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1. 一元二次方程$(x+5)(2x-8)=0$的解是（
A.$x_1=-5,x_2=-4$
B.$x_1=-5,x_2=4$
C.$x_1=5,x_2=4$
D.$x_1=5,x_2=-4$
B
）A.$x_1=-5,x_2=-4$
B.$x_1=-5,x_2=4$
C.$x_1=5,x_2=4$
D.$x_1=5,x_2=-4$
答案
1. B
∵$(x+5)(2x-8)=0$,
∴$x+5=0$或$2x-8=0$,解得$x_1=-5,x_2=4$.
得分要点：若两个因式的积为0,则至少有一个因式等于0.
∵$(x+5)(2x-8)=0$,
∴$x+5=0$或$2x-8=0$,解得$x_1=-5,x_2=4$.
得分要点：若两个因式的积为0,则至少有一个因式等于0.
解析
【分析】
本题考查因式分解法解一元二次方程，解题思路如下：首先观察方程形式，等号左侧是两个一次因式的乘积，右侧为0，符合因式分解法解方程的条件，可利用“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0”的性质，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到原方程的解，再匹配对应选项。
【解析】
已知方程$(x+5)(2x-8)=0$，根据乘积为0的性质可得：
$x+5=0$ 或 $2x-8=0$
解$x+5=0$，得$x_1=-5$；
解$2x-8=0$，移项得$2x=8$，系数化为1得$x_2=4$。
因此方程的解为$x_1=-5,x_2=4$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；解一元一次方程
【点评】
本题是因式分解法解一元二次方程的基础典型题，主要考查对零乘积性质的理解与应用，掌握因式分解法解方程的基本逻辑就能快速作答。
【难度系数】
0.9
本题考查因式分解法解一元二次方程，解题思路如下：首先观察方程形式，等号左侧是两个一次因式的乘积，右侧为0，符合因式分解法解方程的条件，可利用“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0”的性质，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到原方程的解，再匹配对应选项。
【解析】
已知方程$(x+5)(2x-8)=0$，根据乘积为0的性质可得：
$x+5=0$ 或 $2x-8=0$
解$x+5=0$，得$x_1=-5$；
解$2x-8=0$，移项得$2x=8$，系数化为1得$x_2=4$。
因此方程的解为$x_1=-5,x_2=4$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；解一元一次方程
【点评】
本题是因式分解法解一元二次方程的基础典型题，主要考查对零乘积性质的理解与应用，掌握因式分解法解方程的基本逻辑就能快速作答。
【难度系数】
0.9
2. [2024山西中考]一元二次方程$x^2 -6x=0$的解是
$x_1=0,x_2=6$
.答案
2. $x_1=0,x_2=6$ $x^2 -6x=0$,提取公因式,得$x(x-6)=0$,则$x=0$或$x-6=0$,解得$x_1=0,x_2=6$.
解析
【分析】
拿到该一元二次方程后首先观察方程结构，方程右侧为0，左侧两项均含公因式x，因此优先选择因式分解法求解，无需使用配方法或公式法，可简化计算。因式分解法解一元二次方程的核心是将二次方程降次转化为两个一元一次方程，利用“若两个因式乘积为0，则至少其中一个因式为0”的原理求解。
【解析】
解：对原方程$x^2 -6x=0$左侧提取公因式$x$，可得：
$x(x-6)=0$
根据乘积为0的因式性质，得：
$x=0$ 或 $x-6=0$
分别解两个一元一次方程：
当$x=0$时，满足方程；
当$x-6=0$时，解得$x=6$。
因此原方程的解为$x_1=0$，$x_2=6$。
【答案】
$x_1=0,x_2=6$
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 提取公因式法因式分解
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题，侧重考查对解方程方法的灵活选择，观察方程特征选择适配的解法可提高解题效率，主要考察基础运算能力。
【难度系数】
0.9
拿到该一元二次方程后首先观察方程结构，方程右侧为0，左侧两项均含公因式x，因此优先选择因式分解法求解，无需使用配方法或公式法，可简化计算。因式分解法解一元二次方程的核心是将二次方程降次转化为两个一元一次方程，利用“若两个因式乘积为0，则至少其中一个因式为0”的原理求解。
【解析】
解：对原方程$x^2 -6x=0$左侧提取公因式$x$，可得：
$x(x-6)=0$
根据乘积为0的因式性质，得：
$x=0$ 或 $x-6=0$
分别解两个一元一次方程：
当$x=0$时，满足方程；
当$x-6=0$时，解得$x=6$。
因此原方程的解为$x_1=0$，$x_2=6$。
【答案】
$x_1=0,x_2=6$
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 提取公因式法因式分解
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题，侧重考查对解方程方法的灵活选择，观察方程特征选择适配的解法可提高解题效率，主要考察基础运算能力。
【难度系数】
0.9
3.若$x=-2$是一元二次方程$x^2 + 2x + m = 0$的一个根,则方程的另一个根及$m$的值分别是
0,0
.答案
3. 0,0 根据题意得,$(-2)^2 + 2×(-2) + m = 0$,解得$m=0$,$\therefore x^2 + 2x = 0$,$\therefore x(x + 2) = 0$,$\therefore x_1 = -2,x_2 = 0$,$\therefore$方程的另一个根是$x=0$.
