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5. 如图，在$△ ABC$中，$∠ ABC=2∠ C$，$∠ BAC$的平分线$AD$交$BC$于点$D$，过点$B$作$BF ⊥ AD$，垂足为$F$，延长$BF$交$AC$于点$E$。
(1)求证：$△ ABE$为等腰三角形；
(2)已知$BD=2$，$AB=3$，求$AC$的长。
(1)求证：$△ ABE$为等腰三角形；
(2)已知$BD=2$，$AB=3$，求$AC$的长。
答案
5.(1)证明:在$△ ABC$中,$∠ BAC$ 的平分线 AD 交 BC 于点 D, $BF⊥ AD,$
$\therefore ∠ BAF=∠ EAF,∠ AFB=∠ AFE=90°.$
$\therefore ∠ ABF=90°-∠ BAF,∠ AEB=90°-∠ EAF.$
$\therefore ∠ ABE=∠ AEB.\therefore AB=AE.$
$\therefore △ ABE$ 为等腰三角形.
(2)解:连接 DE. $\because AB=AE,AD⊥ BF,$
$\therefore AD$ 垂直平分 BE. $\therefore DB=DE.$
$\therefore ∠ DBE=∠ BED.\therefore ∠ EDC=2∠ DBE.$
$\because ∠ ABE=∠ AEB=∠ C+∠ EBC,∠ ABC=∠ ABE+∠ EBC=2∠ C,$
$\therefore ∠ C+∠ EBC+∠ EBC=2∠ C.$
$\therefore ∠ C=2∠ EBC=∠ EDC.\therefore CE=DE=BD=2.$
又 $AB=AE=3$,
$\therefore AC=AE+CE=5.$
解析
【分析】
(1)要证明△ABE为等腰三角形，可通过证明两个底角相等推导边相等。已知AD是∠BAC的角平分线，可得∠BAF=∠EAF，结合BF⊥AD得到两个直角，利用等角的余角相等即可推出∠ABE=∠AEB，进而得到AB=AE，完成等腰三角形的证明。
(2)求AC的长度，可将AC拆分为AE+CE计算，由第一问结论得AE=AB=3，因此只需计算CE的长度即可。连接DE，根据等腰三角形三线合一可知AD垂直平分BE，可得DE=BD；再结合已知∠ABC=2∠C，通过角的等量代换推导得出∠EDC=∠C，即可得到CE=DE=BD=2，最终求出AC的长。
【解析】
(1)证明：在△ABC中，∠BAC的平分线AD交BC于点D，BF⊥AD，
∴∠BAF=∠EAF，∠AFB=∠AFE=90°。
∴∠ABF=90°-∠BAF，∠AEB=90°-∠EAF，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
∴△ABE为等腰三角形。
(2)解：连接DE。
∵AB=AE，AD⊥BF，
∴AD垂直平分BE，
∴DB=DE，
∴∠DBE=∠BED，
∴∠EDC=2∠DBE。
∵∠ABE=∠AEB=∠C+∠EBC，∠ABC=∠ABE+∠EBC=2∠C，
∴∠C+∠EBC+∠EBC=2∠C，
∴∠C=2∠EBC=∠EDC，
∴CE=DE=BD=2，
又
∵AB=AE=3，
∴AC=AE+CE=3+2=5。
【答案】
(1) △ABE为等腰三角形，证明成立；
(2) $\boldsymbol{AC=5}$
【知识点】
等腰三角形判定，角平分线性质，垂直平分线性质
【点评】
本题是构造等腰三角形解题的典型题型，既考查了等腰三角形的判定与性质，也涉及角平分线、垂直平分线的性质应用，解题关键是正确作出辅助线DE，通过角的等量代换建立边的相等关系。
【难度系数】
0.7
(1)要证明△ABE为等腰三角形，可通过证明两个底角相等推导边相等。已知AD是∠BAC的角平分线，可得∠BAF=∠EAF，结合BF⊥AD得到两个直角，利用等角的余角相等即可推出∠ABE=∠AEB，进而得到AB=AE，完成等腰三角形的证明。
(2)求AC的长度，可将AC拆分为AE+CE计算，由第一问结论得AE=AB=3，因此只需计算CE的长度即可。连接DE，根据等腰三角形三线合一可知AD垂直平分BE，可得DE=BD；再结合已知∠ABC=2∠C，通过角的等量代换推导得出∠EDC=∠C，即可得到CE=DE=BD=2，最终求出AC的长。
【解析】
