11 一平面内共有10条直线，它们之间的位置关系未知，这10条直线最多有个交点。

11. 45 解析:2条直线相交有1个交点,3条直线相交最多有1+2=3(个)交点,4条直线相交最多有1+2+3=6(个)交点,…,10条直线相交最多有1+2+3+4+5+6+7+8+9=45(个)交点.

【分析】
要得到直线最多的交点数，首先明确两个前提：任意两条直线不平行（平行则无交点，会减少总交点数）、任意三条直线不共点（多条直线交于同一点会减少总交点数）。接着我们从少量直线的交点数找规律：2条直线最多1个交点；每新增1条直线，它会和之前所有的直线各产生1个新交点，因此新增交点数等于之前的直线数量，按照这个规律就能推出10条直线的最多交点数。
【解析】
要使10条直线的交点数最多，需满足任意两条直线不平行，且任意三条直线不相交于同一点。
2条直线相交最多有1个交点；
3条直线相交最多有1+2=3个交点；
4条直线相交最多有1+2+3=6个交点；
……
以此类推，10条直线相交最多的交点数为：
$1+2+3+4+5+6+7+8+9=45$
【答案】
45
【知识点】
相交线交点计数，规律探究，有理数加法
【点评】
本题是典型的规律探究类题目，解题的关键是先确定交点最多的约束条件，再通过从特殊到一般的归纳思路推导规律，最后计算得到结果，能有效考查学生的归纳推理能力。
【难度系数】
0.7

12已知线段$AB=10$，点$C$在直线$AB$上，且$AC:BC=3:2$，则线段$BC$的长为。

12. 4 或 20 解析:因为 $AC:BC=3:2$,所以设 $AC=3x$,$BC=2x$,$x＞0$. 当点 $C$ 在线段 $AB$ 上时,$AC+BC=AB$,所以 $3x+2x=10$,解得 $x=2$. 所以 $BC=2x=4$. 当点 $C$ 在线段 $AB$ 的延长线上时,$AC-BC=AB$,所以 $3x-2x=10$,解得 $x=10$. 所以 $BC=2x=20$. 综上所述,线段 $BC$ 的长为 4 或 20.

【分析】
本题解题的关键是注意点C在直线AB上，而非仅在线段AB上，因此需要分两种情况讨论点C的位置。首先根据AC与BC的比例关系设参数表示两条线段的长度，再结合不同位置下线段的和差关系列方程求解，即可得到BC的长度。
【解析】
解：已知$AC:BC=3:2$，设$AC=3x$，$BC=2x$（$x＞0$），分两种情况讨论：
① 当点C在线段AB上时，线段AC与BC的和等于AB的长度，即：
$AC+BC=AB$
代入得：$3x+2x=10$
合并同类项得$5x=10$，解得$x=2$
此时$BC=2x=2×2=4$
② 当点C在线段AB的延长线上时，线段AC与BC的差等于AB的长度，即：
$AC-BC=AB$
代入得：$3x-2x=10$
解得$x=10$
此时$BC=2x=2×10=20$
综上所述，线段BC的长为4或20。
【答案】
4或20
【知识点】
线段和差计算，分类讨论思想，比例的应用
【点评】
本题易错点是忽略点C在线段AB延长线上的情况，解题时要注意区分“直线”和“线段”的差异，涉及点在直线上的线段计算问题，要全面考虑点的所有可能位置，避免漏解。
【难度系数】
0.6

三、解答题
13 如图所示为一张长方形纸片,长方形的长为10 cm,宽为6 cm.若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周,得到一个几何体.
(1) 这个几何体的名称是,这个现象用数学知识解释为(选填“点动成线”“线动成面”或“面动成体”);
(2) 求得到的这个几何体的体积(结果保留π).

13. (1) 圆柱 面动成体 (2) 情况①,绕长方形的宽所在直线旋转一周:$V=π×10^2×6=600π(\mathrm{cm}^3)$. 情况②,绕长方形的长所在直线旋转一周:$V=π×6^2×10=360π(\mathrm{cm}^3)$. 综上所述,得到的这个几何体的体积是 $600π\ \mathrm{cm}^3$ 或 $360π\ \mathrm{cm}^3$.

