22.「★★」(12分)阅读材料:
【材料一】两个含有二次根式的非零代数式相乘,如果它们的积不含二次根式,那么这两个代数式互为有理化因式.例如:$\sqrt{3}×\sqrt{3}=3$,$(\sqrt{6}-\sqrt{2})(\sqrt{6}+\sqrt{2})=6-2=4$,我们称$\sqrt{3}$的一个有理化因式是$\sqrt{3}$,$\sqrt{6}-\sqrt{2}$的一个有理化因式是$\sqrt{6}+\sqrt{2}$.
【材料二】如果一个代数式的分母中含有二次根式,通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式,使分母中不含根号,这种变形叫作分母有理化.例如:$\frac{1}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}×\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{6}$,$\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}=\frac{(\sqrt{2}+1)^2}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}=3+2\sqrt{2}$.
解答下列问题:
(1)根据以上概念写出$2\sqrt{3}-\sqrt{5}$的一个有理化因式:.
(2)若$a=\frac{1}{2-\sqrt{3}}$,求$a^3-3a+1$的值.
(3)化简:$\frac{3+\sqrt{3}+\sqrt{6}}{3+\sqrt{3}-\sqrt{6}}$.

22.解析 (1)答案不唯一,如:$(2\sqrt{3}-\sqrt{5})(2\sqrt{3}+\sqrt{5})=12-5=7$,故$2\sqrt{3}-\sqrt{5}$的一个有理化因式为$2\sqrt{3}+\sqrt{5}$.
(2)$\because a=\frac{1}{2-\sqrt{3}}=\frac{2+\sqrt{3}}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}=2+\sqrt{3}$,
$\therefore a^3-3a+1=a(a^2-3)+1=(2+\sqrt{3})×[(2+\sqrt{3})^2-3]+1=(2+\sqrt{3})×(4+4\sqrt{3})+1=21+12\sqrt{3}$.
(3)$\frac{3+\sqrt{3}+\sqrt{6}}{3+\sqrt{3}-\sqrt{6}}=\frac{3+\sqrt{3}+\sqrt{6}}{3-(\sqrt{6}-\sqrt{3})}$
$=\frac{(3+\sqrt{3}+\sqrt{6})(3+\sqrt{6}-\sqrt{3})}{9-(\sqrt{6}-\sqrt{3})^2}$
$=\frac{(3+\sqrt{6})^2-3}{6\sqrt{2}}=\frac{12+6\sqrt{6}}{6\sqrt{2}}=\sqrt{2}+\sqrt{3}$.