3. 如图，点C，D在线段AB上，$AC+BD=9$，且$AD+BC=\dfrac{7}{5}AB$，设$CD=t$，求方程$3x-7(x-1)=\dfrac{t}{2}-2(x+3)$的解.

3. $t=6,x=5$

【分析】
解题分两步进行：第一步先求t的值，根据线段的和差关系，将AD、BC分别拆分为含AC、BD、CD的式子，结合已知的AD+BC与AB的数量关系，列关于t的方程求解；第二步将求得的t代入关于x的一元一次方程，按去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可得到x的值。
【解析】
1. 求参数t的值：
根据线段的和差关系可得：
$AD = AC + CD$，$BC = BD + CD$，
因此$AD+BC=(AC+CD)+(BD+CD)=(AC+BD)+2CD$，
已知$AC+BD=9$，$CD=t$，代入得$AD+BC=9+2t$。
又$AB=AC+CD+BD=(AC+BD)+CD=9+t$，
结合条件$AD+BC=\dfrac{7}{5}AB$，列方程：
$9+2t=\dfrac{7}{5}(9+t)$
两边同乘5消分母得：$45+10t=63+7t$
移项合并同类项得：$3t=18$
解得$t=6$。
2. 解关于x的方程：
将$t=6$代入方程$3x-7(x-1)=\dfrac{t}{2}-2(x+3)$，得：
$3x-7(x-1)=3-2(x+3)$
去括号：$3x-7x+7=3-2x-6$
合并同类项：$-4x+7=-2x-3$
移项：$-4x+2x=-3-7$
合并同类项：$-2x=-10$
系数化为1：$x=5$。
【答案】
$t=6,x=5$
【知识点】
线段的和差运算，解一元一次方程
【点评】
本题是线段运算和一元一次方程的综合基础题，解题核心是正确用线段的和差表示各段长度，求出参数t后再代入解方程，需要熟练掌握线段的表示方法和一元一次方程的求解步骤。
【难度系数】
0.7

4. 已知线段$AB=10\ \mathrm{cm}$，$C$为直线$AB$上一点，且$AC=2\ \mathrm{cm}$，$D$为线段$BC$的中点，求线段$AD$的长。

4. ① 如图1,若$C$为线段$BA$延长线上一点,因为线段$AB=10\ \mathrm{cm}$,$AC=2\ \mathrm{cm}$,所以$BC=AB+AC=10+2=12(\mathrm{cm})$,因为$D$为线段$BC$的中点,所以$CD=\frac{1}{2}BC=6(\mathrm{cm})$,所以$AD=CD-AC=6-2=4(\mathrm{cm})$;② 如图2,若$C$为线段$AB$上一点,因为线段$AB=10\ \mathrm{cm}$,$AC=2\ \mathrm{cm}$,所以$BC=AB-AC=8(\mathrm{cm})$,因为$D$为线段$BC$的中点,所以$CD=\frac{1}{2}BC=4(\mathrm{cm})$,所以$AD=CD+AC=6(\mathrm{cm})$. 综上所述,线段$AD$的长为6 cm或4 cm.

【分析】
题目中说明C是直线AB上的点，直线可向两端无限延伸，因此点C的位置存在两种情况：①点C在线段BA的延长线上；②点C在线段AB上。我们需要分这两种情况讨论，先根据线段的和差关系求出BC的长度，再利用线段中点的性质求出CD的长度，最后结合AC的长度计算出AD的长。
【解析】
分两种情况讨论：
① 如图1，若C为线段BA延长线上一点：
已知$AB=10\ \mathrm{cm}$，$AC=2\ \mathrm{cm}$，因此$BC = AB + AC = 10 + 2 = 12(\mathrm{cm})$。
因为D为线段BC的中点，根据线段中点的定义可得$CD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×12=6(\mathrm{cm})$。
因此$AD = CD - AC = 6 - 2 = 4(\mathrm{cm})$。
② 如图2，若C为线段AB上一点：
已知$AB=10\ \mathrm{cm}$，$AC=2\ \mathrm{cm}$，因此$BC = AB - AC = 10 - 2 = 8(\mathrm{cm})$。
因为D为线段BC的中点，根据线段中点的定义可得$CD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×8=4(\mathrm{cm})$。
因此$AD = CD + AC = 4 + 2 = 6(\mathrm{cm})$。
【答案】
综上所述，线段$AD$的长为6 cm或4 cm。