解析
【分析】
解题思路可分为两步：第一步，根据一元二次方程根的定义，将已知根x=-2代入原方程，即可得到关于m的一元一次方程，求解得出m的值；第二步，将求得的m值代回原方程，用因式分解法求解一元二次方程，即可得到方程的另一个根。
【解析】
∵x=-2是一元二次方程$x^2 + 2x + m = 0$的一个根，
∴将x=-2代入方程得：$(-2)^2 + 2×(-2) + m = 0$，
计算得：$4 - 4 + m = 0$，解得$m=0$。
把$m=0$代入原方程，得$x^2 + 2x = 0$，
对左边因式分解得：$x(x + 2) = 0$，
∴$x=0$或$x+2=0$，解得$x_1=-2$，$x_2=0$，
∴方程的另一个根是0。
【答案】
0，0
【知识点】
一元二次方程根的定义；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考察对一元二次方程根的定义的理解，以及因式分解法解方程的运用，熟练掌握基础概念和运算方法即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解题思路可分为两步：第一步，根据一元二次方程根的定义，将已知根x=-2代入原方程，即可得到关于m的一元一次方程，求解得出m的值；第二步，将求得的m值代回原方程，用因式分解法求解一元二次方程，即可得到方程的另一个根。
【解析】
∵x=-2是一元二次方程$x^2 + 2x + m = 0$的一个根，
∴将x=-2代入方程得：$(-2)^2 + 2×(-2) + m = 0$，
计算得：$4 - 4 + m = 0$，解得$m=0$。
把$m=0$代入原方程，得$x^2 + 2x = 0$，
对左边因式分解得：$x(x + 2) = 0$，
∴$x=0$或$x+2=0$，解得$x_1=-2$，$x_2=0$，
∴方程的另一个根是0。
【答案】
0，0
【知识点】
一元二次方程根的定义；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考察对一元二次方程根的定义的理解，以及因式分解法解方程的运用，熟练掌握基础概念和运算方法即可快速解题。
【难度系数】
0.9
4. 用提公因式法解下列方程：
(1) $(2x - 6)^2 = -3(2x - 6)$；
(2) $x(x + 4) = 5x + 20$。
(1) $(2x - 6)^2 = -3(2x - 6)$；
(2) $x(x + 4) = 5x + 20$。
答案
4. 解:(1)$(2x - 6)^2 = -3(2x - 6)$,
移项,得$(2x - 6)^2 + 3(2x - 6) = 0$,
提取公因式,得$(2x - 6)(2x - 6 + 3) = 0$,
则$2x - 6 = 0$或$2x - 3 = 0$,解得$x_1 = 3,x_2 = \frac{3}{2}$.
(2)$x(x + 4) = 5x + 20$,
提取公因式,得$x(x + 4) = 5(x + 4)$,
移项,得$x(x + 4) - 5(x + 4) = 0$,
提取公因式,得$(x + 4)(x - 5) = 0$,
则$x + 4 = 0$或$x - 5 = 0$,解得$x_1 = -4,x_2 = 5$.
解题通法：用因式分解法解一元二次方程的一般步骤
(1)将方程的右边化为0;(2)对方程的左边进行因式分解,化为两个一次因式乘积的形式;(3)因为“若积是0,则每个因式都有可能是0”,所以使这两个因式的值分别为0,得到两个一元一次方程;(4)解这两个一元一次方程,它们的解就是一元二次方程的解.
移项,得$(2x - 6)^2 + 3(2x - 6) = 0$,
提取公因式,得$(2x - 6)(2x - 6 + 3) = 0$,
则$2x - 6 = 0$或$2x - 3 = 0$,解得$x_1 = 3,x_2 = \frac{3}{2}$.
