1. 解方程$\frac{x+1}{2}+\frac{x+4}{3}=\frac{6}{5}$，为了去分母应将方程两边同乘（）

A.30
B.15
C.10
D.6

1.A

【分析】
要解决这道题，首先回忆一元一次方程去分母的规则：去分母时需要将方程两边同时乘以所有分母的最小公倍数，这样可以消去所有分母，把方程化为整数系数的方程，方便后续计算。所以本题的解题思路就是先找出方程中所有分母2、3、5的最小公倍数，再对应匹配选项即可。
【解析】
解：首先确定方程中各个分数的分母分别为2、3、5。
由于2、3、5两两互质（除1外没有其他公共因数），因此它们的最小公倍数为三个数的乘积：
$2×3×5=30$
因此为了去分母，应将方程两边同乘30，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1.去分母法则
2.最小公倍数计算
3.一元一次方程解法
【点评】
本题属于基础题型，重点考查去分母的核心操作，解题的关键是准确找到所有分母的最小公倍数，计算时需注意不要遗漏任意一个分母的因数。
【难度系数】
0.9

2. 小明解方程$\frac{x+1}{2}-1=\frac{x-2}{3}$的步骤如下：
解:方程两边同乘6,得
$3(x+1)-1=2(x-2)$. ①
去括号,得 $3x+3-1=2x-2$. ②
移项,得 $3x-2x=-2-3+1$. ③
合并同类项,得 $x=-4$. ④
以上解题步骤中,开始出错的一步是 ()

A.①
B.②
C.③
D.④

2.A

【分析】
这是一道判断解一元一次方程步骤错误的题目，解题思路是先回忆去分母解一元一次方程的规则：去分母时，方程两边要同时乘各分母的最小公倍数，且每一项都要乘，不能漏乘不含分母的常数项。接下来我们按照正确步骤逐一对小明的解题步骤进行比对，就能找到最先出错的步骤。
【解析】
我们按正确的解方程步骤核对：
原方程为$\frac{x+1}{2}-1=\frac{x-2}{3}$，分母2和3的最小公倍数是6。
步骤①为去分母：根据等式的性质，方程两边每一项都要乘6：
左边两项分别乘6得：$\frac{x+1}{2}×6 = 3(x+1)$，$-1×6=-6$，因此左边整体为$3(x+1)-6$；
右边乘6得：$\frac{x-2}{3}×6=2(x-2)$。
正确的去分母结果应为$3(x+1)-6=2(x-2)$，但小明的步骤①中漏乘了常数项-1，写成了$3(x+1)-1=2(x-2)$，因此步骤①就是开始出错的一步。
【答案】
A
【知识点】
1. 去分母解一元一次方程 2. 等式的性质
【点评】
本题重点考查解一元一次方程中去分母的易错点，去分母时漏乘不含分母的项是这类题的常见错误，做题时要注意每一项都要乘最小公倍数，避免出现类似错误。
【难度系数】
0.8

3. (1)解方程$\frac{x+1}{3}=2$，两边同时乘3，去分母后得________，解得$x=\_\_\_\_\_\_$；
(2)解方程$\frac{x+1}{3}=\frac{x-1}{2}$，去分母时两边同乘________，得________，这一步变化的依据是________。

3.(1)去分母后得$x+1=6$，解得$x=5$；(2)去分母时两边同乘6，得$2(x+1)=3(x-1)$，这一步变化的依据是等式的基本性质2。

【分析】
这道题考查解一元一次方程中的去分母步骤，解题思路如下：首先明确去分母的核心方法：找到方程所有分母的最小公倍数，将等式两边同时乘这个最小公倍数即可消去分母，去分母的依据是等式的基本性质。针对第(1)题，方程只有一个分母3，直接两边乘3去分母后移项求解即可；针对第(2)题，两个分母为3和2，先求二者的最小公倍数，再两边乘最小公倍数完成去分母，对应写出变形依据即可。
【解析】
(1) 解方程$\frac{x+1}{3}=2$：
等式两边同时乘3，左边$\frac{x+1}{3}×3=x+1$，右边$2×3=6$，因此去分母后得$x+1=6$；
移项计算得$x=6-1=5$。
(2) 解方程$\frac{x+1}{3}=\frac{x-1}{2}$：
分母3和2的最小公倍数是6，因此去分母时两边同乘6；
左边$\frac{x+1}{3}×6=2(x+1)$，右边$\frac{x-1}{2}×6=3(x-1)$，因此去分母后得$2(x+1)=3(x-1)$；
这一步变形的依据是等式的基本性质2：等式两边同时乘同一个不为0的数，等式仍然成立。
【答案】
(1)$x+1=6$；$5$
(2)$6$；$2(x+1)=3(x-1)$；等式的基本性质2
【知识点】
去分母解一元一次方程；等式的基本性质
【点评】
本题是去分母解一元一次方程的基础题型，重点考查去分母的操作方法和理论依据，解题时要注意准确找到所有分母的最小公倍数，避免出现漏乘项的错误。
【难度系数】
0.9

4. 解下列方程:
(1)$\frac{x-3}{2}-\frac{4x+1}{5}=1$;
(2)$\frac{x+0.5}{2}-1=x-\frac{10x+1}{6}$.

4.解:(1)去分母,得$5(x-3)-2(4x+1)=10$. 去括号,得$5x-15-8x-2=10$.移项,得$5x-8x=10+2+15$.合并同类项,得$-3x=27$.两边同除以$-3$,得$x=-9$;(2)去分母,得$3(x+0.5)-6=6x-(10x+1)$.去括号,得$3x+1.5-6=6x-10x-1$.移项,得$3x-6x+10x=-1+6-1.5$.合并同类项,得$7x=3.5$.两边同除以7,得$x=\frac{1}{2}$.

【分析】
这两道都是含分母的一元一次方程，解题按照解一元一次方程的常规步骤思考即可：第一步先去分母，先找到各方程中分母的最小公倍数，方程两边同时乘最小公倍数，注意不要漏乘没有分母的常数项；第二步去括号，注意括号前是负号时，括号内的每一项都要变号；第三步移项，把含未知数的项移到等号左侧，常数项移到等号右侧，移项要记得变号；第四步合并同类项，将方程化简为$ax=b(a≠0)$的形式；最后系数化为1，两边同时除以未知数的系数，得到方程的解。
【解析】
(1) 去分母，得$5(x-3)-2(4x+1)=10$。
去括号，得$5x-15-8x-2=10$。
移项，得$5x-8x=10+2+15$。
合并同类项，得$-3x=27$。
两边同除以$-3$，得$x=-9$。
(2) 去分母，得$3(x+0.5)-6=6x-(10x+1)$。
去括号，得$3x+1.5-6=6x-10x-1$。
移项，得$3x-6x+10x=-1+6-1.5$。
合并同类项，得$7x=3.5$。
两边同除以7，得$x=\frac{1}{2}$。
【答案】
(1)$x=-9$；(2)$x=\frac{1}{2}$
【知识点】
一元一次方程的解法，去分母法则，去括号法则
【点评】
本题是解一元一次方程的基础题型，重点考查去分母步骤的操作，解题时要注意避免漏乘常数项、去括号时符号错误、移项未变号等常见失误，计算时要细心。
【难度系数】
0.8

5.解方程$\frac{0.4 - 0.3x}{0.02} - 0.5 = \frac{x - 0.6}{0.3}$时，先将方程中的分母变为整数，应变形为________，其依据是________。