【知识点】
线段的和差运算，线段中点的定义，分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略点C在直线上的两种位置，导致漏解。解题时要注意直线可以向两端无限延伸的性质，全面考虑点的位置，结合线段中点的性质和和差运算即可求解。
【难度系数】
0.6

5. C是线段AB上的三等分点，D是线段AC的中点，E是线段BC的中点，若$CE=6$，求线段AB，AD的长。

5. ① 如图1,因为$C$是线段$AB$上的三等分点,所以$AB=3BC$,因为$E$是线段$BC$的中点,$CE=6$,所以$BC=2CE=12$,所以$AB=3×12=36$,因为$D$是线段$AC$的中点,所以$AD=\frac{1}{2}AC=12$;② 如图2,因为$E$是线段$BC$的中点,$CE=6$,所以$BC=2CE=12$,所以$AC=6$,因为$C$是线段$AB$上的三等分点,所以$AB=3AC=18$,因为$D$是线段$AC$的中点,所以$AD=\frac{1}{2}AC=3$. 综上所述,$AB=36$,$AD=12$或$AB=18$,$AD=3$.

【分析】
解决本题首先要明确：线段的三等分点有两种位置情况，分别是靠近端点A和靠近端点B的情况，需分类讨论避免漏解。解题时先从已知条件入手，E是BC中点且CE=6，根据线段中点的定义可先求出BC的长度，再结合C是AB三等分点的两种不同情况分别计算AB的长度，最后根据D是AC中点的条件求出对应AD的长度即可。
【解析】
分两种情况讨论：
① 对应图1，C为靠近B的三等分点：
∵ E是线段BC的中点，$CE=6$
∴ $BC=2CE=2×6=12$
∵ C是线段AB的三等分点，此时$BC=\frac{1}{3}AB$
∴ $AB=3BC=3×12=36$
∴ $AC=AB-BC=36-12=24$
又
∵ D是线段AC的中点
∴ $AD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×24=12$
② 对应图2，C为靠近A的三等分点：
∵ E是线段BC的中点，$CE=6$
∴ $BC=2CE=2×6=12$
∵ C是线段AB的三等分点，此时$AC=\frac{1}{3}AB$，即$BC=\frac{2}{3}AB$
∴ $AB=\frac{3}{2}BC=\frac{3}{2}×12=18$
∴ $AC=\frac{1}{3}AB=\frac{1}{3}×18=6$
又
∵ D是线段AC的中点
∴ $AD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×6=3$
【答案】
① 如图1,因为$C$是线段$AB$上的三等分点,所以$AB=3BC$,因为$E$是线段$BC$的中点,$CE=6$,所以$BC=2CE=12$,所以$AB=3×12=36$,因为$D$是线段$AC$的中点,所以$AD=\frac{1}{2}AC=12$;② 如图2,因为$E$是线段$BC$的中点,$CE=6$,所以$BC=2CE=12$,所以$AC=6$,因为$C$是线段$AB$上的三等分点,所以$AB=3AC=18$,因为$D$是线段$AC$的中点,所以$AD=\frac{1}{2}AC=3$. 综上所述,$AB=36$,$AD=12$或$AB=18$,$AD=3$.


