登录
1. 下列各式中是二次根式的是（
A.2
B.$\sqrt[3]{4}$
C.$\sqrt{2}$
D.$\sqrt{-3}$
C
）A.2
B.$\sqrt[3]{4}$
C.$\sqrt{2}$
D.$\sqrt{-3}$
答案
C
解析
【分析】
要判断一个式子是不是二次根式，首先要明确二次根式的两个判定条件：①含有二次根号，根指数为2（通常省略不写）；②被开方数是非负数（即大于等于0），两个条件必须同时满足。解题时只需用这两个条件逐一排查每个选项即可得到正确答案。
【解析】
根据二次根式的定义：形如$\sqrt{a}$（$a≥0$）的式子叫做二次根式，逐一分析选项：
A. 2是整数，不含二次根号，不是二次根式，不符合要求；
B. $\sqrt[3]{4}$的根指数是3，属于三次根式，不是二次根式，不符合要求；
C. $\sqrt{2}$的根指数为2，且被开方数2＞0，满足二次根式的所有条件，是二次根式，符合要求；
D. $\sqrt{-3}$的被开方数是-3，为负数，二次根号下负数无意义，不是二次根式，不符合要求。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的定义；二次根式有意义的条件
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是对二次根式判定规则的记忆和运用，掌握两个判定条件即可快速解题，属于基础易得分题型。
【难度系数】
0.9
要判断一个式子是不是二次根式，首先要明确二次根式的两个判定条件：①含有二次根号，根指数为2（通常省略不写）；②被开方数是非负数（即大于等于0），两个条件必须同时满足。解题时只需用这两个条件逐一排查每个选项即可得到正确答案。
【解析】
根据二次根式的定义：形如$\sqrt{a}$（$a≥0$）的式子叫做二次根式，逐一分析选项：
A. 2是整数，不含二次根号，不是二次根式，不符合要求；
B. $\sqrt[3]{4}$的根指数是3，属于三次根式，不是二次根式，不符合要求；
C. $\sqrt{2}$的根指数为2，且被开方数2＞0，满足二次根式的所有条件，是二次根式，符合要求；
D. $\sqrt{-3}$的被开方数是-3，为负数，二次根号下负数无意义，不是二次根式，不符合要求。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的定义；二次根式有意义的条件
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是对二次根式判定规则的记忆和运用，掌握两个判定条件即可快速解题，属于基础易得分题型。
【难度系数】
0.9
2. 下列各式中一定是二次根式的是 （
A.$\sqrt{-3}$
B.$\sqrt{x}$
C.$\sqrt{x^2 +1}$
D.$\sqrt{x-1}$
C
）A.$\sqrt{-3}$
B.$\sqrt{x}$
C.$\sqrt{x^2 +1}$
D.$\sqrt{x-1}$
答案
C
解析
【分析】要判断式子是否为二次根式，核心依据是二次根式的定义：形如$\sqrt{a}$（$a≥ 0$）的式子叫做二次根式，判断关键是看被开方数是否恒为非负数：若存在取值让被开方数为负，则式子不一定是二次根式；只有被开方数无论变量取何实数值都非负，才一定是二次根式。接下来我们结合平方的非负性逐个分析选项即可。
【解析】根据二次根式被开方数必须为非负数的要求，逐一判断：
A. 被开方数为$-3＜0$，式子无意义，不是二次根式；
B. 当$x＜0$时，被开方数$x＜0$，$\sqrt{x}$无意义，因此不一定是二次根式；
C. 对任意实数$x$，都有$x^2≥ 0$，因此$x^2+1≥ 1＞0$，被开方数恒为正数，所以$\sqrt{x^2+1}$一定是二次根式；
D. 当$x＜1$时，被开方数$x-1＜0$，$\sqrt{x-1}$无意义，因此不一定是二次根式。
【答案】C
【知识点】二次根式的定义；平方的非负性
【点评】本题属于二次根式判定的基础题，解题核心是牢记二次根式被开方数非负的要求，结合代数式的取值范围分析即可。
【难度系数】0.8
【解析】根据二次根式被开方数必须为非负数的要求，逐一判断：
A. 被开方数为$-3＜0$，式子无意义，不是二次根式；
B. 当$x＜0$时，被开方数$x＜0$，$\sqrt{x}$无意义，因此不一定是二次根式；
