1.如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$E$为$AB$上的一点,$F$是$AC$延长线上一点,连接$EF$交$BC$于点$D$,若$DE=DF$,求证:$BE=CF$.

1.证明:过点 E 作 $EG// AC$ 交 BC 于点 G,则 $∠ EGB=∠ ACB$,
$∠ F=∠ GED.$
$\because AB=AC,\therefore ∠ ACB=∠ B.$
$\therefore ∠ B=∠ EGB,\therefore BE=GE.$
在$△ CDF$ 和$△ GDE$ 中,$\begin{cases}∠ F=∠ GED,\\ DF=DE,\\∠ CDF=∠ GDE,\end{cases}$
$\therefore △ CDF≌△ GDE(\mathrm{ASA}).\therefore GE=CF.$
$\therefore BE=CF.$

【分析】
要证明BE=CF，观察可知两条线段没有直接的全等或等腰关联，需构造辅助线实现线段转化。已知DE=DF，且EF与BC交于点D，存在一组对顶角相等，因此过点E作EG//AC交BC于G：一方面可利用平行线的性质得到相等的角，构造△CDF和△GDE全等，将CF转化为GE；另一方面结合△ABC是等腰三角形的性质，可证BE=GE，最后通过等量代换即可得到结论。
【解析】
证明：过点 E 作 $EG// AC$ 交 BC 于点 G，则 $∠ EGB=∠ ACB$，$∠ F=∠ GED$。
$\because AB=AC$，$\therefore ∠ ACB=∠ B$。
$\therefore ∠ B=∠ EGB$，$\therefore BE=GE$。
在$△ CDF$ 和$△ GDE$ 中，
$\begin{cases}∠ F=∠ GED,\\ DF=DE,\\∠ CDF=∠ GDE,\end{cases}$
$\therefore △ CDF≌△ GDE(\mathrm{ASA})$。
$\therefore GE=CF$。
$\therefore BE=CF$。
【答案】
$BE=CF$
【知识点】
等腰三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、平行线的性质
【点评】
本题是几何证明中构造辅助线的典型题型，通过作平行线同时构造出全等三角形和等腰三角形，完成线段的等量代换，这种辅助线构造思路在证明线段相等的题型中非常常用，需熟练掌握。
【难度系数】
0.6

2. 如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,∠BAC=45°,BD⊥AC,点P为边AB上一点(不与点A,B重合),PM⊥BC,垂足为M,交BD于点N.请猜想PN与BM之间的数量关系,并证明.

2.解:$PN=2BM$. 证明如下：
如图,过点 P 作 $PF// AC$ 交 BC 于点 F,交 BD 于点 E.
$\because BD⊥ AC,PF// AC,$
$\therefore PF⊥ BD,∠ BPE=∠ A=45°,$
$∠ PFB=∠ C.$
$\therefore ∠ BEP=90°,\therefore ∠ BPE=∠ PBE=45°.$
$\therefore BE=PE.$
$\because PM⊥ BC,\therefore ∠ PMB=∠ PEN=90°.$
$\because ∠ BNM=∠ PNE,\therefore ∠ NPE=∠ EBF.$
$\because ∠ PEN=∠ BEF=90°,$
$\therefore △ PEN≌△ BEF(\mathrm{ASA}).$
$\therefore PN=BF.$
$\because AB=AC,\therefore ∠ ABC=∠ C.$
$\therefore ∠ ABC=∠ PFB.\therefore PB=PF.$
$\because PM⊥ BF,\therefore BM=MF.\therefore PN=2BM.$

【分析】
要探究PN与BM的数量关系，可通过构造辅助线转化线段建立联系。首先结合已知条件：等腰△ABC中∠BAC=45°、BD⊥AC，考虑过点P作PF//AC，借助平行线的性质既可以将∠A的度数转移得到等腰直角三角形，也能得到角的等量关系，进而证明三角形全等将PN转化为BF；再结合等腰三角形的性质推导△PBF为等腰三角形，利用三线合一得到BF与BM的倍数关系，即可得到PN和BM的数量关系。
【解析】
猜想：$\boldsymbol{PN=2BM}$，证明如下：
如图，过点P作 $PF// AC$ 交BC于点F，交BD于点E。
$\because BD⊥ AC,PF// AC,$
$\therefore PF⊥ BD,∠ BPE=∠ A=45°,∠ PFB=∠ C.$
$\therefore ∠ BEP=90°,\therefore ∠ BPE=∠ PBE=45°.$
$\therefore BE=PE.$
$\because PM⊥ BC,\therefore ∠ PMB=∠ PEN=90°.$
$\because ∠ BNM=∠ PNE$（对顶角相等），
$\therefore ∠ NPE=∠ EBF$（等角的余角相等）.
在$△ PEN$和$△ BEF$中：
$\{\begin{array}{l}∠PEN=∠BEF=90°,\\PE=BE,\\∠NPE=∠FBE,\end{array} $
$\therefore △ PEN≌△ BEF(\mathrm{ASA}).$
$\therefore PN=BF.$
$\because AB=AC,\therefore ∠ ABC=∠ C.$
又$\because ∠PFB=∠C$，
$\therefore ∠ ABC=∠ PFB.\therefore PB=PF.$
$\because PM⊥ BF$，根据等腰三角形三线合一的性质，
$\therefore BM=MF$，即$BF=2BM.$
$\therefore PN=2BM.$
【答案】
$PN=2BM$，证明如上，辅助线如图：
【知识点】
等腰三角形的性质与判定；全等三角形的判定与性质；平行线的性质
【点评】
本题是典型的几何线段关系探究题，解题关键是合理添加平行线构造全等三角形和等腰三角形，将无直接关联的两条线段通过等量转化建立联系，考查了几何逻辑推理能力和转化思想。
【难度系数】
0.6

3.如图,在四边形ABCD中,AB//DC,E是BC的中点.若AE是∠BAD的平分线,求证:AD=DC+AB.