(2)$x(x + 4) = 5x + 20$,
提取公因式,得$x(x + 4) = 5(x + 4)$,
移项,得$x(x + 4) - 5(x + 4) = 0$,
提取公因式,得$(x + 4)(x - 5) = 0$,
则$x + 4 = 0$或$x - 5 = 0$,解得$x_1 = -4,x_2 = 5$.
解题通法：用因式分解法解一元二次方程的一般步骤
(1)将方程的右边化为0;(2)对方程的左边进行因式分解,化为两个一次因式乘积的形式;(3)因为“若积是0,则每个因式都有可能是0”,所以使这两个因式的值分别为0,得到两个一元一次方程;(4)解这两个一元一次方程,它们的解就是一元二次方程的解.
解析
【分析】
这两道题是用提公因式法解一元二次方程的基础题型，解题核心是先将方程整理为“左边为两个一次因式乘积、右边为0”的形式，再利用“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的原理，转化为一元一次方程求解。注意不能直接在方程两边同时除以公因式，否则会漏掉公因式为0的解。
第(1)题公因式为$(2x-6)$，先移项把右侧项移到左侧，再提取公因式即可分解；第(2)题先把右侧$5x+20$提取5变形为$5(x+4)$，再移项提取公因式$(x+4)$即可分解。
【解析】
(1) 解方程$(2x - 6)^2 = -3(2x - 6)$：
移项，得$(2x - 6)^2 + 3(2x - 6) = 0$，
提取公因式$(2x-6)$，得$(2x - 6)(2x - 6 + 3) = 0$，
则$2x - 6 = 0$或$2x - 3 = 0$，
分别解得$x_1 = 3$，$x_2 = \frac{3}{2}$。
(2) 解方程$x(x + 4) = 5x + 20$：
先将右侧变形提取公因式，得$x(x + 4) = 5(x + 4)$，
移项，得$x(x + 4) - 5(x + 4) = 0$，
提取公因式$(x+4)$，得$(x + 4)(x - 5) = 0$，
则$x + 4 = 0$或$x - 5 = 0$，
分别解得$x_1 = -4$，$x_2 = 5$。
【答案】
(1) $x_1=3,x_2=\frac{3}{2}$；(2) $x_1=-4,x_2=5$
【知识点】
提公因式法，因式分解法解方程，一元一次方程求解
【点评】
本题属于解方程的基础题型，重点考查提公因式法的应用，解题时需注意不要直接在方程两边除以公因式，避免漏解，熟练掌握因式分解法解方程的步骤即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
这两道题是用提公因式法解一元二次方程的基础题型，解题核心是先将方程整理为“左边为两个一次因式乘积、右边为0”的形式，再利用“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的原理，转化为一元一次方程求解。注意不能直接在方程两边同时除以公因式，否则会漏掉公因式为0的解。
第(1)题公因式为$(2x-6)$，先移项把右侧项移到左侧，再提取公因式即可分解；第(2)题先把右侧$5x+20$提取5变形为$5(x+4)$，再移项提取公因式$(x+4)$即可分解。
【解析】
(1) 解方程$(2x - 6)^2 = -3(2x - 6)$：
移项，得$(2x - 6)^2 + 3(2x - 6) = 0$，
提取公因式$(2x-6)$，得$(2x - 6)(2x - 6 + 3) = 0$，
则$2x - 6 = 0$或$2x - 3 = 0$，
分别解得$x_1 = 3$，$x_2 = \frac{3}{2}$。
(2) 解方程$x(x + 4) = 5x + 20$：
先将右侧变形提取公因式，得$x(x + 4) = 5(x + 4)$，
移项，得$x(x + 4) - 5(x + 4) = 0$，
提取公因式$(x+4)$，得$(x + 4)(x - 5) = 0$，
则$x + 4 = 0$或$x - 5 = 0$，
分别解得$x_1 = -4$，$x_2 = 5$。
【答案】
(1) $x_1=3,x_2=\frac{3}{2}$；(2) $x_1=-4,x_2=5$
【知识点】
提公因式法，因式分解法解方程，一元一次方程求解
【点评】
本题属于解方程的基础题型，重点考查提公因式法的应用，解题时需注意不要直接在方程两边除以公因式，避免漏解，熟练掌握因式分解法解方程的步骤即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
5. 教材你知道吗？变式 [2025阳泉平定期中]在数学活动课上，老师给出了这样一道题：“解方程：$3(x + 2) = (x + 2)^2$.”如下是小明和小亮两位同学的做法。
(1)小亮解方程的方法为
(2)小明和小亮的解题过程是否正确？若错误，请你指出具体原因，并写出正确的解题过程。
(3)小明和小亮的解法体现的数学思想方法是
(1)小亮解方程的方法为
提公因式法(或因式分解法)
.(2)小明和小亮的解题过程是否正确？若错误，请你指出具体原因，并写出正确的解题过程。
(3)小明和小亮的解法体现的数学思想方法是
转化思想(或降次)
.答案
5. 解:(1)提公因式法(或因式分解法)
(2)小明和小亮的解题过程均错误.