C. 对任意实数$x$，都有$x^2≥ 0$，因此$x^2+1≥ 1＞0$，被开方数恒为正数，所以$\sqrt{x^2+1}$一定是二次根式；
D. 当$x＜1$时，被开方数$x-1＜0$，$\sqrt{x-1}$无意义，因此不一定是二次根式。
【答案】C
【知识点】二次根式的定义；平方的非负性
【点评】本题属于二次根式判定的基础题，解题核心是牢记二次根式被开方数非负的要求，结合代数式的取值范围分析即可。
【难度系数】0.8
3.(洛阳市洛宁县期末)使二次根式$\sqrt{2x-4}$有意义的$x$的取值范围是（
A.$x≥2$
B.$x≤2$
C.$x＞2$
D.$x＜2$
A
）A.$x≥2$
B.$x≤2$
C.$x＞2$
D.$x＜2$
答案
A
解析
【分析】
解决本题首先要明确二次根式有意义的核心条件：被开方数必须是非负数（即大于等于0）。解题思路为：先定位二次根式的被开方数，令其大于等于0列出不等式，再求解不等式得到x的取值范围，最后对应选项选出答案即可。
【解析】
要使二次根式$\sqrt{2x-4}$有意义，需满足被开方数为非负数，因此列不等式：
$2x - 4 ≥ 0$
移项可得：$2x ≥ 4$
不等式两边同时除以2，解得：$x ≥ 2$
因此符合要求的选项为A。
【答案】
A
【知识点】
二次根式有意义的条件，解一元一次不等式
【点评】
本题是基础题型，核心考查二次根式有意义的判定规则，只要牢记被开方数非负的要求，正确求解简单一元一次不等式即可得分。
【难度系数】
0.9
解决本题首先要明确二次根式有意义的核心条件：被开方数必须是非负数（即大于等于0）。解题思路为：先定位二次根式的被开方数，令其大于等于0列出不等式，再求解不等式得到x的取值范围，最后对应选项选出答案即可。
【解析】
要使二次根式$\sqrt{2x-4}$有意义，需满足被开方数为非负数，因此列不等式：
$2x - 4 ≥ 0$
移项可得：$2x ≥ 4$
不等式两边同时除以2，解得：$x ≥ 2$
因此符合要求的选项为A。
【答案】
A
【知识点】
二次根式有意义的条件，解一元一次不等式
【点评】
本题是基础题型，核心考查二次根式有意义的判定规则，只要牢记被开方数非负的要求，正确求解简单一元一次不等式即可得分。
【难度系数】
0.9
4. 二次根式$\sqrt{1-x}$在实数范围内有意义，则实数$x$的取值范围在数轴上表示为（
C
）答案
C
解析
【分析】
要确定二次根式$\sqrt{1-x}$有意义时$x$的取值范围，首先需明确二次根式有意义的核心条件：被开方数必须是非负数。据此列出不等式求解$x$的范围，再根据数轴表示不等式解集的规则（含等号用实心点，不含等号用空心点，小于向左、大于向右）匹配对应选项即可。
【解析】
要使二次根式$\sqrt{1-x}$在实数范围内有意义，需满足被开方数非负，即：
$1 - x ≥ 0$
移项得：$-x ≥ -1$
不等式两边同时乘以$-1$，不等号方向改变，解得：
$x ≤ 1$
将$x ≤ 1$表示在数轴上：在点1处画实心圆点（包含1这个取值），向左画射线表示所有小于等于1的数，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二次根式有意义的条件；不等式解集的数轴表示
【点评】
本题是基础题型，重点考察二次根式的成立条件和数轴表示解集的规范，易错点为解含负系数的不等式时忽略不等号方向改变，以及混淆实心点和空心点的使用，掌握基础规则即可轻松作答。
【难度系数】
0.8
要确定二次根式$\sqrt{1-x}$有意义时$x$的取值范围，首先需明确二次根式有意义的核心条件：被开方数必须是非负数。据此列出不等式求解$x$的范围，再根据数轴表示不等式解集的规则（含等号用实心点，不含等号用空心点，小于向左、大于向右）匹配对应选项即可。
【解析】
要使二次根式$\sqrt{1-x}$在实数范围内有意义，需满足被开方数非负，即：
$1 - x ≥ 0$
移项得：$-x ≥ -1$
不等式两边同时乘以$-1$，不等号方向改变，解得：
$x ≤ 1$
将$x ≤ 1$表示在数轴上：在点1处画实心圆点（包含1这个取值），向左画射线表示所有小于等于1的数，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二次根式有意义的条件；不等式解集的数轴表示
【点评】
本题是基础题型，重点考察二次根式的成立条件和数轴表示解集的规范，易错点为解含负系数的不等式时忽略不等号方向改变，以及混淆实心点和空心点的使用，掌握基础规则即可轻松作答。
【难度系数】
0.8
5.(广州市中考)要使代数式$\frac{\sqrt{x+1}}{x-3}$有意义，则x的取值范围是
$x≥-1$且$x≠3$
。答案
$x≥-1$且$x≠3$
解析
【分析】
要使含二次根式的分式有意义，需同时满足两个限制条件：一是二次根式的被开方数为非负数，二是分式的分母不为0。我们需要分别根据这两个条件列出关于x的不等式，求解后取两个解集的公共部分，就是x的取值范围。
【解析】
要使代数式$\frac{\sqrt{x+1}}{x-3}$有意义，需同时满足：
1. 二次根式部分有意义：被开方数$x+1≥0$，解这个不等式得$x≥-1$；
2. 分式部分有意义：分母$x-3≠0$，解得$x≠3$。
同时满足上述两个条件，因此x的取值范围是$x≥-1$且$x≠3$。
【答案】
$x≥-1$且$x≠3$
【知识点】
二次根式有意义的条件；分式有意义的条件
【点评】
本题是代数式有意义的常考基础题型，解题时需注意如果代数式同时包含多个类型的式子，要分别找出每个类型式子对应的限制条件，最终取所有条件的公共解集，容易出现的错误是遗漏分母不为0的限制。
【难度系数】
0.75
要使含二次根式的分式有意义，需同时满足两个限制条件：一是二次根式的被开方数为非负数，二是分式的分母不为0。我们需要分别根据这两个条件列出关于x的不等式，求解后取两个解集的公共部分，就是x的取值范围。
【解析】
要使代数式$\frac{\sqrt{x+1}}{x-3}$有意义，需同时满足：
1. 二次根式部分有意义：被开方数$x+1≥0$，解这个不等式得$x≥-1$；
2. 分式部分有意义：分母$x-3≠0$，解得$x≠3$。
同时满足上述两个条件，因此x的取值范围是$x≥-1$且$x≠3$。
【答案】
$x≥-1$且$x≠3$
【知识点】
二次根式有意义的条件；分式有意义的条件
【点评】
本题是代数式有意义的常考基础题型，解题时需注意如果代数式同时包含多个类型的式子，要分别找出每个类型式子对应的限制条件，最终取所有条件的公共解集，容易出现的错误是遗漏分母不为0的限制。
【难度系数】
0.75
6. 当$x$满足什么条件时，下列二次根式有意义？
(1) $\sqrt{2x - 8}$；
(2) $\sqrt{\dfrac{5}{1 - x}}$；
(3) $\sqrt{x - 3} + \sqrt{4 - x}$；
(4) $\sqrt{x^2 + 9}$。
(1) $\sqrt{2x - 8}$；
(2) $\sqrt{\dfrac{5}{1 - x}}$；
(3) $\sqrt{x - 3} + \sqrt{4 - x}$；
(4) $\sqrt{x^2 + 9}$。
答案
(1)解:$x≥4$。
(2)解:$x＜1$。
(3)解:$3≤x≤4$。
(4)解:$x$为任意实数。
(2)解:$x＜1$。
(3)解:$3≤x≤4$。
(4)解:$x$为任意实数。
解析
【分析】
要判断二次根式有意义的条件，核心依据是：二次根式的被开方数必须是非负数；若被开方数是分式，还需同时满足分母不为0。解题时，先根据每个式子的结构列出对应的不等式（组），再求解不等式（组）即可得到x的取值范围。
【解析】
(1) 对于$\sqrt{2x - 8}$，要使其有意义，被开方数需满足：
$2x - 8 ≥ 0$
移项得$2x ≥ 8$，解得$x ≥ 4$。
(2) 对于$\sqrt{\dfrac{5}{1 - x}}$，要使其有意义，被开方数为非负数且分母不为0，因此满足：
$\dfrac{5}{1 - x} ＞ 0$（分子5为正数，故分母需为正）
即$1 - x ＞ 0$，解得$x ＜ 1$。
(3) 对于$\sqrt{x - 3} + \sqrt{4 - x}$，两个二次根式都要有意义，因此需同时满足：
$\begin{cases}x - 3 ≥ 0 \\4 - x ≥ 0\end{cases}$
解第一个不等式得$x ≥ 3$，解第二个不等式得$x ≤ 4$，取公共解集得$3 ≤ x ≤ 4$。
(4) 对于$\sqrt{x^2 + 9}$，被开方数为$x^2 + 9$，根据平方的非负性，$x^2 ≥ 0$，因此$x^2 + 9 ≥ 9 ＞ 0$，无论x取任意实数，被开方数恒为正数，故x为任意实数时该式都有意义。
【答案】
(1)$x≥4$；(2)$x＜1$；(3)$3≤x≤4$；(4)$x$为任意实数
【知识点】
二次根式有意义的条件，解一元一次不等式（组），平方的非负性
【点评】
本题是二次根式相关的基础题型，重点考查对二次根式成立条件的理解和应用，解题时要注意区分被开方数是整式、分式以及多个二次根式组合的不同情况，避免遗漏分母不为零等限制条件。
【难度系数】
0.8
要判断二次根式有意义的条件，核心依据是：二次根式的被开方数必须是非负数；若被开方数是分式，还需同时满足分母不为0。解题时，先根据每个式子的结构列出对应的不等式（组），再求解不等式（组）即可得到x的取值范围。
【解析】
(1) 对于$\sqrt{2x - 8}$，要使其有意义，被开方数需满足：
$2x - 8 ≥ 0$
移项得$2x ≥ 8$，解得$x ≥ 4$。
(2) 对于$\sqrt{\dfrac{5}{1 - x}}$，要使其有意义，被开方数为非负数且分母不为0，因此满足：
$\dfrac{5}{1 - x} ＞ 0$（分子5为正数，故分母需为正）
即$1 - x ＞ 0$，解得$x ＜ 1$。
(3) 对于$\sqrt{x - 3} + \sqrt{4 - x}$，两个二次根式都要有意义，因此需同时满足：
$\begin{cases}x - 3 ≥ 0 \\4 - x ≥ 0\end{cases}$
解第一个不等式得$x ≥ 3$，解第二个不等式得$x ≤ 4$，取公共解集得$3 ≤ x ≤ 4$。
(4) 对于$\sqrt{x^2 + 9}$，被开方数为$x^2 + 9$，根据平方的非负性，$x^2 ≥ 0$，因此$x^2 + 9 ≥ 9 ＞ 0$，无论x取任意实数，被开方数恒为正数，故x为任意实数时该式都有意义。
【答案】
(1)$x≥4$；(2)$x＜1$；(3)$3≤x≤4$；(4)$x$为任意实数
【知识点】
二次根式有意义的条件，解一元一次不等式（组），平方的非负性
【点评】
本题是二次根式相关的基础题型，重点考查对二次根式成立条件的理解和应用，解题时要注意区分被开方数是整式、分式以及多个二次根式组合的不同情况，避免遗漏分母不为零等限制条件。
【难度系数】
0.8
7. $(\sqrt{1.5})^2$ 的计算结果是 （
A.$-2.25$
B.$-1.5$
C.$1.5$
D.$2.25$
C
）A.$-2.25$
B.$-1.5$
C.$1.5$
D.$2.25$
答案
C
解析
【分析】
本题考查二次根式的平方运算性质，解题时先回忆二次根式的核心性质：当被开方数$a≥0$时，$(\sqrt{a})^2=a$。首先判断题干中被开方数1.5是正数，满足该性质的适用条件，因此可以直接套用性质计算，无需复杂运算。
【解析】
根据二次根式的性质：对于任意非负数$a$，均有$(\sqrt{a})^2 = a$。
本题中被开方数$1.5＞0$，符合性质的使用要求，因此：
$(\sqrt{1.5})^2 = 1.5$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的性质；二次根式的运算
【点评】
本题是对二次根式基础性质的直接考查，只要牢记二次根式的性质及适用条件，就能快速选出正确答案。
【难度系数】
0.9
本题考查二次根式的平方运算性质，解题时先回忆二次根式的核心性质：当被开方数$a≥0$时，$(\sqrt{a})^2=a$。首先判断题干中被开方数1.5是正数，满足该性质的适用条件，因此可以直接套用性质计算，无需复杂运算。
【解析】
根据二次根式的性质：对于任意非负数$a$，均有$(\sqrt{a})^2 = a$。
本题中被开方数$1.5＞0$，符合性质的使用要求，因此：
$(\sqrt{1.5})^2 = 1.5$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的性质；二次根式的运算
【点评】
本题是对二次根式基础性质的直接考查，只要牢记二次根式的性质及适用条件，就能快速选出正确答案。
【难度系数】
0.9
8. 下列计算正确的是 （
A.$\sqrt{(-9)^2}=-9$
B.$\sqrt{(-9)^2}=\pm9$
C.$\sqrt{9^2}=\pm9$
D.$\sqrt{9^2}=9$
D
）A.$\sqrt{(-9)^2}=-9$
B.$\sqrt{(-9)^2}=\pm9$
C.$\sqrt{9^2}=\pm9$
D.$\sqrt{9^2}=9$
答案
D
解析
【分析】