(1)证明：在△ABC中，∠BAC的平分线AD交BC于点D，BF⊥AD，
∴∠BAF=∠EAF，∠AFB=∠AFE=90°。
∴∠ABF=90°-∠BAF，∠AEB=90°-∠EAF，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
∴△ABE为等腰三角形。
(2)解：连接DE。
∵AB=AE，AD⊥BF，
∴AD垂直平分BE，
∴DB=DE，
∴∠DBE=∠BED，
∴∠EDC=2∠DBE。
∵∠ABE=∠AEB=∠C+∠EBC，∠ABC=∠ABE+∠EBC=2∠C，
∴∠C+∠EBC+∠EBC=2∠C，
∴∠C=2∠EBC=∠EDC，
∴CE=DE=BD=2，
又
∵AB=AE=3，
∴AC=AE+CE=3+2=5。
【答案】
(1) △ABE为等腰三角形，证明成立；
(2) $\boldsymbol{AC=5}$
【知识点】
等腰三角形判定，角平分线性质，垂直平分线性质
【点评】
本题是构造等腰三角形解题的典型题型，既考查了等腰三角形的判定与性质，也涉及角平分线、垂直平分线的性质应用，解题关键是正确作出辅助线DE，通过角的等量代换建立边的相等关系。
【难度系数】
0.7
6.如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC=3∠ C$,AD平分$∠ BAC$,$BE⊥ AD$于点E.求证:$BE=\frac{1}{2}(AC-AB)$.
答案
6.证明:延长 BE 交 AC 于点 F.
$\because BF⊥ AD,$
$\therefore ∠ AEB=∠ AEF=90°.$
$\because AD$ 平分$∠ BAC,\therefore ∠ BAE=∠ FAE.$
在$△ ABE$ 和$△ AFE$ 中,$\begin{cases}∠ AEB=∠ AEF,\\ AE=AE,\\∠ BAE=∠ FAE,\end{cases}$
$\therefore △ ABE≌△ AFE(\mathrm{ASA}).$
$\therefore ∠ ABF=∠ AFB,AB=AF,BE=EF.$
$\because ∠ C+∠ CBF=∠ AFB=∠ ABF,$
$∠ ABF+∠ CBF=∠ ABC=3∠ C,$
$\therefore ∠ C+2∠ CBF=3∠ C.$
$\therefore ∠ CBF=∠ C.\therefore BF=CF.$
$\therefore BE=\frac{1}{2}BF=\frac{1}{2}CF.$
$\because CF=AC-AF=AC-AB,$
$\therefore BE=\frac{1}{2}(AC-AB).$
$\because BF⊥ AD,$
$\therefore ∠ AEB=∠ AEF=90°.$
$\because AD$ 平分$∠ BAC,\therefore ∠ BAE=∠ FAE.$
在$△ ABE$ 和$△ AFE$ 中,$\begin{cases}∠ AEB=∠ AEF,\\ AE=AE,\\∠ BAE=∠ FAE,\end{cases}$
$\therefore △ ABE≌△ AFE(\mathrm{ASA}).$
$\therefore ∠ ABF=∠ AFB,AB=AF,BE=EF.$
$\because ∠ C+∠ CBF=∠ AFB=∠ ABF,$
$∠ ABF+∠ CBF=∠ ABC=3∠ C,$
$\therefore ∠ C+2∠ CBF=3∠ C.$
$\therefore ∠ CBF=∠ C.\therefore BF=CF.$
$\therefore BE=\frac{1}{2}BF=\frac{1}{2}CF.$
$\because CF=AC-AF=AC-AB,$
$\therefore BE=\frac{1}{2}(AC-AB).$
解析
【分析】
要证明$BE=\frac{1}{2}(AC-AB)$，首先观察已知条件：AD是角平分线，且$BE⊥ AD$，这类“角平分线+边上垂线”的特征，可通过延长BE交AC于点F，构造轴对称的全等三角形，将AB转化为AF、BE转化为EF，此时$AC-AB$就等于CF；接下来只需结合$∠ ABC=3∠ C$的条件，利用三角形外角性质推导角的数量关系，证明$BF=CF$，即可得到待证结论。
【解析】
证明：延长 BE 交 AC 于点 F.