小明解题错误的原因是方程两边都除以$(x + 2)$时,忽略了$x + 2$可能为0;
小亮解题错误的原因是提取公因式时,第二个因式中2出现符号错误.
正确的解题过程如下:
解:$3(x + 2) = (x + 2)^2$,
移项,得$3(x + 2) - (x + 2)^2 = 0$,
提取公因式,得$(x + 2)(3 - x - 2) = 0$,
则$x + 2 = 0$或$3 - x - 2 = 0$,解得$x_1 = -2,x_2 = 1$.
(3)转化思想(或降次)
避坑指南：用提公因式法解方程时,方程两边含有的相同代数式应该被提出来,而不是被直接约去.若直接约去代数式,相当于把代数式作为除数.$\because 0$不能作为除数,$\therefore$此时就隐含了代数式的值不为0,这样会漏掉当代数式的值为0时方程的一个根,出现漏根的错误.
(2)小明和小亮的解题过程均错误.
小明解题错误的原因是方程两边都除以$(x + 2)$时,忽略了$x + 2$可能为0;
小亮解题错误的原因是提取公因式时,第二个因式中2出现符号错误.
正确的解题过程如下:
解:$3(x + 2) = (x + 2)^2$,
移项,得$3(x + 2) - (x + 2)^2 = 0$,
提取公因式,得$(x + 2)(3 - x - 2) = 0$,
则$x + 2 = 0$或$3 - x - 2 = 0$,解得$x_1 = -2,x_2 = 1$.
(3)转化思想(或降次)
避坑指南：用提公因式法解方程时,方程两边含有的相同代数式应该被提出来,而不是被直接约去.若直接约去代数式,相当于把代数式作为除数.$\because 0$不能作为除数,$\therefore$此时就隐含了代数式的值不为0,这样会漏掉当代数式的值为0时方程的一个根,出现漏根的错误.
解析
【分析】
(1) 观察小亮的解题步骤，他通过移项、提取公因式将二次方程转化为两个一次方程求解，对应解法为提公因式法（因式分解法）。
(2) 分析两人解题过程的正误：根据等式的性质，等式两边同时除以的数不能为0，小明直接除以整式$(x+2)$，未考虑$x+2=0$的情况，会丢失方程的根；再看小亮提取公因式的步骤，原式移项后为$3(x+2)-(x+2)^2=0$，提取公因式$(x+2)$后，剩余部分应为$3-(x+2)$，即$3-x-2$，小亮错误将减号写为加号，符号出错。正确解法需先移项，再正确提取公因式，将方程转化为两个一次方程求解即可。
(3) 两种解法都是将二次的一元二次方程转化为一次方程求解，本质是降次，体现转化的数学思想。
【解析】
(1) 小亮的解题方法是先移项，再提取公因式将方程转化为两个一次式乘积为0的形式求解，该方法为提公因式法（或因式分解法）。
(2) 小明和小亮的解题过程均错误：
① 小明错误原因：方程两边同时除以$(x+2)$时，忽略了$x+2$可能为0的情况，0不能作为除数，该操作会漏掉$x=-2$这个根；
② 小亮错误原因：提取公因式后，对$-(x+2)$去括号时符号出错，应得$-x-2$，小亮误写为$-x+2$。
正确解题过程如下：
对$3(x + 2) = (x + 2)^2$移项，得$3(x + 2) - (x + 2)^2 = 0$，
提取公因式$(x+2)$，得$(x + 2)(3 - x - 2) = 0$，
$\therefore x + 2 = 0$或$3 - x - 2 = 0$，
解得$x_1 = -2$，$x_2 = 1$。
(3) 两人的解法都是将一元二次方程降次为一元一次方程求解，体现的数学思想为转化思想（或降次）。
【答案】
(1)提公因式法(或因式分解法)
(2)小明和小亮的解题过程均错误。小明解题错误的原因是方程两边都除以$(x + 2)$时,忽略了$x + 2$可能为0;小亮解题错误的原因是提取公因式时,第二个因式中2出现符号错误。正确解得$x_1 = -2,x_2 = 1$。
(3)转化思想(或降次)
【知识点】
1.因式分解法解方程
2.等式的性质
3.提公因式法
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础易错题，重点考查因式分解法解方程的注意事项，解题时要注意不能直接除以可能为0的整式，提取公因式时要留意符号变化，避免出现漏根、计算错误的问题。
【难度系数】
0.7
(1) 观察小亮的解题步骤，他通过移项、提取公因式将二次方程转化为两个一次方程求解，对应解法为提公因式法（因式分解法）。
(2) 分析两人解题过程的正误：根据等式的性质，等式两边同时除以的数不能为0，小明直接除以整式$(x+2)$，未考虑$x+2=0$的情况，会丢失方程的根；再看小亮提取公因式的步骤，原式移项后为$3(x+2)-(x+2)^2=0$，提取公因式$(x+2)$后，剩余部分应为$3-(x+2)$，即$3-x-2$，小亮错误将减号写为加号，符号出错。正确解法需先移项，再正确提取公因式，将方程转化为两个一次方程求解即可。
(3) 两种解法都是将二次的一元二次方程转化为一次方程求解，本质是降次，体现转化的数学思想。