【知识点】
线段中点定义，线段三等分点定义，线段和差计算
【点评】
本题重点考查线段相关的计算，解题时要注意线段的三等分点存在两种不同位置，需分类讨论避免漏解，结合中点的性质和线段的和差关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.6

6. 如图，M是线段AB上一定点，动点C在线段AM上，动点D在线段BM上，动点C，D分别从点M，B出发以1 cm/s，2 cm/s的速度沿线段AB向左运动，运动方向如箭头所示.
（1）若动点C，D运动时，总有MD=2AC，直接填空：AM=AB；
（2）在（1）的条件下，N是直线AB上一点，且AN－BN=MN，求$\frac{MN}{AB}$的值.

6. (1) $\frac{1}{3}$ (2) 当点$N$在线段$AB$上时,如图所示:

因为$AN-BN=MN$,$AN-AM=MN$,所以$AM=BN=\frac{1}{3}AB$,$MN=\frac{1}{3}AB$,即$\frac{MN}{AB}=\frac{1}{3}$;当点$N$在线段$AB$的延长线上时,如图所示:

因为$AN-BN=MN$,$AN-BN=AB$,所以$MN=AB$,即$\frac{MN}{AB}=1$. 综上所述,$\frac{MN}{AB}$的值为$\frac{1}{3}$或1.

【分析】
（1）先设运动时间为t，结合C、D的运动速度表示出MC、BD的长度，再将AC、MD用含AM、BM和t的式子表示，根据题设MD=2AC的等量关系化简消去t，得到AM和BM的数量关系，即可求出AM与AB的比值。
（2）N是直线AB上的点，位置不唯一，需分两种情况讨论：①N在线段AB上；②N在线段AB的延长线上，结合AN－BN=MN的条件和（1）中AM与AB的关系，推导MN和AB的数量关系，就能求出对应比值。
【解析】
（1）设点C、D的运动时间为t s，
由运动速度可得：$MC = 1× t = t\ \mathrm{cm}$，$BD = 2× t = 2t\ \mathrm{cm}$，
因此$AC = AM - MC = AM - t$，$MD = BM - BD = BM - 2t$，
已知$MD=2AC$，代入得：$BM - 2t = 2(AM - t)$，
化简后可得$BM=2AM$，
又$AB = AM + BM = AM + 2AM = 3AM$，因此$AM=\frac{1}{3}AB$。
（2）分两种情况讨论：
①当点N在线段AB上时：
因为$AN - BN = MN$，且$AN = AM + MN$，即$AN - AM = MN$，
对比两个式子可得$BN = AM$，由（1）知$AM=\frac{1}{3}AB$，所以$BN=\frac{1}{3}AB$，
因此$MN = AB - AM - BN = AB - \frac{1}{3}AB - \frac{1}{3}AB = \frac{1}{3}AB$，故$\frac{MN}{AB}=\frac{1}{3}$。
②当点N在线段AB的延长线上时：
此时$AN = AB + BN$，所以$AN - BN = AB$，
已知$AN - BN = MN$，因此$MN = AB$，故$\frac{MN}{AB}=1$。
【答案】
(1) $\frac{1}{3}$
(2) 当点$N$在线段$AB$上时,如图所示:

因为$AN-BN=MN$,$AN-AM=MN$,所以$AM=BN=\frac{1}{3}AB$,$MN=\frac{1}{3}AB$,即$\frac{MN}{AB}=\frac{1}{3}$;当点$N$在线段$AB$的延长线上时,如图所示:

因为$AN-BN=MN$,$AN-BN=AB$,所以$MN=AB$,即$\frac{MN}{AB}=1$. 综上所述,$\frac{MN}{AB}$的值为$\frac{1}{3}$或1.
【知识点】
线段的和差计算，动点问题，分类讨论思想
【点评】
本题围绕线段的动态运算展开，既需要结合动点的运动速度、时间对应线段长度，也要注意直线上点的位置不唯一，需要分类讨论避免漏解，能有效提升对线段关系的分析能力和逻辑严谨性。
【难度系数】
0.6