11.【原创题】如图，AD是$△ ABC$的高，E为AC上一点，BE交AD于点F，且$BF=AC$，$FD=CD$.试判断BE与AC的位置关系.

11. 解:$BE⊥ AC$,理由如下:$\because AD$是$△ ABC$的高,$\therefore ∠ BDF=∠ ADC=90°$.在$\mathrm{Rt}△ BDF$ 和 $\mathrm{Rt}△ ADC$中,$\begin{cases} BF=AC,\\ FD=CD, \end{cases}$$\therefore \mathrm{Rt}△ BDF≌\mathrm{Rt}△ ADC(\mathrm{HL}).\therefore ∠ DBF=∠ DAC.$
$\because ∠ DAC+∠ C=∠ BDF=90°,\therefore ∠ AEB=∠ DBF+∠ C=90°.\therefore BE⊥ AC.$

12. 如图，已知$AE⊥ BC$，$DF⊥ BC$，垂足分别为$E,F$，$AE=DF$，$AB=DC$.求证：
(1)$∠ ABE=∠ DCF$；
(2)$AC=DB$.

12. (1)证明:在$\mathrm{Rt}△ ABE$和$\mathrm{Rt}△ DCF$中,$\begin{cases} AB=DC,\\ AE=DF, \end{cases}$$\therefore \mathrm{Rt}△ ABE≌\mathrm{Rt}△ DCF(\mathrm{HL}),\therefore ∠ ABE=∠ DCF.$
(2)由(1)得$∠ ABE=∠ DCF$,在$△ ABC$ 和 $△ DCB$ 中,$\begin{cases} AB=DC,\\ ∠ ABC=∠ DCB,\\ BC=CB, \end{cases}$$\therefore △ ABC ≌△ DCB(\mathrm{SAS}),\therefore AC=DB.$

13.【核心素养·推理能力】
(1)母题:如图①,在△ABC中,∠ACB=90°.点D在△ABC外,连接AD,作DF⊥AB交AB于点E,交BC于点F,AD=AB,AE=AC,连接AF.求证:DF=BC+CF;
(2)类比探究:如图②,AB=AD,AC=AE,∠ACB=∠AED=90°,延长BC交DE于点F,写出DF,BC,CF之间的数量关系,并证明你的结论.

13. (1)证明:$\because DE⊥ AB,∠ ACB=90°,\therefore ∠ AED=∠ AEF=∠ ACB=90°$.在$\mathrm{Rt}△ ACF$ 和 $\mathrm{Rt}△ AEF$中,$\begin{cases} AF=AF,\\ AC=AE, \end{cases}$$\therefore \mathrm{Rt}△ ACF≌\mathrm{Rt}△ AEF(\mathrm{HL}),\therefore CF=EF$. 在$\mathrm{Rt}△ ADE$ 和 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,$\begin{cases} AD=AB,\\ AE=AC, \end{cases}$$\therefore \mathrm{Rt}△ ADE ≌ \mathrm{Rt}△ ABC(\mathrm{HL}),\therefore DE=BC,\therefore DF=DE+EF=BC+CF.$
(2)$BC=CF+DF$. 证明如下:连接$AF$. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$ 和 $\mathrm{Rt}△ ADE$ 中,$\begin{cases} AB=AD,\\ AC=AE, \end{cases}$$\therefore \mathrm{Rt}△ ABC ≌ \mathrm{Rt}△ ADE(\mathrm{HL}),\therefore BC=DE.$ $\because ∠ ACB=90°,\therefore ∠ ACF=90°=∠ AED.$在$\mathrm{Rt}△ ACF$ 和 $\mathrm{Rt}△ AEF$中,$\begin{cases} AF=AF,\\ AC=AE, \end{cases}$$\therefore \mathrm{Rt}△ ACF≌\mathrm{Rt}△ AEF(\mathrm{HL}),\therefore CF=EF.$ $\because DE=EF+DF,\therefore BC=CF+DF.$