$\because BF⊥ AD,$
$\therefore ∠ AEB=∠ AEF=90°.$
$\because AD$ 平分$∠ BAC,\therefore ∠ BAE=∠ FAE.$
在$△ ABE$ 和$△ AFE$ 中,
$\begin{cases}∠ AEB=∠ AEF,\\ AE=AE,\\∠ BAE=∠ FAE,\end{cases}$
$\therefore △ ABE≌△ AFE(\mathrm{ASA}).$
$\therefore ∠ ABF=∠ AFB,AB=AF,BE=EF.$
$\because ∠ C+∠ CBF=∠ AFB=∠ ABF,$
$∠ ABF+∠ CBF=∠ ABC=3∠ C,$
$\therefore ∠ C+2∠ CBF=3∠ C.$
$\therefore ∠ CBF=∠ C.\therefore BF=CF.$
$\therefore BE=\frac{1}{2}BF=\frac{1}{2}CF.$
$\because CF=AC-AF=AC-AB,$
$\therefore BE=\frac{1}{2}(AC-AB).$
【答案】
延长 BE 交 AC 于点 F.
$\because BF⊥ AD,$
$\therefore ∠ AEB=∠ AEF=90°.$
$\because AD$ 平分$∠ BAC,\therefore ∠ BAE=∠ FAE.$
在$△ ABE$ 和$△ AFE$ 中,
$\begin{cases}∠ AEB=∠ AEF,\\ AE=AE,\\∠ BAE=∠ FAE,\end{cases}$
$\therefore △ ABE≌△ AFE(\mathrm{ASA}).$
$\therefore ∠ ABF=∠ AFB,AB=AF,BE=EF.$
$\because ∠ C+∠ CBF=∠ AFB=∠ ABF,$
$∠ ABF+∠ CBF=∠ ABC=3∠ C,$
$\therefore ∠ C+2∠ CBF=3∠ C.$
$\therefore ∠ CBF=∠ C.\therefore BF=CF.$
$\therefore BE=\frac{1}{2}BF=\frac{1}{2}CF.$
$\because CF=AC-AF=AC-AB,$
$\therefore BE=\frac{1}{2}(AC-AB).$
【知识点】
全等三角形判定与性质，等腰三角形判定与性质，角平分线的定义
【点评】
本题解题核心是掌握“角平分线+垂直”类几何题的辅助线构造方法，通过构造全等三角形实现线段、角的等量转化，再结合等腰三角形的性质建立待证线段的数量关系，是几何证明中非常典型的技巧性题型。
【难度系数】
0.6
要证明$BE=\frac{1}{2}(AC-AB)$，首先观察已知条件：AD是角平分线，且$BE⊥ AD$，这类“角平分线+边上垂线”的特征，可通过延长BE交AC于点F，构造轴对称的全等三角形，将AB转化为AF、BE转化为EF，此时$AC-AB$就等于CF；接下来只需结合$∠ ABC=3∠ C$的条件，利用三角形外角性质推导角的数量关系，证明$BF=CF$，即可得到待证结论。
【解析】
证明：延长 BE 交 AC 于点 F.
