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8. ⊙O是等边三角形ABC的外接圆，半径为2，则等边三角形ABC的边长为（
A.$\sqrt{3}$
B.$\sqrt{5}$
C.$2\sqrt{3}$
D.$2\sqrt{5}$
C
）A.$\sqrt{3}$
B.$\sqrt{5}$
C.$2\sqrt{3}$
D.$2\sqrt{5}$
答案
8.C
解析
【分析】
要求等边三角形ABC的边长，我们可以结合外接圆的性质求解：首先，等边三角形的外心与重心、内心重合，连接外接圆圆心O与A、B两个顶点，得到等腰△OAB，根据圆周角定理可求出顶角∠AOB的度数；再通过作高将等腰△OAB转化为两个直角三角形，利用直角三角形的性质和勾股定理即可求出AB的长度，也就是等边三角形的边长。
【解析】
解：连接OA、OB，过点O作OD⊥AB于点D。
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得：
∠AOB=2∠ACB=120°。
∵OA=OB=2，OD⊥AB，
∴∠AOD=$\frac{1}{2}$∠AOB=60°，AD=BD=$\frac{1}{2}$AB（等腰三角形三线合一）。
在Rt△AOD中，∠OAD=30°，
∴OD=$\frac{1}{2}$OA=1，
由勾股定理得：AD=$\sqrt{OA^2 - OD^2}$=$\sqrt{2^2 - 1^2}$=$\sqrt{3}$，
∴AB=2AD=$2\sqrt{3}$，即等边三角形ABC的边长为$2\sqrt{3}$。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理，等边三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题是三角形外接圆相关的基础计算题，解题的关键是结合圆周角定理得到圆心角的度数，再将等腰三角形转化为直角三角形求解，熟练掌握等边三角形和圆的相关性质就能快速解题。
【难度系数】
0.7
要求等边三角形ABC的边长，我们可以结合外接圆的性质求解：首先，等边三角形的外心与重心、内心重合，连接外接圆圆心O与A、B两个顶点，得到等腰△OAB，根据圆周角定理可求出顶角∠AOB的度数；再通过作高将等腰△OAB转化为两个直角三角形，利用直角三角形的性质和勾股定理即可求出AB的长度，也就是等边三角形的边长。
【解析】
解：连接OA、OB，过点O作OD⊥AB于点D。
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得：
∠AOB=2∠ACB=120°。
∵OA=OB=2，OD⊥AB，
∴∠AOD=$\frac{1}{2}$∠AOB=60°，AD=BD=$\frac{1}{2}$AB（等腰三角形三线合一）。
在Rt△AOD中，∠OAD=30°，
∴OD=$\frac{1}{2}$OA=1，
由勾股定理得：AD=$\sqrt{OA^2 - OD^2}$=$\sqrt{2^2 - 1^2}$=$\sqrt{3}$，
∴AB=2AD=$2\sqrt{3}$，即等边三角形ABC的边长为$2\sqrt{3}$。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理，等边三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题是三角形外接圆相关的基础计算题，解题的关键是结合圆周角定理得到圆心角的度数，再将等腰三角形转化为直角三角形求解，熟练掌握等边三角形和圆的相关性质就能快速解题。
【难度系数】
0.7
9. 根据下列条件，判断经过A,B,C三点能否作圆？若能，求出经过这三点的圆的半径；若不能，说明理由.
(1)$AB=2\mathrm{cm}$，$BC=5\mathrm{cm}$，$AC=3\mathrm{cm}$. (2)$AB=15\mathrm{cm}$，$BC=9\mathrm{cm}$，$AC=12\mathrm{cm}$.
(1)$AB=2\mathrm{cm}$，$BC=5\mathrm{cm}$，$AC=3\mathrm{cm}$. (2)$AB=15\mathrm{cm}$，$BC=9\mathrm{cm}$，$AC=12\mathrm{cm}$.