本题考查二次根式的化简，解题核心要明确两个关键要点：一是算术平方根的运算结果一定是非负数，不存在负数或正负两个结果；二是牢记二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$。解题时只需结合这两个要点，逐个验证每个选项的计算是否正确即可。
【解析】
根据算术平方根的定义，非负数的算术平方根为非负数，且二次根式有性质$\sqrt{a^2}=|a|$，逐一分析选项：
A选项：$\sqrt{(-9)^2}=|-9|=9≠-9$，计算错误；
B选项：$\sqrt{(-9)^2}=9$，算术平方根只有唯一的非负结果，不能为$\pm9$，计算错误；
C选项：$\sqrt{9^2}=|9|=9$，结果不能为$\pm9$，计算错误；
D选项：$\sqrt{9^2}=|9|=9$，计算正确。
【答案】
D
【知识点】
1.算术平方根的概念 2.二次根式的性质
【点评】
本题属于二次根式的基础题型，易错点是容易混淆平方根和算术平方根的概念，解题时只要牢记算术平方根的结果恒为非负，就能快速排除错误选项。
【难度系数】
0.85
本题考查二次根式的化简，解题核心要明确两个关键要点：一是算术平方根的运算结果一定是非负数，不存在负数或正负两个结果；二是牢记二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$。解题时只需结合这两个要点，逐个验证每个选项的计算是否正确即可。
【解析】
根据算术平方根的定义，非负数的算术平方根为非负数，且二次根式有性质$\sqrt{a^2}=|a|$，逐一分析选项：
A选项：$\sqrt{(-9)^2}=|-9|=9≠-9$，计算错误；
B选项：$\sqrt{(-9)^2}=9$，算术平方根只有唯一的非负结果，不能为$\pm9$，计算错误；
C选项：$\sqrt{9^2}=|9|=9$，结果不能为$\pm9$，计算错误；
D选项：$\sqrt{9^2}=|9|=9$，计算正确。
【答案】
D
【知识点】
1.算术平方根的概念 2.二次根式的性质
【点评】
本题属于二次根式的基础题型，易错点是容易混淆平方根和算术平方根的概念，解题时只要牢记算术平方根的结果恒为非负，就能快速排除错误选项。
【难度系数】
0.85
9. 下列运算正确的是（
A.$\sqrt{25}=\pm5$
B.$(-\sqrt{3})^2=3$
C.$\sqrt{(-6)^2}=-6$
D.$(\sqrt{-4})^2=-4$
B
）A.$\sqrt{25}=\pm5$
B.$(-\sqrt{3})^2=3$
C.$\sqrt{(-6)^2}=-6$
D.$(\sqrt{-4})^2=-4$
答案
B
解析
【分析】
本题考查二次根式的相关性质，解题时首先要明确核心规则：①$\sqrt{a}$（$a≥0$）表示$a$的算术平方根，结果为非负数；②$(\sqrt{a})^2=a$（$a≥0$）；③$\sqrt{a^2}=|a|$；④二次根式的被开方数必须是非负数，否则无意义。再用以上规则逐个验证选项即可。
【解析】
逐一分析各选项：
A选项：$\sqrt{25}$是25的算术平方根，算术平方根只有非负结果，因此$\sqrt{25}=5$，不是$\pm5$，A错误；
B选项：平方运算中负号可消去，$(-\sqrt{3})^2=(\sqrt{3})^2$，根据性质$(\sqrt{a})^2=a$（$a≥0$），$3≥0$符合要求，因此$(\sqrt{3})^2=3$，B正确；
C选项：根据$\sqrt{a^2}=|a|$，$\sqrt{(-6)^2}=|-6|=6$，结果应为正，C错误；
D选项：二次根式的被开方数必须是非负数，$-4＜0$，$\sqrt{-4}$无意义，运算不成立，D错误。
【答案】
B
【知识点】
算术平方根的概念；二次根式的性质；二次根式有意义的条件
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查对二次根式核心性质的掌握，解题时要注意区分平方根和算术平方根的差异，同时牢记二次根式的被开方数必须为非负数，避免对无意义的式子进行运算。
【难度系数】
0.8
本题考查二次根式的相关性质，解题时首先要明确核心规则：①$\sqrt{a}$（$a≥0$）表示$a$的算术平方根，结果为非负数；②$(\sqrt{a})^2=a$（$a≥0$）；③$\sqrt{a^2}=|a|$；④二次根式的被开方数必须是非负数，否则无意义。再用以上规则逐个验证选项即可。
【解析】
逐一分析各选项：