5.变形为$\frac{40-30x}{2}-0.5=\frac{10x-6}{3}$，其依据是分数的基本性质。

【分析】
要解决将方程分母化为整数的问题，首先回忆分数的基本性质：分数的分子、分母同乘一个不为0的数，分数大小不变。注意仅对每个分式的分子分母同时乘对应倍数，将分母化为整数，方程中不属于分式分子分母的常数项不需要乘这个倍数，避免和等式的性质混淆。首先看第一个分式$\frac{0.4 - 0.3x}{0.02}$，分母0.02乘100可得整数2，因此分子也要乘100；再看第二个分式$\frac{x - 0.6}{0.3}$，分母0.3乘10可得整数3，因此分子也要乘10，其余项保持不变，就能得到变形后的方程。
【解析】
第一步，处理左侧分式$\frac{0.4 - 0.3x}{0.02}$：根据分数的基本性质，分子、分母同时乘100，得$\frac{(0.4-0.3x)×100}{0.02×100}=\frac{40-30x}{2}$；
第二步，处理右侧分式$\frac{x - 0.6}{0.3}$：根据分数的基本性质，分子、分母同时乘10，得$\frac{(x-0.6)×10}{0.3×10}=\frac{10x-6}{3}$；
第三步，方程中的常数项-0.5不属于任何分式的分子或分母，保持不变，因此变形后的方程为$\frac{40-30x}{2}-0.5=\frac{10x-6}{3}$，变形依据是分数的基本性质。
【答案】
$\frac{40-30x}{2}-0.5=\frac{10x-6}{3}$；分数的基本性质
【知识点】
1.分数的基本性质 2.一元一次方程的变形
【点评】
本题是一元一次方程求解的基础题型，核心易错点是容易混淆分数基本性质和等式的性质，误将方程中的常数项也乘对应倍数，解题时需注意仅对分式的分子、分母做同乘非零数的变形。
【难度系数】
0.7

6. 解方程：$\frac{0.1x - 0.3}{0.03} + \frac{2x - 5}{0.5} = 2.$

6.解:原方程可变形为$\frac{10x-30}{3}+(4x-10)=2$.去分母,得$10x-30+3(4x-10)=6$.去括号,得$10x-30+12x-30=6$.移项,得$10x+12x=6+30+30$.合并同类项,得$22x=66$.两边同除以22,得$x=3$.

【分析】
观察方程发现分母均为小数，首先利用分数的基本性质，将分子分母同时扩大相同倍数，把小数分母转化为整数分母，简化方程结构；之后按照解一元一次方程的常规步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1逐步求解即可，注意去分母时不要漏乘不含分母的常数项。
【解析】
解:原方程可变形为$\frac{10x-30}{3}+(4x-10)=2$.
去分母,得$10x-30+3(4x-10)=6$.
去括号,得$10x-30+12x-30=6$.
移项,得$10x+12x=6+30+30$.
合并同类项,得$22x=66$.
两边同除以22,得$x=3$.
【答案】
$x=3$
【知识点】
分数的基本性质；去分母解方程；一元一次方程解法
【点评】
本题是含小数分母的一元一次方程求解的典型题，解题核心是先将小数分母转化为整数分母，再按常规解方程步骤计算，需注意去分母时不要漏乘方程中的常数项，去括号时要注意符号变化。
【难度系数】
0.7

7.当$x$为何值时，代数式$x - \frac{10x + 1}{6}$比$\frac{2x + 1}{3}$的值小1？

7.解:根据题意,得$x-\frac{10x+1}{6}=\frac{2x+1}{3}-1$.去分母,得$6x-(10x+1)=2(2x+1)-6$.去括号,得$6x-10x-1=4x+2-6$.移项,得$6x-10x-4x=2-6+1$.合并同类项,得$-8x=-3$.两边同除以$-8$,得$x=\frac{3}{8}$.

【分析】
首先根据题目给出的数量关系“代数式$x - \frac{10x + 1}{6}$比$\frac{2x + 1}{3}$小1”，可列出等式：前者等于后者减1，得到关于x的一元一次方程；再按照解一元一次方程的标准步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1逐步求解即可。解题时注意去分母不要漏乘不含分母的常数项，去括号时要留意括号前的符号规则。
【解析】
根据题意，得：
$x-\frac{10x+1}{6}=\frac{2x+1}{3}-1$
去分母（两边同乘各分母的最小公倍数6），得：
$6x-(10x+1)=2(2x+1)-6$
去括号，得：
$6x-10x-1=4x+2-6$
移项（将含x的项移到左边，常数项移到右边，移项要变号），得：
$6x-10x-4x=2-6+1$
合并同类项，得：
$-8x=-3$
两边同除以$-8$（系数化为1），得：
$x=\frac{3}{8}$
【答案】
$x=\frac{3}{8}$
【知识点】
列一元一次方程；去分母解一元一次方程
【点评】
本题既考查将文字描述转化为数学方程的转化能力，也考查解一元一次方程的运算能力，易错点是去分母时漏乘常数项、去括号时符号出错，解题时要养成检查运算步骤的习惯。
【难度系数】
0.7