【解析】
(1) 小亮的解题方法是先移项，再提取公因式将方程转化为两个一次式乘积为0的形式求解，该方法为提公因式法（或因式分解法）。
(2) 小明和小亮的解题过程均错误：
① 小明错误原因：方程两边同时除以$(x+2)$时，忽略了$x+2$可能为0的情况，0不能作为除数，该操作会漏掉$x=-2$这个根；
② 小亮错误原因：提取公因式后，对$-(x+2)$去括号时符号出错，应得$-x-2$，小亮误写为$-x+2$。
正确解题过程如下：
对$3(x + 2) = (x + 2)^2$移项，得$3(x + 2) - (x + 2)^2 = 0$，
提取公因式$(x+2)$，得$(x + 2)(3 - x - 2) = 0$，
$\therefore x + 2 = 0$或$3 - x - 2 = 0$，
解得$x_1 = -2$，$x_2 = 1$。
(3) 两人的解法都是将一元二次方程降次为一元一次方程求解，体现的数学思想为转化思想（或降次）。
【答案】
(1)提公因式法(或因式分解法)
(2)小明和小亮的解题过程均错误。小明解题错误的原因是方程两边都除以$(x + 2)$时,忽略了$x + 2$可能为0;小亮解题错误的原因是提取公因式时,第二个因式中2出现符号错误。正确解得$x_1 = -2,x_2 = 1$。
(3)转化思想(或降次)
【知识点】
1.因式分解法解方程
2.等式的性质
3.提公因式法
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础易错题，重点考查因式分解法解方程的注意事项，解题时要注意不能直接除以可能为0的整式，提取公因式时要留意符号变化，避免出现漏根、计算错误的问题。
【难度系数】
0.7
6. 方程$x^2 -4x +4=0$的根是 （ ）
A.$x=2$
B.$x_1=x_2=2$
C.$x=4$
D.$x_1=x_2=4$
A.$x=2$
B.$x_1=x_2=2$
C.$x=4$
D.$x_1=x_2=4$
答案
6. B 由$x^2 -4x +4 = 0$得$(x - 2)^2 = 0$,解得$x_1 = x_2 = 2$. (当方程有两个相等的实数根时,不能写成“$x = \dots$”的形式,应写成“$x_1 = x_2 = \dots$”的形式)
解析
【分析】
本题是解一元二次方程的基础题，解题思路如下：首先观察方程左侧的代数式$x^2-4x+4$，符合完全平方公式的结构特征，可采用因式分解法求解；其次求出方程的根后，注意一元二次方程若有两个相等的实数根，需按照规范格式书写，不能只写单个根的形式，最后匹配选项选出正确答案即可。
【解析】
解：对原方程$x^2 -4x +4=0$左侧因式分解，根据完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，可得：
$(x-2)^2=0$
因此$x-2=0$，解得$x_1=x_2=2$。
一元二次方程有两个相等的实数根时，需写成$x_1=x_2=\dots$的形式，因此选项B符合要求，A书写不规范，C、D计算结果错误。
【答案】
B
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；完全平方公式；一元二次方程根的表示
【点评】
本题重点考查因式分解法的应用和一元二次方程根的书写规范，整体难度较低，只要熟练掌握完全平方公式，牢记一元二次方程根的书写规则，就能轻松做对，是一元二次方程解法部分的常规基础题。
【难度系数】
0.85
本题是解一元二次方程的基础题，解题思路如下：首先观察方程左侧的代数式$x^2-4x+4$，符合完全平方公式的结构特征，可采用因式分解法求解；其次求出方程的根后，注意一元二次方程若有两个相等的实数根，需按照规范格式书写，不能只写单个根的形式，最后匹配选项选出正确答案即可。
【解析】
解：对原方程$x^2 -4x +4=0$左侧因式分解，根据完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，可得：
$(x-2)^2=0$
因此$x-2=0$，解得$x_1=x_2=2$。
一元二次方程有两个相等的实数根时，需写成$x_1=x_2=\dots$的形式，因此选项B符合要求，A书写不规范，C、D计算结果错误。
【答案】
B
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；完全平方公式；一元二次方程根的表示
【点评】
本题重点考查因式分解法的应用和一元二次方程根的书写规范，整体难度较低，只要熟练掌握完全平方公式，牢记一元二次方程根的书写规则，就能轻松做对，是一元二次方程解法部分的常规基础题。
【难度系数】
0.85
7. 已知$4(x+2)^2 -9(2x-1)^2=0$，先用
平方差
公式分解为$[2(x+2)+3(2x-1)][2(x+2)-3(2x-1)]=0$，再转化为两个一元一次方程$8x + 1 = 0,-4x + 7 = 0$