A选项：$\sqrt{25}$是25的算术平方根，算术平方根只有非负结果，因此$\sqrt{25}=5$，不是$\pm5$，A错误；
B选项：平方运算中负号可消去，$(-\sqrt{3})^2=(\sqrt{3})^2$，根据性质$(\sqrt{a})^2=a$（$a≥0$），$3≥0$符合要求，因此$(\sqrt{3})^2=3$，B正确；
C选项：根据$\sqrt{a^2}=|a|$，$\sqrt{(-6)^2}=|-6|=6$，结果应为正，C错误；
D选项：二次根式的被开方数必须是非负数，$-4＜0$，$\sqrt{-4}$无意义，运算不成立，D错误。
【答案】
B
【知识点】
算术平方根的概念；二次根式的性质；二次根式有意义的条件
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查对二次根式核心性质的掌握，解题时要注意区分平方根和算术平方根的差异，同时牢记二次根式的被开方数必须为非负数，避免对无意义的式子进行运算。
【难度系数】
0.8
10.计算:
(1)$(\sqrt{23})^2$；
(2)$-\sqrt{144}$；
(3)$(\sqrt{10^{-2}})^2$；
(4)$\sqrt{(-5\frac{1}{2})^2}$
(1)$(\sqrt{23})^2$；
(2)$-\sqrt{144}$；
(3)$(\sqrt{10^{-2}})^2$；
(4)$\sqrt{(-5\frac{1}{2})^2}$
答案
(1)解:原式$=23$。
(2)解:原式$=-12$。
(3)解:原式$=\dfrac{1}{100}$。
(4)解:原式$=5\dfrac{1}{2}$。
(2)解:原式$=-12$。
(3)解:原式$=\dfrac{1}{100}$。
(4)解:原式$=5\dfrac{1}{2}$。
解析
【分析】
本题是二次根式的基础运算题，解题核心是牢记二次根式的两个核心性质：①对于非负数a，$(\sqrt{a})^2=a$；②对于任意实数a，$\sqrt{a^2}=|a|$。解题时先判断每道小题的运算结构，匹配对应性质再计算即可：(1)(3)属于$(\sqrt{a})^2$的结构，根号内的数均为非负数，直接取根号内的数作为结果；(2)是求144的算术平方根的相反数，先算算术平方根再添加负号；(4)属于$\sqrt{a^2}$的结构，计算绝对值即可得到非负结果。
【解析】
(1) 根据二次根式性质$(\sqrt{a})^2=a\ (a≥0)$，其中$23＞0$，因此原式$=23$。
(2) 先计算144的算术平方根：$\sqrt{144}=12$，因此原式$=-12$。
(3) 根据二次根式性质$(\sqrt{a})^2=a\ (a≥0)$，其中$10^{-2}=\frac{1}{100}＞0$，因此原式$=10^{-2}=\frac{1}{100}$。
(4) 根据二次根式性质$\sqrt{a^2}=|a|$，因此原式$=\left|-5\frac{1}{2}\right|=5\frac{1}{2}$。
【答案】
(1)$23$；(2)$-12$；(3)$\dfrac{1}{100}$；(4)$5\dfrac{1}{2}$
【知识点】
二次根式的性质，算术平方根运算，绝对值化简
【点评】
本题属于二次根式的基础考查题型，重点在于区分$(\sqrt{a})^2$和$\sqrt{a^2}$的运算规则，只要熟练掌握二次根式的相关性质，注意运算符号，就能快速准确得出结果。
【难度系数】
0.85
本题是二次根式的基础运算题，解题核心是牢记二次根式的两个核心性质：①对于非负数a，$(\sqrt{a})^2=a$；②对于任意实数a，$\sqrt{a^2}=|a|$。解题时先判断每道小题的运算结构，匹配对应性质再计算即可：(1)(3)属于$(\sqrt{a})^2$的结构，根号内的数均为非负数，直接取根号内的数作为结果；(2)是求144的算术平方根的相反数，先算算术平方根再添加负号；(4)属于$\sqrt{a^2}$的结构，计算绝对值即可得到非负结果。
【解析】
(1) 根据二次根式性质$(\sqrt{a})^2=a\ (a≥0)$，其中$23＞0$，因此原式$=23$。
(2) 先计算144的算术平方根：$\sqrt{144}=12$，因此原式$=-12$。
(3) 根据二次根式性质$(\sqrt{a})^2=a\ (a≥0)$，其中$10^{-2}=\frac{1}{100}＞0$，因此原式$=10^{-2}=\frac{1}{100}$。