$\because BF⊥ AD,$
$\therefore ∠ AEB=∠ AEF=90°.$
$\because AD$ 平分$∠ BAC,\therefore ∠ BAE=∠ FAE.$
在$△ ABE$ 和$△ AFE$ 中,
$\begin{cases}∠ AEB=∠ AEF,\\ AE=AE,\\∠ BAE=∠ FAE,\end{cases}$
$\therefore △ ABE≌△ AFE(\mathrm{ASA}).$
$\therefore ∠ ABF=∠ AFB,AB=AF,BE=EF.$
$\because ∠ C+∠ CBF=∠ AFB=∠ ABF,$
$∠ ABF+∠ CBF=∠ ABC=3∠ C,$
$\therefore ∠ C+2∠ CBF=3∠ C.$
$\therefore ∠ CBF=∠ C.\therefore BF=CF.$
$\therefore BE=\frac{1}{2}BF=\frac{1}{2}CF.$
$\because CF=AC-AF=AC-AB,$
$\therefore BE=\frac{1}{2}(AC-AB).$
【答案】
延长 BE 交 AC 于点 F.
$\because BF⊥ AD,$
$\therefore ∠ AEB=∠ AEF=90°.$
$\because AD$ 平分$∠ BAC,\therefore ∠ BAE=∠ FAE.$
在$△ ABE$ 和$△ AFE$ 中,
$\begin{cases}∠ AEB=∠ AEF,\\ AE=AE,\\∠ BAE=∠ FAE,\end{cases}$
$\therefore △ ABE≌△ AFE(\mathrm{ASA}).$
$\therefore ∠ ABF=∠ AFB,AB=AF,BE=EF.$
$\because ∠ C+∠ CBF=∠ AFB=∠ ABF,$
$∠ ABF+∠ CBF=∠ ABC=3∠ C,$
$\therefore ∠ C+2∠ CBF=3∠ C.$
$\therefore ∠ CBF=∠ C.\therefore BF=CF.$
$\therefore BE=\frac{1}{2}BF=\frac{1}{2}CF.$
$\because CF=AC-AF=AC-AB,$
$\therefore BE=\frac{1}{2}(AC-AB).$
【知识点】
全等三角形判定与性质，等腰三角形判定与性质，角平分线的定义
【点评】
本题解题核心是掌握“角平分线+垂直”类几何题的辅助线构造方法，通过构造全等三角形实现线段、角的等量转化，再结合等腰三角形的性质建立待证线段的数量关系，是几何证明中非常典型的技巧性题型。
【难度系数】
0.6
7.如图，$AD⊥ BC$于点$D$，且$DC=AB+BD$。若$∠ C=26°$，求$∠ BAC$的度数。
答案
7.解:如图,延长 DB 至 F,使得 $BF=AB$,连接 AF.
$\because BF=AB,DC=BD+AB,\therefore DF=CD.$
$\because AD⊥ BC,\therefore AF=AC.$
$\therefore ∠ BAF=∠ F=∠ C=26°.$
$\therefore ∠ BAC=180°-∠ C-∠ F-∠ BAF=180°-26°-26°-26°=102°.$
解析
【分析】
遇到含有线段和差关系（本题为$DC=AB+BD$）的几何题，优先考虑用截长补短法构造相等线段。本题可采用补短的思路：延长DB至F使$BF=AB$，即可将$AB+BD$转化为DF，结合已知条件可得$DF=DC$；再结合$AD⊥BC$的条件，可知AD是FC的垂直平分线，利用垂直平分线的性质得到$AF=AC$，进而得到等腰三角形的等角关系，最后结合三角形内角和定理就能求出$∠BAC$的度数。
【解析】
解：如图，延长DB至F，使得$BF=AB$，连接AF。
$\because BF=AB,DC=BD+AB$，
$\therefore DF=BD+BF=BD+AB=CD$。
$\because AD⊥BC$，
$\therefore$AD是线段FC的垂直平分线，根据垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，可得$AF=AC$。
$\therefore ∠F=∠C=26°$。
又$\because BF=AB$，
$\therefore ∠BAF=∠F=26°$。
在$△ ABC$中，$∠ABC$是$△ ABF$的外角，故$∠ABC=∠F+∠BAF=26°+26°=52°$，
$\therefore ∠BAC=180°-∠ABC-∠C=180°-52°-26°=102°$。
【答案】
7.解:如图,延长 DB 至 F,使得 $BF=AB$,连接 AF.