，从而求得该方程的两个根分别为$x_1 = -\frac{1}{8},x_2 = \frac{7}{4}$
。答案
7. 平方差 $8x + 1 = 0,-4x + 7 = 0$ $x_1 = -\frac{1}{8},x_2 = \frac{7}{4}$
解析
【分析】
首先观察方程左边的结构：$4(x+2)^2$是$[2(x+2)]^2$，$9(2x-1)^2$是$[3(2x-1)]^2$，整体符合“两个平方项相减”的形式，对应平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，因此第一步用平方差公式因式分解。因式分解后得到两个整式乘积为0，根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0”，可将二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解这两个一次方程即可得到原方程的根。
【解析】
1. 识别方程左边的形式：
$4(x+2)^2 -9(2x-1)^2 = [2(x+2)]^2 - [3(2x-1)]^2$，符合平方差公式的结构，因此用平方差公式分解得：
$[2(x+2)+3(2x-1)][2(x+2)-3(2x-1)]=0$
2. 转化为一元一次方程：
根据乘积为0的性质，得两个一次方程：
① $2(x+2)+3(2x-1)=0$，展开化简：$2x+4+6x-3=0$，即$8x+1=0$
② $2(x+2)-3(2x-1)=0$，展开化简：$2x+4-6x+3=0$，即$-4x+7=0$
3. 求解一次方程：
解$8x+1=0$，得$x=-\frac{1}{8}$；解$-4x+7=0$，得$x=\frac{7}{4}$
【答案】
平方差；$8x + 1 = 0,-4x + 7 = 0$；$x_1 = -\frac{1}{8},x_2 = \frac{7}{4}$
【知识点】
平方差公式；因式分解法解一元二次方程；解一元一次方程
【点评】
本题考查因式分解法解一元二次方程的基础应用，解题关键是准确识别平方差公式的结构特征，将高次方程转化为低次方程求解，属于因式分解解方程的常规基础题。
【难度系数】
0.8
首先观察方程左边的结构：$4(x+2)^2$是$[2(x+2)]^2$，$9(2x-1)^2$是$[3(2x-1)]^2$，整体符合“两个平方项相减”的形式，对应平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，因此第一步用平方差公式因式分解。因式分解后得到两个整式乘积为0，根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0”，可将二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解这两个一次方程即可得到原方程的根。
【解析】
1. 识别方程左边的形式：
$4(x+2)^2 -9(2x-1)^2 = [2(x+2)]^2 - [3(2x-1)]^2$，符合平方差公式的结构，因此用平方差公式分解得：
$[2(x+2)+3(2x-1)][2(x+2)-3(2x-1)]=0$
2. 转化为一元一次方程：
根据乘积为0的性质，得两个一次方程：
① $2(x+2)+3(2x-1)=0$，展开化简：$2x+4+6x-3=0$，即$8x+1=0$
② $2(x+2)-3(2x-1)=0$，展开化简：$2x+4-6x+3=0$，即$-4x+7=0$
3. 求解一次方程：
解$8x+1=0$，得$x=-\frac{1}{8}$；解$-4x+7=0$，得$x=\frac{7}{4}$
【答案】
平方差；$8x + 1 = 0,-4x + 7 = 0$；$x_1 = -\frac{1}{8},x_2 = \frac{7}{4}$
【知识点】
平方差公式；因式分解法解一元二次方程；解一元一次方程
【点评】
本题考查因式分解法解一元二次方程的基础应用，解题关键是准确识别平方差公式的结构特征，将高次方程转化为低次方程求解，属于因式分解解方程的常规基础题。
【难度系数】
0.8
8. 教材练习变式 选用适当的方法解下列方程：
(1) $4(x + 3)^2 - (x - 2)^2 = 0$；
(2) $(2x + 1)^2 + 4(2x + 1) + 4 = 0$；
(3) $(x - 2)(x + 1) + 2 = 0$。
(1) $4(x + 3)^2 - (x - 2)^2 = 0$；
(2) $(2x + 1)^2 + 4(2x + 1) + 4 = 0$；
(3) $(x - 2)(x + 1) + 2 = 0$。
答案
8. 解:(1)直接开平方法 $4(x + 3)^2 - (x - 2)^2 = 0$,
移项,得$4(x + 3)^2 = (x - 2)^2$,
$\therefore 2(x + 3) = x - 2$或$2(x + 3) = -(x - 2)$,
$\therefore x_1 = -\frac{4}{3},x_2 = -8$.