3.证明:延长 AE 交 DC 的延长线于点 F.
$\because E$ 是 BC 的中点，
$\therefore CE=BE.$
$\because AB// DC,\therefore ∠ BAE=∠ F.$
在$△ AEB$ 和$△ FEC$ 中,$\begin{cases}∠ BAE=∠ F,\\∠ AEB=∠ FEC,\\ BE=CE,\end{cases}$
$\therefore △ AEB≌△ FEC(\mathrm{AAS}).\therefore AB=FC.$
$\because AE$ 是$∠ BAD$ 的平分线,$\therefore ∠ BAE=∠ EAD.$
$\therefore ∠ EAD=∠ F.$
$\therefore AD=DF=DC+CF=DC+AB.$

【分析】
要证明AD=DC+AB，属于线段和差类证明问题，常用“截长补短”的思路求解。本题已知AB//DC，E是BC中点，我们可以通过延长AE交DC的延长线于点F，先利用平行线的内错角相等、对顶角相等及中点条件证明△AEB和△FEC全等，将AB转化为CF，即可把DC+AB转化为线段DF；再结合角平分线的定义推出等角，证明AD=DF，即可得到待证结论。
【解析】
证明：延长 AE 交 DC 的延长线于点F.
$\because E$ 是 BC 的中点，
$\therefore CE=BE.$
$\because AB// DC,\therefore ∠BAE=∠F.$
在$△ AEB$ 和$△ FEC$ 中,
$\begin{cases}∠ BAE=∠ F,\\∠ AEB=∠ FEC,\\ BE=CE,\end{cases}$
$\therefore △ AEB≌△ FEC(\mathrm{AAS}).$
$\therefore AB=FC.$
$\because AE$ 是$∠BAD$ 的平分线,
$\therefore ∠BAE=∠EAD.$
$\therefore ∠EAD=∠F.$
$\therefore AD=DF.$
又$\because DF=DC+CF=DC+AB$，
$\therefore AD=DC+AB.$
【答案】
证明过程见上述解析，可证得$AD=DC+AB$。
【知识点】
全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、角平分线的定义
【点评】
本题是线段和差证明的典型题型，核心是通过构造全等三角形实现线段的转移，将分散的两条短边整合到同一条线段上，再结合等腰三角形的判定完成证明。掌握“遇平行线+中点时构造全等三角形”的辅助线技巧，可快速解决同类线段和差证明问题。
【难度系数】
0.7

4.如图,已知点 D 为$△ ABC$内一点,CD平分$∠ ACB$,$BD⊥ CD$,$∠ A=∠ ABD$,若$AC=6$,$BC=4$,求$BD$的长.

4.解:延长 BD 交 AC 于点 E.
$\because ∠ A=∠ ABD,$
$\therefore BE=AE.$
$\because BD⊥ CD,CD$ 平分$∠ ACB,$
$\therefore ∠ BDC=∠ EDC=90°,∠ BCD=∠ ECD.$
$\therefore ∠ EBC=∠ BEC.$
$\therefore △ BEC$ 为等腰三角形.
$\therefore BC=CE,BE=2BD.$
$\because AC=6,BC=4,\therefore CE=4.$
$\therefore AE=AC-CE=6-4=2.\therefore BE=2.$
$\therefore BD=1.$

【分析】
本题存在“角平分线+边上的垂线”的特征条件，我们可通过延长BD交AC于点E的辅助线构造等腰三角形转化线段关系：首先利用角平分线和垂直的条件证△BCE是等腰三角形，得到BC=CE且D为BE中点；再结合∠A=∠ABD推出AE=BE，最后结合已知AC、BC的长度逐步计算出BD的长度。
【解析】
解：延长BD交AC于点E。
∵ ∠A=∠ABD，
∴ BE=AE（等角对等边）。
∵ BD⊥CD，CD平分∠ACB，
∴ ∠BDC=∠EDC=90°，∠BCD=∠ECD。
∴ ∠EBC=∠BEC，
∴ △BEC为等腰三角形，
∴ BC=CE，且BE=2BD（等腰三角形三线合一）。
∵ AC=6，BC=4，
∴ CE=BC=4，
∴ AE=AC-CE=6-4=2，
∴ BE=AE=2，
∴ BD=BE÷2=1。
【答案】
1
【知识点】
等腰三角形的判定与性质；角平分线的定义；等角对等边
【点评】
本题属于几何中常见的辅助线构造类题型，解题的关键是掌握“角平分线+对应边上的垂线可构造等腰三角形”的辅助线技巧，将分散的线段条件整合后即可快速求解。
【难度系数】
0.6