实践作业2 有趣的魔术
2024年春晚,魔术师刘谦表演了一个纸牌魔术,可以用数学原理"约瑟夫环"来解释,像这样可以用数学原理解释的魔术还有很多,比如下面要介绍的魔术——读心术.
第一步:请在心里想两个0~9的一位数字并写在纸上,然后将第一个数字乘以2再加上1;
第二步:将得到的结果先乘以5再加上第二个数字;
第三步:将得到的结果减去5之后说出来,我就可以知道你写下的两个数字分别是什么.
(1)请尝试借助数学符号,用数学语言来解释这个魔术的原理.
(2)请将这个魔术优化,将"读心术"的数字范围扩展到两位数字.

(1)设第一个一位数为a,第二个一位数为b.第一步得到的数字为$2a+1$,第二步得到的数字为$10a+b+5$,第三步得到的数字为$10a+b$,则十位数是第一个数,个位数为第二个数
(2)第一步:请在心里想两个0~99的两位数字并写在纸上,然后将第一个数字乘以2再加上1;第二步:将得到的结果先乘以50再加上第二个数字;第三步:将得到的结果减去50之后说出来,我就可以知道你写下的两个数字分别是什么(答案不唯一)

【分析】
（1）要解释魔术原理，我们可以先用字母分别表示两个想到的一位数，再严格按照魔术的三步操作逐步列出对应的代数式，最后化简代数式，观察最终结果和原来两个数字的关系就能找到背后的规律。（2）要将数字范围扩展到两位数，核心是让第一个数字最终出现在更高的数位，和第二个数字的数位完全分开：原来一位数场景下最终第一个数的系数是10（对应十位），两位数场景就需要让第一个数的系数变成100，对应调整第二步的乘数和第三步减去的数即可。
【解析】
(1) 设心里想的第一个一位数字为$a$，第二个一位数字为$b$（$a,b$均为0~9的整数）：
第一步操作后得到的结果：$2a+1$
第二步操作后得到的结果：$5(2a+1)+b = 10a + 5 + b$
第三步操作后得到的结果：$10a + 5 + b -5 = 10a + b$
显然$10a+b$这个两位数的十位数字就是第一个数$a$，个位数字就是第二个数$b$，因此只要说出第三步的结果，就能直接读出两个原数字。
(2) 要扩展到两位数字，核心是让第一个两位数最终的系数为100，调整操作如下：
第一步：请在心里想两个0~99的两位数字并写在纸上，然后将第一个数字乘以2再加上1；
第二步：将得到的结果先乘以50再加上第二个数字；
第三步：将得到的结果减去50之后说出来，就可以知道两个数字分别是什么。
原理验证：设第一个两位数为$a$，第二个两位数为$b$（$a,b$均为0~99的整数），按步骤计算最终结果为$50(2a+1)+b -50 = 100a + b$，将最终结果除以100得到的商就是第一个数$a$，余数就是第二个数$b$。
【答案】
(1)设第一个一位数为$a$,第二个一位数为$b$.第一步得到的数字为$2a+1$,第二步得到的数字为$10a+b+5$,第三步得到的数字为$10a+b$,则十位数是第一个数,个位数为第二个数
(2)第一步:请在心里想两个0~99的两位数字并写在纸上,然后将第一个数字乘以2再加上1;第二步:将得到的结果先乘以50再加上第二个数字;第三步:将得到的结果减去50之后说出来,我就可以知道你写下的两个数字分别是什么(答案不唯一)
【知识点】
字母表示数；代数式化简；数位的意义
【点评】
本题结合趣味魔术场景，考查用代数式表达实际操作过程的能力，既可以让学生感受到数学的实用性和趣味性，也能锻炼学生的逻辑推理和迁移应用能力。
【难度系数】
0.7