【分析】
(1) 首先明确平面图形旋转形成立体图形的原理：长方形是平面图形，绕它的一条边旋转后会形成立体图形，符合“面动成体”的几何规律，长方形旋转后得到的立体图形是圆柱。
(2) 计算体积时，题目没有指定绕哪条边旋转，因此需要分两种情况讨论：第一种是绕宽所在直线旋转，此时宽为圆柱的高，长为圆柱的底面半径；第二种是绕长所在直线旋转，此时长为圆柱的高，宽为圆柱的底面半径，再分别代入圆柱体积公式计算即可。
【解析】
(1) 长方形纸片绕一边所在直线旋转一周，得到的几何体是圆柱，平面图形旋转得到立体图形的现象对应的数学知识为面动成体。
(2) 分两种情况计算体积：
① 若绕长方形的宽所在直线旋转一周：此时圆柱的底面半径$r=10\mathrm{cm}$，高$h=6\mathrm{cm}$，
根据圆柱体积公式$V=π r^2 h$，代入得$V=π×10^2×6=600π(\mathrm{cm}^3)$。
② 若绕长方形的长所在直线旋转一周：此时圆柱的底面半径$r=6\mathrm{cm}$，高$h=10\mathrm{cm}$，
代入体积公式得$V=π×6^2×10=360π(\mathrm{cm}^3)$。
综上，得到的几何体的体积为$600π\mathrm{cm}^3$或$360π\mathrm{cm}^3$。
【答案】
(1) 圆柱；面动成体
(2) $600π\ \mathrm{cm}^3$或$360π\ \mathrm{cm}^3$
【知识点】
面动成体；圆柱体积计算；分类讨论思想
【点评】
本题结合旋转操作考查立体几何的基础概念和体积计算，解题时要注意题干没有指定旋转轴时，需全面考虑所有可能的旋转情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7

14 如图,已知线段$AB=2\ \mathrm{cm}$.
(1) 尺规作图:反向延长线段AB到点C,使$AC=2AB$;
(2) 在(1)的条件下,设D是AB的中点,E是AC的中点,求DE的长.

14. (1) 如图①所示

(2) 因为 $AB=2\ \mathrm{cm}$,$AC=2AB$,所以 $AC=4\ \mathrm{cm}$. 如图②,因为 D 是 AB 的中点,E 是 AC 的中点,所以 $AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×2=1(\mathrm{cm})$,$AE=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×4=2(\mathrm{cm})$. 所以 $DE=AE+AD=2+1=3(\mathrm{cm})$.

【分析】
（1）作图部分：首先明确要求是反向延长AB，即沿BA的方向延长射线，再用尺规截取长度为2AB的线段AC：先用圆规量取AB的长度，在BA的延长线上从A点开始连续截取2段与AB等长的线段，得到的端点即为点C，满足AC=2AB。
（2）计算部分：先根据已知的AB长度和AC与AB的数量关系求出AC的长度；再利用线段中点的性质，即中点将线段分为长度相等的两段，分别求出AE（E为AC中点）和AD（D为AB中点）的长度；最后根据E、A、D三点的位置关系，DE的长度等于AE与AD的长度之和，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
(1) 作图步骤：① 从点A出发，沿BA方向作AB的反向延长线；② 将圆规两脚张开至与AB长度相等，以A为圆心、AB长为半径在反向延长线上画弧，与延长线交于一点，再以该点为圆心、AB长为半径画弧，与延长线交于点C，此时AC=2AB，即为所求。
(2) 解：已知$AB=2\ \mathrm{cm}$，$AC=2AB$，
所以 $AC=2×2=4\ \mathrm{cm}$。
因为D是AB的中点，根据线段中点的定义，
所以 $AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×2=1\ \mathrm{cm}$。
又因为E是AC的中点，同理可得
$AE=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×4=2\ \mathrm{cm}$。
由点的位置可知，E、A、D在同一直线上，且A在E和D之间，
所以 $DE=AE+AD=2+1=3\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) 如图①所示

(2) $DE$的长为$3\ \mathrm{cm}$
【知识点】
尺规作图作线段；线段中点的性质；线段的和差计算
【点评】
本题属于基础题型，作图部分需要注意“反向延长AB”的方向要求，计算部分需要准确理解线段中点的概念，理清各线段的位置和数量关系即可顺利解答。
【难度系数】
0.8

15 如图，P是线段AB上一点，AB=12 cm，C，D两点分别从点P，B出发以1 cm/s，2 cm/s的速度沿直线AB向左运动（点C在线段AP上，点D在线段BP上），运动的时间为t s.
（1）当t=2时，PD=2AC，AP的长为；
（2）若点C，D运动到任一时刻时，总有PD=2AC，请求出AP的长；
（3）在（2）的条件下，若Q是直线AB上一点，且AQ−BQ=PQ，求PQ的长.

