4\sqrt{3}+\sqrt{3}=5\sqrt{3}(\mathrm{cm}), \therefore$ 线段 DE 的长为 $5\sqrt{3}$ cm.
配图: