1. 如图，$AB=DC$，$AC=DB$.
(1)求证:$△ ABC≌△ DCB$；
(2)若$∠ A=90°$，$∠ DBC=35°$，求$∠ ABD$的度数.

1. (1)证明:在$△ ABC$ 和 $△ DCB$ 中,
$\begin{cases} AB=DC,\\ AC=DB,\\ BC=CB, \end{cases}$ $\therefore △ ABC ≌ △ DCB$(SSS).
(2)解: $\because △ ABC ≌ △ DCB, \therefore ∠ DBC = ∠ ACB, \because ∠ DBC=35°,\therefore ∠ ACB=∠ DBC=35°. \because$ 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,$∠ A=90°,\therefore ∠ ABC=90°-∠ ACB=90°-35°=55°. \therefore ∠ ABD=∠ ABC-∠ DBC=55°-35°=20°.$

2. 如图，在$△ ABC$中，点 D 是 BC 的中点，$DE⊥ AB$于点 E，$DF⊥ AC$于点 F，且 $DE=DF$。求证：
(1)$BE=FC$；
(2)$AB=AC$。

2. (1)证明: $\because DE⊥ AB,DF⊥ AC, \therefore ∠ DEB=∠ DFC=90°.$ 又$\because D$ 是$BC$ 的中点,$\therefore BD=DC.$ 又$\because DE=DF,\therefore \mathrm{Rt}△ BDE≌\mathrm{Rt}△ CDF(\mathrm{HL}),\therefore BE=FC.$
(2)连接 $AD. \because DE=DF,AD=AD, \therefore \mathrm{Rt}△ ADE≌\mathrm{Rt}△ ADF(\mathrm{HL}),\therefore AE=AF,$ 由(1)知$BE=FC,\therefore AE+BE=AF+FC,$ 即$AB=AC.$

3.如图,已知$AB=CD$,$AB// CD$,$E$,$F$是$AC$上两点,且$AF=CE$.求证:$△ ABE≌△ CDF$.

3. 证明: $\because AB// CD,\therefore ∠ A=∠ DCF. \because AF=CE,\therefore AF-EF=CE-EF,$ 即 $AE=CF.$ 在 $△ ABE$ 和 $△ CDF$ 中,
$\begin{cases} AB=CD,\\ ∠ A=∠ DCF,\\ AE=CF, \end{cases}$ $\therefore △ ABE ≌ △ CDF(\mathrm{SAS}).$

4.如图,在四边形ABCD中,点E在AD上,∠BCE=∠ACD=90°,∠1=∠D,BC=CE.求证:AC=CD.

4. 证明: $\because ∠ BCE=∠ ACD=90°,$ 即$∠ 3+∠ 4=∠ 4+∠ 2,\therefore ∠ 3=∠ 2.$ 在 $△ ABC$ 和 $△ DEC$ 中,
$\begin{cases} ∠ 1=∠ D,\\ ∠ 3=∠ 2,\\ BC=EC, \end{cases}$ $\therefore △ ABC ≌ △ DEC(\mathrm{AAS}),\therefore AC=CD.$