因式分解法 $4(x + 3)^2 - (x - 2)^2 = 0$可化为$[2(x + 3)]^2 - (x - 2)^2 = 0$,
方程左边分解因式,
得$[2(x + 3) + (x - 2)][2(x + 3) - (x - 2)] = 0$,
即$(3x + 4)(x + 8) = 0$,
$\therefore 3x + 4 = 0$或$x + 8 = 0$,得$x_1 = -\frac{4}{3},x_2 = -8$.
(2)$(2x + 1)^2 + 4(2x + 1) + 4 = 0$,
$4x^2 + 4x + 1 + 8x + 4 + 4 = 0$,
$4x^2 + 12x + 9 = 0$,分解因式,得$(2x + 3)^2 = 0$,
解得$x_1 = x_2 = -\frac{3}{2}$.
或将$(2x + 1)^2 + 4(2x + 1) + 4 = 0$的左边分解因式,得$[(2x + 1) + 2]^2 = 0$,即$(2x + 3)^2 = 0$,
$\therefore 2x + 3 = 0$,得$x_1 = x_2 = -\frac{3}{2}$.
(3)$(x - 2)(x + 1) + 2 = 0$可化为$x^2 + x - 2x - 2 + 2 = 0$,
整理,得$x^2 - x = 0$,提取公因式,得$x(x - 1) = 0$,
则$x = 0$或$x - 1 = 0$,解得$x_1 = 0,x_2 = 1$.
移项,得$4(x + 3)^2 = (x - 2)^2$,
$\therefore 2(x + 3) = x - 2$或$2(x + 3) = -(x - 2)$,
$\therefore x_1 = -\frac{4}{3},x_2 = -8$.
因式分解法 $4(x + 3)^2 - (x - 2)^2 = 0$可化为$[2(x + 3)]^2 - (x - 2)^2 = 0$,
方程左边分解因式,
得$[2(x + 3) + (x - 2)][2(x + 3) - (x - 2)] = 0$,
即$(3x + 4)(x + 8) = 0$,
$\therefore 3x + 4 = 0$或$x + 8 = 0$,得$x_1 = -\frac{4}{3},x_2 = -8$.
(2)$(2x + 1)^2 + 4(2x + 1) + 4 = 0$,
$4x^2 + 4x + 1 + 8x + 4 + 4 = 0$,
$4x^2 + 12x + 9 = 0$,分解因式,得$(2x + 3)^2 = 0$,
解得$x_1 = x_2 = -\frac{3}{2}$.
或将$(2x + 1)^2 + 4(2x + 1) + 4 = 0$的左边分解因式,得$[(2x + 1) + 2]^2 = 0$,即$(2x + 3)^2 = 0$,
$\therefore 2x + 3 = 0$,得$x_1 = x_2 = -\frac{3}{2}$.
(3)$(x - 2)(x + 1) + 2 = 0$可化为$x^2 + x - 2x - 2 + 2 = 0$,
整理,得$x^2 - x = 0$,提取公因式,得$x(x - 1) = 0$,
则$x = 0$或$x - 1 = 0$,解得$x_1 = 0,x_2 = 1$.