答案
9. (1)不能作圆，$\because AB+AC=BC,\therefore A,B,C$只能在同一条直线上
(2)能作圆，$\because AC+BC＞AB,\therefore$过$A,B,C$能作圆，$r=\frac{15}{2}=7.5\mathrm{cm}$
(2)能作圆，$\because AC+BC＞AB,\therefore$过$A,B,C$能作圆，$r=\frac{15}{2}=7.5\mathrm{cm}$
解析
【分析】
要判断三点能否作圆，核心依据是：只有不共线的三点才能确定一个圆，若三点共线则无法作出过这三点的圆。解题步骤为：①先找到三点所连线段中的最长边，比较两条较短线段的和与最长边的大小，若和等于最长边，说明三点共线，不能作圆；②若和大于最长边，说明三点能构成三角形，即可作圆，再结合三角形特点求外接圆半径，直角三角形的外接圆直径等于斜边长，因此半径为斜边的一半。
【解析】
(1) 最长线段为$BC=5\mathrm{cm}$，计算得$AB+AC=2+3=5\mathrm{cm}$，即$AB+AC=BC$，因此$A,B,C$三点在同一条直线上，共线的三点无法确定一个圆，故不能作过这三点的圆。
(2) 最长线段为$AB=15\mathrm{cm}$，计算得$AC+BC=12+9=21\mathrm{cm}＞15\mathrm{cm}$，说明$A,B,C$三点不共线，可构成三角形，因此能作过这三点的圆。进一步验证得$BC^2+AC^2=9^2+12^2=225=15^2=AB^2$，即$△ ABC$是直角三角形，$AB$为斜边，直角三角形外接圆直径等于斜边长，因此半径$r=\frac{AB}{2}=\frac{15}{2}=7.5\mathrm{cm}$。
【答案】
(1)不能作圆，$\because AB+AC=BC,\therefore A,B,C$只能在同一条直线上
(2)能作圆，$\because AC+BC＞AB,\therefore$过$A,B,C$能作圆，$r=\frac{15}{2}=7.5\mathrm{cm}$
【知识点】
1. 不共线三点确定一个圆
2. 勾股定理逆定理
3. 直角三角形外接圆性质
【点评】
本题围绕三点共圆的判定展开考查，解题关键是先判断三点是否共线，再结合三角形的特性求解外接圆半径，是圆相关概念的基础应用题型，需熟练掌握核心判定定理。
【难度系数】
0.8
要判断三点能否作圆，核心依据是：只有不共线的三点才能确定一个圆，若三点共线则无法作出过这三点的圆。解题步骤为：①先找到三点所连线段中的最长边，比较两条较短线段的和与最长边的大小，若和等于最长边，说明三点共线，不能作圆；②若和大于最长边，说明三点能构成三角形，即可作圆，再结合三角形特点求外接圆半径，直角三角形的外接圆直径等于斜边长，因此半径为斜边的一半。
【解析】
(1) 最长线段为$BC=5\mathrm{cm}$，计算得$AB+AC=2+3=5\mathrm{cm}$，即$AB+AC=BC$，因此$A,B,C$三点在同一条直线上，共线的三点无法确定一个圆，故不能作过这三点的圆。
(2) 最长线段为$AB=15\mathrm{cm}$，计算得$AC+BC=12+9=21\mathrm{cm}＞15\mathrm{cm}$，说明$A,B,C$三点不共线，可构成三角形，因此能作过这三点的圆。进一步验证得$BC^2+AC^2=9^2+12^2=225=15^2=AB^2$，即$△ ABC$是直角三角形，$AB$为斜边，直角三角形外接圆直径等于斜边长，因此半径$r=\frac{AB}{2}=\frac{15}{2}=7.5\mathrm{cm}$。
【答案】
(1)不能作圆，$\because AB+AC=BC,\therefore A,B,C$只能在同一条直线上
(2)能作圆，$\because AC+BC＞AB,\therefore$过$A,B,C$能作圆，$r=\frac{15}{2}=7.5\mathrm{cm}$
【知识点】
1. 不共线三点确定一个圆
2. 勾股定理逆定理
3. 直角三角形外接圆性质
【点评】
本题围绕三点共圆的判定展开考查，解题关键是先判断三点是否共线，再结合三角形的特性求解外接圆半径，是圆相关概念的基础应用题型，需熟练掌握核心判定定理。
【难度系数】
0.8
★10.如图，已知圆上两点A，B（AB不等于此圆的半径），用直尺和圆规求作以AB为一边的圆内接等腰三角形. 