$\because BF=AB,DC=BD+AB,\therefore DF=CD.$
$\because AD⊥ BC,\therefore AF=AC.$
$\therefore ∠ BAF=∠ F=∠ C=26°.$
$\therefore ∠ BAC=180°-∠ C-∠ F-∠ BAF=180°-26°-26°-26°=102°.$
【知识点】
等腰三角形性质、线段垂直平分线性质、三角形内角和定理
【点评】
本题是构造等腰三角形解题的典型题型，解题核心是根据线段和差特征用截长补短法构造辅助线，结合垂直平分线的性质实现边角关系的转化，能够有效锻炼学生的辅助线构造能力和逻辑推导能力。
【难度系数】
0.6
遇到含有线段和差关系（本题为$DC=AB+BD$）的几何题，优先考虑用截长补短法构造相等线段。本题可采用补短的思路：延长DB至F使$BF=AB$，即可将$AB+BD$转化为DF，结合已知条件可得$DF=DC$；再结合$AD⊥BC$的条件，可知AD是FC的垂直平分线，利用垂直平分线的性质得到$AF=AC$，进而得到等腰三角形的等角关系，最后结合三角形内角和定理就能求出$∠BAC$的度数。
【解析】
解：如图，延长DB至F，使得$BF=AB$，连接AF。
$\because BF=AB,DC=BD+AB$，
$\therefore DF=BD+BF=BD+AB=CD$。
$\because AD⊥BC$，
$\therefore$AD是线段FC的垂直平分线，根据垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，可得$AF=AC$。
$\therefore ∠F=∠C=26°$。
又$\because BF=AB$，
$\therefore ∠BAF=∠F=26°$。
在$△ ABC$中，$∠ABC$是$△ ABF$的外角，故$∠ABC=∠F+∠BAF=26°+26°=52°$，
$\therefore ∠BAC=180°-∠ABC-∠C=180°-52°-26°=102°$。
【答案】
7.解:如图,延长 DB 至 F,使得 $BF=AB$,连接 AF.
$\because BF=AB,DC=BD+AB,\therefore DF=CD.$
$\because AD⊥ BC,\therefore AF=AC.$
$\therefore ∠ BAF=∠ F=∠ C=26°.$
$\therefore ∠ BAC=180°-∠ C-∠ F-∠ BAF=180°-26°-26°-26°=102°.$
【知识点】
等腰三角形性质、线段垂直平分线性质、三角形内角和定理
【点评】
本题是构造等腰三角形解题的典型题型，解题核心是根据线段和差特征用截长补短法构造辅助线，结合垂直平分线的性质实现边角关系的转化，能够有效锻炼学生的辅助线构造能力和逻辑推导能力。
【难度系数】
0.6
8. 如图, 在 $△ ABC$ 中, $∠ BAC = 108°, AB = AC, BD$ 平分 $∠ ABC$, 交 $AC$ 于点 $D$, 求证: $BC = AB + CD$. 
答案
8.证明:在 BC 上取点 E,使 $BE=BA$,连接 DE.