解析
【分析】
解一元二次方程时优先观察方程结构，选择简便方法：(1)方程左边是两个平方的差，符合平方差公式结构，既可以移项后直接开平方，也可以用平方差公式因式分解求解，避免展开后计算复杂；(2)方程左边将$(2x+1)$看作整体，符合完全平方公式的结构，用整体法因式分解最简便，也可展开整理后再因式分解；(3)无特殊结构，先将左边展开整理为一般形式，再观察是否可提公因式因式分解求解。
【解析】
(1) 方法一：直接开平方法
移项，得$4(x + 3)^2 = (x - 2)^2$
开平方得$2(x + 3) = x - 2$或$2(x + 3) = -(x - 2)$
解$2(x + 3) = x - 2$，得$x=-8$；解$2(x + 3) = -(x - 2)$，得$x=-\frac{4}{3}$。
方法二：因式分解法
原方程可化为$[2(x + 3)]^2 - (x - 2)^2 = 0$
左边因式分解得$[2(x + 3) + (x - 2)][2(x + 3) - (x - 2)] = 0$
整理得$(3x + 4)(x + 8) = 0$
$\therefore 3x + 4 = 0$或$x + 8 = 0$，解得$x_1=-\frac{4}{3},x_2=-8$。
(2) 方法一：整体因式分解法
将$(2x+1)$看作整体，左边因式分解得$[(2x + 1) + 2]^2 = 0$
即$(2x + 3)^2 = 0$
$\therefore 2x + 3 = 0$，解得$x_1=x_2=-\frac{3}{2}$。
方法二：展开整理法
原方程展开得$4x^2 + 4x + 1 + 8x + 4 + 4 = 0$
整理得$4x^2 + 12x + 9 = 0$，因式分解得$(2x + 3)^2 = 0$
解得$x_1=x_2=-\frac{3}{2}$。
(3) 原方程左边展开得$x^2 + x - 2x - 2 + 2 = 0$
整理得$x^2 - x = 0$，提取公因式得$x(x - 1) = 0$
$\therefore x = 0$或$x - 1 = 0$，解得$x_1=0,x_2=1$。
【答案】
(1) $x_1=-\frac{4}{3},x_2=-8$；(2) $x_1=x_2=-\frac{3}{2}$；(3) $x_1=0,x_2=1$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程，平方差公式，完全平方公式
【点评】
本题属于一元二次方程解法的基础题，重点考查根据方程特征灵活选择简便解法的能力，熟练掌握因式分解的相关公式能有效简化计算，提升解题正确率和速度。
【难度系数】
0.8
解一元二次方程时优先观察方程结构，选择简便方法：(1)方程左边是两个平方的差，符合平方差公式结构，既可以移项后直接开平方，也可以用平方差公式因式分解求解，避免展开后计算复杂；(2)方程左边将$(2x+1)$看作整体，符合完全平方公式的结构，用整体法因式分解最简便，也可展开整理后再因式分解；(3)无特殊结构，先将左边展开整理为一般形式，再观察是否可提公因式因式分解求解。
【解析】
(1) 方法一：直接开平方法
移项，得$4(x + 3)^2 = (x - 2)^2$
开平方得$2(x + 3) = x - 2$或$2(x + 3) = -(x - 2)$
解$2(x + 3) = x - 2$，得$x=-8$；解$2(x + 3) = -(x - 2)$，得$x=-\frac{4}{3}$。
方法二：因式分解法
原方程可化为$[2(x + 3)]^2 - (x - 2)^2 = 0$
左边因式分解得$[2(x + 3) + (x - 2)][2(x + 3) - (x - 2)] = 0$
整理得$(3x + 4)(x + 8) = 0$
$\therefore 3x + 4 = 0$或$x + 8 = 0$，解得$x_1=-\frac{4}{3},x_2=-8$。
(2) 方法一：整体因式分解法
将$(2x+1)$看作整体，左边因式分解得$[(2x + 1) + 2]^2 = 0$
即$(2x + 3)^2 = 0$
$\therefore 2x + 3 = 0$，解得$x_1=x_2=-\frac{3}{2}$。
方法二：展开整理法
原方程展开得$4x^2 + 4x + 1 + 8x + 4 + 4 = 0$
整理得$4x^2 + 12x + 9 = 0$，因式分解得$(2x + 3)^2 = 0$
解得$x_1=x_2=-\frac{3}{2}$。
(3) 原方程左边展开得$x^2 + x - 2x - 2 + 2 = 0$
整理得$x^2 - x = 0$，提取公因式得$x(x - 1) = 0$
$\therefore x = 0$或$x - 1 = 0$，解得$x_1=0,x_2=1$。
【答案】
(1) $x_1=-\frac{4}{3},x_2=-8$；(2) $x_1=x_2=-\frac{3}{2}$；(3) $x_1=0,x_2=1$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程，平方差公式，完全平方公式
【点评】
本题属于一元二次方程解法的基础题，重点考查根据方程特征灵活选择简便解法的能力，熟练掌握因式分解的相关公式能有效简化计算，提升解题正确率和速度。
【难度系数】
0.8