答案
10. 作图略 共有4个
解析
【分析】
要构造以AB为边的圆内接等腰三角形，需结合等腰三角形的特征分类讨论：①AB为等腰三角形的底边：此时第三个顶点到A、B的距离相等，因此第三个顶点在AB的垂直平分线上，且在已知圆上，作垂直平分线与圆的交点即可得到对应顶点；②AB为等腰三角形的腰：此时分两种情况，要么顶角顶点为A（AB=AC），要么顶角顶点为B（BA=BC），分别以A、B为圆心，AB长为半径画弧，与圆的交点（排除重合的A、B点）即为第三个顶点，两种情况分别得到1个符合条件的顶点，综上即可得到所有符合要求的三角形。
【解析】
作图步骤如下：
1. 作线段AB的垂直平分线，该垂直平分线与圆交于两点，分别将这两点与A、B连接，得到2个以AB为底边的圆内接等腰三角形；
2. 以点A为圆心，AB的长度为半径画弧，与圆交于除点B外的1个点，将该点与A、B连接，得到1个以AB为腰、A为顶角顶点的圆内接等腰三角形；
3. 以点B为圆心，AB的长度为半径画弧，与圆交于除点A外的1个点，将该点与A、B连接，得到1个以AB为腰、B为顶角顶点的圆内接等腰三角形。
综上，共可作出4个符合要求的圆内接等腰三角形。
【答案】
作图略，共有4个符合要求的三角形。
【知识点】
等腰三角形判定、线段垂直平分线性质、尺规作图
【点评】
本题解题核心是运用分类讨论思想，需注意分AB为底边和AB为腰两种情况探索第三个顶点的位置，避免漏解，同时要求熟练掌握基本尺规作图的操作方法。
【难度系数】
0.6
要构造以AB为边的圆内接等腰三角形，需结合等腰三角形的特征分类讨论：①AB为等腰三角形的底边：此时第三个顶点到A、B的距离相等，因此第三个顶点在AB的垂直平分线上，且在已知圆上，作垂直平分线与圆的交点即可得到对应顶点；②AB为等腰三角形的腰：此时分两种情况，要么顶角顶点为A（AB=AC），要么顶角顶点为B（BA=BC），分别以A、B为圆心，AB长为半径画弧，与圆的交点（排除重合的A、B点）即为第三个顶点，两种情况分别得到1个符合条件的顶点，综上即可得到所有符合要求的三角形。
【解析】
作图步骤如下：
1. 作线段AB的垂直平分线，该垂直平分线与圆交于两点，分别将这两点与A、B连接，得到2个以AB为底边的圆内接等腰三角形；
2. 以点A为圆心，AB的长度为半径画弧，与圆交于除点B外的1个点，将该点与A、B连接，得到1个以AB为腰、A为顶角顶点的圆内接等腰三角形；
3. 以点B为圆心，AB的长度为半径画弧，与圆交于除点A外的1个点，将该点与A、B连接，得到1个以AB为腰、B为顶角顶点的圆内接等腰三角形。
综上，共可作出4个符合要求的圆内接等腰三角形。
【答案】
作图略，共有4个符合要求的三角形。
【知识点】
等腰三角形判定、线段垂直平分线性质、尺规作图
【点评】
本题解题核心是运用分类讨论思想，需注意分AB为底边和AB为腰两种情况探索第三个顶点的位置，避免漏解，同时要求熟练掌握基本尺规作图的操作方法。
【难度系数】
0.6
11.如图，A,B,C表示三个小区，现在要建一个供水站，使它到这三个小区的距离相等.请在图中标出供水站的位置(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法).
（第11题）
（第11题）答案
11. 作图略
解析
【分析】
要找到到A、B、C三个小区距离相等的供水站位置，可结合线段垂直平分线的性质思考：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。因此到A、B两点距离相等的点都在AB的垂直平分线上，到B、C两点距离相等的点都在BC的垂直平分线上，两条垂直平分线的交点会同时满足到A、B、C三点距离相等，该点就是我们要找的供水站位置，作图时保留尺规作垂直平分线的痕迹即可。
【解析】
1. 首先连接AB、BC两条线段；
2. 用尺规分别作出线段AB的垂直平分线、线段BC的垂直平分线；
3. 两条垂直平分线的交点即为供水站的位置，作图时保留画弧等尺规作图痕迹即可，无需写作法。
【答案】
作图略
【知识点】
线段垂直平分线性质；尺规作图；三角形外心性质
【点评】
本题是结合生活实际的几何作图基础题，解题核心是利用线段垂直平分线的性质定位符合要求的点，需要学生熟练掌握线段垂直平分线的尺规作图方法，能灵活运用几何性质解决实际应用问题。
【难度系数】
0.8
要找到到A、B、C三个小区距离相等的供水站位置，可结合线段垂直平分线的性质思考：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。因此到A、B两点距离相等的点都在AB的垂直平分线上，到B、C两点距离相等的点都在BC的垂直平分线上，两条垂直平分线的交点会同时满足到A、B、C三点距离相等，该点就是我们要找的供水站位置，作图时保留尺规作垂直平分线的痕迹即可。
【解析】
1. 首先连接AB、BC两条线段；
2. 用尺规分别作出线段AB的垂直平分线、线段BC的垂直平分线；
3. 两条垂直平分线的交点即为供水站的位置，作图时保留画弧等尺规作图痕迹即可，无需写作法。
【答案】
作图略
【知识点】
线段垂直平分线性质；尺规作图；三角形外心性质
【点评】
本题是结合生活实际的几何作图基础题，解题核心是利用线段垂直平分线的性质定位符合要求的点，需要学生熟练掌握线段垂直平分线的尺规作图方法，能灵活运用几何性质解决实际应用问题。
【难度系数】
0.8
