15. 已知抛物线 $ y = x^2 + 1 $，则其关于x轴对称的抛物线的表达式是 .

15.$y=-x^2-1$

16. 如图,在平面直角坐标系中,抛物线$y=ax^2+3$与y轴交于点A,过点A与x轴平行的直线交抛物线$y=\frac{1}{3}x^2$于点B,C,则BC的长为。

16.6

17. 如图,将二次函数$y=x^2 -4$位于x轴的下方的图象沿x轴翻折,再得到一个新函数的图象(中的实线).
(1)当$x=-3$时,新函数值为;当$x=1$时,新函数值为.
(2)当$x=$时,新函数有最小值.
(3)当新函数中y随x的增大而增大时,自变量x的取值范围是.
(4)当直线$y=a$与新函数图象有两个公共点时,a的取值范围为.

17.(1)5 3 (2)-2或2 (3)-2＜x＜0或x＞2 (4)a＞4或a=0

18. [传统文化]廊桥是我国古老的文化遗产.如图是某座抛物线形的廊桥示意图,已知抛物线的函数表达式为 $y=-\frac{1}{40}x^2 +10$,为保护廊桥的安全,在该抛物线上距水面AB高为8米的点E,F处要安装两盏警示灯,求这两盏警示灯的水平距离EF的长度.(结果保留根号)

18.解:由题意知,E,F的纵坐标均为8,
∴将$y=8$代入$y=-\frac{1}{40}x^2+10$,即$\frac{1}{40}x^2+10=8$,解得$x_1=4\sqrt{5},x_2=-4\sqrt{5}$,
∴两盏警示灯之间的水平距离EF为$4\sqrt{5}-(-4\sqrt{5})=8\sqrt{5}$(米).

19. [新考法]如图1,车前大灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分,灯所在的位置合适时,灯光会沿着水平方向反射出去,此时我们称灯的位置为抛物线的“焦点”.抛物线的焦点位置有一种特性:如图2,抛物线上任意一点M到焦点A的距离AM的长,等于点M到一条平行于x轴的直线l的距离MN的长.若抛物线的表达式为 $y=\frac{1}{2}x^2+3$,则此抛物线的焦点的坐标为 ()


A.$(0,3)$
B.$(0,4)$
C.$(0,\frac{7}{2})$
D.$(0,\frac{9}{2})$

19.C 解析:如图,设抛物线$y=\frac{1}{2}x^2+3$与y轴的交点为C,l与y轴交于点B,$A(0,a),M(m,\frac{1}{2}m^2+3)$,则$OA=a$,
根据“焦点”定义,可知$AC=BC,AM=MN$.
∵点C为抛物线的顶点,
∴$C(0,3),∴OC=3$,
∴$AC=BC=a-3$,
∴$OB=6-a$,则$N(m,6-a)$,
∴$AM^2=m^2+(\frac{1}{2}m^2+3-a)^2,MN^2=(\frac{1}{2}m^2+a-3)^2$.
由$AM=MN$,得$AM^2=MN^2$,
∴$m^2+(\frac{1}{2}m^2+3-a)^2=(\frac{1}{2}m^2+a-3)^2$,
即$m^2=(\frac{1}{2}m^2+a-3)^2-(\frac{1}{2}m^2+3-a)^2=(\frac{1}{2}m^2+a-3+\frac{1}{2}m^2+3-a)[\frac{1}{2}m^2+a-3-(\frac{1}{2}m^2+3-a)]$,
整理得$m^2=m^2(2a-6)$,
∴$m^2(2a-7)=0$,
∴$2a-7=0$,解得$a=\frac{7}{2}$,
∴焦点的坐标为$(0,\frac{7}{2})$.故选C.