15. (1) 4 cm 解析:当 $t=2$ 时,$PC=1×2=2(\mathrm{cm})$,$BD=2×2=4(\mathrm{cm})$. 因为 $PD=2AC$,$AC+PC+PD+BD=AB$,所以 $AC+2+2AC+4=12$. 所以 $AC=2\ \mathrm{cm}$. 所以 $AP=AC+PC=2+2=4(\mathrm{cm})$.
(2) 由题意,得 $PC=t\ \mathrm{cm}$,$BD=2t\ \mathrm{cm}$. 因为 $PD=2AC$,$AC+PC+PD+BD=AB$,所以 $3AC=AB-PC-BD=(12-t-2t)\mathrm{cm}$. 所以 $AC=(4-t)\mathrm{cm}$. 所以 $AP=AC+PC=4-t+t=4(\mathrm{cm})$
(3) 如图①,当点 Q 在线段 AB 上时,因为 $AQ-BQ=PQ$,$AP=4\ \mathrm{cm}$,所以 $AQ=BQ+PQ=AB-AP=12-4=8(\mathrm{cm})$. 所以 $PQ=AQ-AP=8-4=4(\mathrm{cm})$. 如图②,当点 Q 在 AB 的延长线上时,因为 $AQ-BQ=PQ$,所以 $AQ=BQ+PQ=AB+BQ$. 所以 $PQ=AB=12\ \mathrm{cm}$. 综上所述,$PQ$ 的长为 4 cm 或 12 cm.

【分析】
（1）先根据运动速度和时间算出t=2时PC、BD的长度，再结合PD=2AC，将线段AB拆分为AC、PC、PD、BD四段的和，代入已知长度列方程求出AC，最后根据AP=AC+PC计算即可得解。
（2）用含t的代数式分别表示PC、BD，同理结合PD=2AC，将AB的长度用AC、t表示，求出AC的代数式，再计算AP=AC+PC，化简后t抵消即可得到AP的定值。
（3）分两种情况讨论：①点Q在线段AB上；②点Q在AB的延长线上，分别结合AQ-BQ=PQ的条件，利用线段和差关系推导PQ的长度，注意不要漏解。
【解析】
(1) 当$t=2$时，根据运动速度可得：
$PC=1×2=2(\mathrm{cm})$，$BD=2×2=4(\mathrm{cm})$。
已知$PD=2AC$，且$AC+PC+PD+BD=AB=12\mathrm{cm}$，
代入得：$AC+2+2AC+4=12$，
解得$AC=2\ \mathrm{cm}$，
因此$AP=AC+PC=2+2=4(\mathrm{cm})$。
(2) 运动t秒时，$PC=t\ \mathrm{cm}$，$BD=2t\ \mathrm{cm}$，
由$PD=2AC$，且$AC+PC+PD+BD=AB$，
可得$AC + t + 2AC + 2t =12$，即$3AC=12-3t$，
解得$AC=(4-t)\mathrm{cm}$，
因此$AP=AC+PC=(4-t)+t=4(\mathrm{cm})$。
(3) 分两种情况讨论：
① 如图①，当点Q在线段AB上时：
因为$AQ-BQ=PQ$，所以$AQ=BQ+PQ$，
又$AP=4\ \mathrm{cm}$，$AB=12\ \mathrm{cm}$，可得$AQ=AP+PQ$，
因此$PQ=AQ-AP=8-4=4(\mathrm{cm})$。
② 如图②，当点Q在AB的延长线上时：
因为$AQ-BQ=PQ$，且$AQ=AB+BQ$，
代入得$(AB+BQ)-BQ=PQ$，因此$PQ=AB=12\ \mathrm{cm}$。
综上，PQ的长为4 cm或12 cm。
【答案】
(1) $\boldsymbol{4\ \mathrm{cm}}$
(2) $\boldsymbol{4\ \mathrm{cm}}$
(3) $\boldsymbol{4\ \mathrm{cm}}$或$\boldsymbol{12\ \mathrm{cm}}$

【知识点】
线段和差计算，动点问题，分类讨论
【点评】
本题围绕线段动点考查线段数量关系的应用，解题时需结合运动规律表示线段长度，利用已知等量关系列等式求解，第三问需要全面考虑点的位置，避免漏解，能有效锻炼逻辑思维的严谨性。
【难度系数】
0.6