$\because BD$ 平分$∠ ABC,\therefore ∠ ABD=∠ EBD.$
在$△ ABD$ 和$△ EBD$ 中,$\begin{cases}AB=EB,\\∠ ABD=∠ EBD,\\ BD=BD,\end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ EBD(\mathrm{SAS}).$
$\therefore ∠ BAC=∠ BED=108°.\therefore ∠ DEC=72°.$
$\because AB=AC,\therefore ∠ C=∠ ABC=36°.$
$\therefore ∠ CDE=72°.\therefore ∠ CDE=∠ CED=72°.$
$\therefore CD=CE.$
$\therefore BC=BE+EC=AB+CD.$
$\because BD$ 平分$∠ ABC,\therefore ∠ ABD=∠ EBD.$
在$△ ABD$ 和$△ EBD$ 中,$\begin{cases}AB=EB,\\∠ ABD=∠ EBD,\\ BD=BD,\end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ EBD(\mathrm{SAS}).$
$\therefore ∠ BAC=∠ BED=108°.\therefore ∠ DEC=72°.$
$\because AB=AC,\therefore ∠ C=∠ ABC=36°.$
$\therefore ∠ CDE=72°.\therefore ∠ CDE=∠ CED=72°.$
$\therefore CD=CE.$
$\therefore BC=BE+EC=AB+CD.$
解析
【分析】
要证明一条线段等于另外两条线段的和，通常采用截长补短法。本题中BD是∠ABC的角平分线，且BD为公共边，因此选择“截长”的思路：在BC上截取BE=AB，先利用SAS证明△ABD≌△EBD得到对应角相等，再结合等腰△ABC的内角计算，推导出△CDE为等腰三角形得到CE=CD，最后通过BC=BE+EC等量代换即可完成证明。
【解析】
证明：在BC上取点E，使$BE=BA$，连接DE。
$\because BD$平分$∠ABC$，$\therefore ∠ABD=∠EBD$。
在$△ABD$和$△EBD$中：
$\begin{cases}AB=EB,\\∠ABD=∠EBD,\\BD=BD,\end{cases}$
$\therefore △ABD≌△EBD(\mathrm{SAS})$。
$\therefore ∠BAC=∠BED=108°$，$\therefore ∠DEC=180°-108°=72°$。
$\because AB=AC$，$∠BAC=108°$，
$\therefore ∠C=∠ABC=\frac{180°-108°}{2}=36°$。
$\therefore ∠CDE=180°-∠C-∠DEC=180°-36°-72°=72°$，
$\therefore ∠CDE=∠CED$，
$\therefore CD=CE$。
$\therefore BC=BE+EC=AB+CD$。
【答案】
$BC=AB+CD$
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 等腰三角形的判定与性质
3. 截长补短证线段和差
【点评】
本题是几何线段和差证明的典型题，通过截长法结合角平分线构造全等三角形实现第一次线段转化，再通过角度计算推导等腰三角形完成第二次线段代换，方法具有通用性，要熟练掌握构造全等、等腰三角形的技巧。
【难度系数】
0.6
要证明一条线段等于另外两条线段的和，通常采用截长补短法。本题中BD是∠ABC的角平分线，且BD为公共边，因此选择“截长”的思路：在BC上截取BE=AB，先利用SAS证明△ABD≌△EBD得到对应角相等，再结合等腰△ABC的内角计算，推导出△CDE为等腰三角形得到CE=CD，最后通过BC=BE+EC等量代换即可完成证明。
【解析】
证明：在BC上取点E，使$BE=BA$，连接DE。
$\because BD$平分$∠ABC$，$\therefore ∠ABD=∠EBD$。
在$△ABD$和$△EBD$中：
$\begin{cases}AB=EB,\\∠ABD=∠EBD,\\BD=BD,\end{cases}$
$\therefore △ABD≌△EBD(\mathrm{SAS})$。
$\therefore ∠BAC=∠BED=108°$，$\therefore ∠DEC=180°-108°=72°$。
$\because AB=AC$，$∠BAC=108°$，
$\therefore ∠C=∠ABC=\frac{180°-108°}{2}=36°$。
$\therefore ∠CDE=180°-∠C-∠DEC=180°-36°-72°=72°$，
$\therefore ∠CDE=∠CED$，
$\therefore CD=CE$。
$\therefore BC=BE+EC=AB+CD$。
【答案】
$BC=AB+CD$
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 等腰三角形的判定与性质
3. 截长补短证线段和差
【点评】
本题是几何线段和差证明的典型题，通过截长法结合角平分线构造全等三角形实现第一次线段转化，再通过角度计算推导等腰三角形完成第二次线段代换，方法具有通用性，要熟练掌握构造全等、等腰三角形的技巧。
【难度系数】
0.6