(4) 根据二次根式性质$\sqrt{a^2}=|a|$，因此原式$=\left|-5\frac{1}{2}\right|=5\frac{1}{2}$。
【答案】
(1)$23$；(2)$-12$；(3)$\dfrac{1}{100}$；(4)$5\dfrac{1}{2}$
【知识点】
二次根式的性质，算术平方根运算，绝对值化简
【点评】
本题属于二次根式的基础考查题型，重点在于区分$(\sqrt{a})^2$和$\sqrt{a^2}$的运算规则，只要熟练掌握二次根式的相关性质，注意运算符号，就能快速准确得出结果。
【难度系数】
0.85
11.(衡阳市期末)若$x≤ 3$，则$\sqrt{x^2 - 6x + 9}$的化简结果是
$3-x$
。答案
$3-x$
解析
【分析】
解题时首先需将被开方数因式分解为完全平方的形式，再利用二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$将原式转化为绝对值表达式，最后结合题目给出的$x≤3$的取值范围，判断绝对值内代数式的正负，去掉绝对值符号即可得到化简结果。
【解析】
1. 分解被开方数：
$x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$，因此原式$=\sqrt{(x - 3)^2}$。
2. 利用二次根式性质转化：
根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$（$a$为任意实数），可得$\sqrt{(x - 3)^2}=|x - 3|$。
3. 结合取值范围去绝对值：
已知$x≤3$，因此$x - 3≤0$，根据绝对值的性质，当$a≤0$时$|a|=-a$，则$|x - 3|=-(x - 3)=3 - x$。
【答案】
$3-x$
【知识点】
二次根式的性质，完全平方公式，绝对值化简
【点评】
本题是二次根式化简的基础题型，易错点为忽略$x$的取值范围，直接将结果写为$x-3$，解题时需牢记二次根式的非负性，结合给定范围正确去绝对值。
【难度系数】
0.8
解题时首先需将被开方数因式分解为完全平方的形式，再利用二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$将原式转化为绝对值表达式，最后结合题目给出的$x≤3$的取值范围，判断绝对值内代数式的正负，去掉绝对值符号即可得到化简结果。
【解析】
1. 分解被开方数：
$x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$，因此原式$=\sqrt{(x - 3)^2}$。
2. 利用二次根式性质转化：
根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$（$a$为任意实数），可得$\sqrt{(x - 3)^2}=|x - 3|$。
3. 结合取值范围去绝对值：
已知$x≤3$，因此$x - 3≤0$，根据绝对值的性质，当$a≤0$时$|a|=-a$，则$|x - 3|=-(x - 3)=3 - x$。
【答案】
$3-x$
【知识点】
二次根式的性质，完全平方公式，绝对值化简
【点评】
本题是二次根式化简的基础题型，易错点为忽略$x$的取值范围，直接将结果写为$x-3$，解题时需牢记二次根式的非负性，结合给定范围正确去绝对值。
【难度系数】
0.8
【变式】已知二次根式$\sqrt{x^2}$的值为3，那么x的值是
$\pm3$
。答案
$\pm3$
解析
【分析】
解题时首先回忆二次根式的性质：$\sqrt{a^2}=|a|$，因此可先将已知的二次根式$\sqrt{x^2}$转化为绝对值形式，得到关于x的绝对值方程，再根据绝对值的定义求解x的取值即可，注意绝对值等于正数的数有两个，互为相反数，不要漏解。
【解析】
根据二次根式的性质可得：$\sqrt{x^2}=|x|$
由题意知$\sqrt{x^2}=3$，因此有$|x|=3$
根据绝对值的定义：若$|x|=a(a＞0)$，则$x=\pm a$
所以$x=\pm3$
【答案】
$\pm3$
【知识点】
二次根式的性质，绝对值的运算
【点评】
本题是二次根式性质的基础应用题型，易错点是容易忽略x的负数值，仅写出x=3，解题时要注意$\sqrt{x^2}$表示的是x²的算术平方根，结果非负，但x本身可取正负两个值。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆二次根式的性质：$\sqrt{a^2}=|a|$，因此可先将已知的二次根式$\sqrt{x^2}$转化为绝对值形式，得到关于x的绝对值方程，再根据绝对值的定义求解x的取值即可，注意绝对值等于正数的数有两个，互为相反数，不要漏解。
【解析】
根据二次根式的性质可得：$\sqrt{x^2}=|x|$
由题意知$\sqrt{x^2}=3$，因此有$|x|=3$
根据绝对值的定义：若$|x|=a(a＞0)$，则$x=\pm a$
所以$x=\pm3$
【答案】
$\pm3$
【知识点】
二次根式的性质，绝对值的运算
【点评】
本题是二次根式性质的基础应用题型，易错点是容易忽略x的负数值，仅写出x=3，解题时要注意$\sqrt{x^2}$表示的是x²的算术平方根，结果非负，但x本身可取正负两个值。
【难度系数】
0.7
12. 下列计算正确的是 （
A.$-(\sqrt{6})^2=-6$
B.$(\sqrt{3})^2=9$
C.$(\sqrt{16})^2=\pm16$
D.$-(-\sqrt{\dfrac{16}{25}})^2=\dfrac{16}{25}$
A
）A.$-(\sqrt{6})^2=-6$
B.$(\sqrt{3})^2=9$
C.$(\sqrt{16})^2=\pm16$
D.$-(-\sqrt{\dfrac{16}{25}})^2=\dfrac{16}{25}$
答案
A
解析
【分析】
本题考查二次根式的相关运算，核心解题依据是二次根式的性质：对于非负数a，有$(\sqrt{a})^2=a$。解题时只需逐个计算每个选项的结果，对比判断正误即可。计算时要注意运算顺序：先计算二次根式的平方，再处理式子外层的符号，同时要明确算术平方根的结果是非负的，避免混淆平方根和算术平方根的概念。
【解析】
根据二次根式的性质：当$a≥0$时，$(\sqrt{a})^2=a$，逐一分析选项：
选项A：$(\sqrt{6})^2=6$，前面加负号得$-(\sqrt{6})^2=-6$，计算正确。
选项B：$(\sqrt{3})^2=3≠9$，计算错误。
选项C：$\sqrt{16}$是16的算术平方根，结果为4，因此$(\sqrt{16})^2=4^2=16$，不存在负的结果，计算错误。
选项D：先算$\sqrt{\dfrac{16}{25}}=\dfrac{4}{5}$，则$-(-\sqrt{\dfrac{16}{25}})^2=-(-\dfrac{4}{5})^2=-\dfrac{16}{25}≠\dfrac{16}{25}$，计算错误。
综上，只有A选项计算正确。
【答案】
A
【知识点】
二次根式的平方运算，算术平方根的性质
【点评】
本题属于二次根式的基础运算题，易错点是运算顺序错误、混淆算术平方根和平方根的概念，做题时需牢记二次根式的运算性质，按顺序计算，注意符号的处理。
【难度系数】
0.8
本题考查二次根式的相关运算，核心解题依据是二次根式的性质：对于非负数a，有$(\sqrt{a})^2=a$。解题时只需逐个计算每个选项的结果，对比判断正误即可。计算时要注意运算顺序：先计算二次根式的平方，再处理式子外层的符号，同时要明确算术平方根的结果是非负的，避免混淆平方根和算术平方根的概念。
【解析】
根据二次根式的性质：当$a≥0$时，$(\sqrt{a})^2=a$，逐一分析选项：
选项A：$(\sqrt{6})^2=6$，前面加负号得$-(\sqrt{6})^2=-6$，计算正确。
选项B：$(\sqrt{3})^2=3≠9$，计算错误。
选项C：$\sqrt{16}$是16的算术平方根，结果为4，因此$(\sqrt{16})^2=4^2=16$，不存在负的结果，计算错误。
选项D：先算$\sqrt{\dfrac{16}{25}}=\dfrac{4}{5}$，则$-(-\sqrt{\dfrac{16}{25}})^2=-(-\dfrac{4}{5})^2=-\dfrac{16}{25}≠\dfrac{16}{25}$，计算错误。
综上，只有A选项计算正确。
【答案】
A
【知识点】
二次根式的平方运算，算术平方根的性质
【点评】
本题属于二次根式的基础运算题，易错点是运算顺序错误、混淆算术平方根和平方根的概念，做题时需牢记二次根式的运算性质，按顺序计算，注意符号的处理。
【难度系数】
0.8
