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7. 如图，已知直线上顺次三个点A,B,C，已知$AB=10\ \mathrm{cm}$，$BC=4\ \mathrm{cm}$。D是AC的中点，M是AB的中点，则MD的长是 （
A.4 cm
B.3 cm
C.2 cm
D.1 cm
C
）A.4 cm
B.3 cm
C.2 cm
D.1 cm
答案
7. C
解析
【分析】
解题时先根据点的顺次排列关系求出线段AC的总长度，再结合线段中点的性质分别算出AD、AM的长度，最后根据线段的差的关系，用AD减去AM即可求出MD的长度。
【解析】
∵ 点A、B、C顺次在直线上，
∴ $AC = AB + BC = 10\ \mathrm{cm} + 4\ \mathrm{cm} = 14\ \mathrm{cm}$，
∵ D是AC的中点，
∴ $AD = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} × 14\ \mathrm{cm} = 7\ \mathrm{cm}$，
∵ M是AB的中点，
∴ $AM = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 10\ \mathrm{cm} = 5\ \mathrm{cm}$，
∴ $MD = AD - AM = 7\ \mathrm{cm} - 5\ \mathrm{cm} = 2\ \mathrm{cm}$。
【答案】
C
【知识点】
线段中点的定义，线段的和差计算
【点评】
本题是线段运算的基础题型，解题关键是理清各线段的位置关系，结合中点性质准确计算各段长度，熟练掌握线段和差与中点的相关性质是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.8
解题时先根据点的顺次排列关系求出线段AC的总长度，再结合线段中点的性质分别算出AD、AM的长度，最后根据线段的差的关系，用AD减去AM即可求出MD的长度。
【解析】
∵ 点A、B、C顺次在直线上，
∴ $AC = AB + BC = 10\ \mathrm{cm} + 4\ \mathrm{cm} = 14\ \mathrm{cm}$，
∵ D是AC的中点，
∴ $AD = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} × 14\ \mathrm{cm} = 7\ \mathrm{cm}$，
∵ M是AB的中点，
∴ $AM = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 10\ \mathrm{cm} = 5\ \mathrm{cm}$，
∴ $MD = AD - AM = 7\ \mathrm{cm} - 5\ \mathrm{cm} = 2\ \mathrm{cm}$。
【答案】
C
【知识点】
线段中点的定义，线段的和差计算
【点评】
本题是线段运算的基础题型，解题关键是理清各线段的位置关系，结合中点性质准确计算各段长度，熟练掌握线段和差与中点的相关性质是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.8
8. 两条线段，一条长6 cm，另一条长10 cm，将它们一端重合且放在同一条直线上，则这两条线段的中点之间的距离是
2 cm或8 cm
。答案
8. 2 cm或8 cm
解析
【分析】
解决本题需先明确两条线段的摆放存在两种不同情况，要分类讨论避免漏解。第一步先根据线段中点的定义，分别算出两条线段的中点到重合端点的距离；第二步分两条线段在重合端点同侧、异侧两种情况，通过线段的和差运算计算两个中点的距离即可。
【解析】
设长度为6cm的线段为AB，长度为10cm的线段为AC，二者重合的端点为A，且都在同一条直线上。
根据线段中点的定义计算：
AB的中点到点A的距离：$6÷2=3\ \mathrm{cm}$
AC的中点到点A的距离：$10÷2=5\ \mathrm{cm}$
分两种情况讨论：
① 当AB、AC在点A的同侧时，两个中点的距离为$5-3=2\ \mathrm{cm}$
② 当AB、AC在点A的异侧时，两个中点的距离为$5+3=8\ \mathrm{cm}$
因此两条线段的中点之间的距离为2cm或8cm。
【答案】
2 cm或8 cm
【知识点】
线段中点的定义，线段的和差运算，分类讨论思想
【点评】
本题属于易错题，解题时很容易忽略线段摆放的两种位置情况导致漏解，需要养成全面思考的习惯，提升思维的严谨性。
【难度系数】
0.7
解决本题需先明确两条线段的摆放存在两种不同情况，要分类讨论避免漏解。第一步先根据线段中点的定义，分别算出两条线段的中点到重合端点的距离；第二步分两条线段在重合端点同侧、异侧两种情况，通过线段的和差运算计算两个中点的距离即可。
【解析】
设长度为6cm的线段为AB，长度为10cm的线段为AC，二者重合的端点为A，且都在同一条直线上。
根据线段中点的定义计算：
AB的中点到点A的距离：$6÷2=3\ \mathrm{cm}$
AC的中点到点A的距离：$10÷2=5\ \mathrm{cm}$
分两种情况讨论：
① 当AB、AC在点A的同侧时，两个中点的距离为$5-3=2\ \mathrm{cm}$
② 当AB、AC在点A的异侧时，两个中点的距离为$5+3=8\ \mathrm{cm}$
因此两条线段的中点之间的距离为2cm或8cm。
【答案】
2 cm或8 cm
【知识点】
线段中点的定义，线段的和差运算，分类讨论思想
【点评】
本题属于易错题，解题时很容易忽略线段摆放的两种位置情况导致漏解，需要养成全面思考的习惯，提升思维的严谨性。
【难度系数】
0.7
9. 如图,有公共端点P的两条线段MP,NP组成一条折线M—P—N,若该折线M—P—N上一点Q把这条折线分成相等的两部分,我们把这个点Q叫作这条折线的“折中点”.已知点D是折线A—C—B的“折中点”,E为线段AC的中点,CD=5,CE=7,则线段BC的长为
24或4
.答案
9. 24或4
解析
【分析】
首先理解“折中点”的定义：点D将折线A-C-B分成长度相等的两部分，即折线A到D的长度=折线D到B的长度。第一步先根据E是AC中点、CE=7求出AC的长度；第二步分两种情况讨论点D的位置：①点D在线段AC上，②点D在线段BC上，分别根据折中点的等量关系列式计算BC的长度即可。
【解析】
∵E为线段AC的中点，CE=7
∴AC=2CE=2×7=14
分两种情况讨论：
情况1：点D在线段AC上
此时折线A-D的长度为AD，折线D-B的长度为DC+BC
∵D是折中点，
∴AD=DC+BC
又AD=AC-CD=14-5=9，CD=5
∴9=5+BC，解得BC=4
情况2：点D在线段BC上
此时折线A-D的长度为AC+CD，折线D-B的长度为BD
∵D是折中点，
∴AC+CD=BD
代入AC=14，CD=5，得BD=14+5=19
∴BC=BD+CD=19+5=24
综上，BC的长为24或4。
【答案】
24或4
【知识点】
线段中点的定义，线段的和差计算，新定义理解
【点评】
本题属于新定义类题型，解题关键是准确理解“折中点”的含义，结合线段和差关系计算，注意需分点的位置分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
首先理解“折中点”的定义：点D将折线A-C-B分成长度相等的两部分，即折线A到D的长度=折线D到B的长度。第一步先根据E是AC中点、CE=7求出AC的长度；第二步分两种情况讨论点D的位置：①点D在线段AC上，②点D在线段BC上，分别根据折中点的等量关系列式计算BC的长度即可。
【解析】
∵E为线段AC的中点，CE=7
∴AC=2CE=2×7=14
分两种情况讨论：
情况1：点D在线段AC上
此时折线A-D的长度为AD，折线D-B的长度为DC+BC
∵D是折中点，
∴AD=DC+BC
又AD=AC-CD=14-5=9，CD=5
∴9=5+BC，解得BC=4
情况2：点D在线段BC上
此时折线A-D的长度为AC+CD，折线D-B的长度为BD
∵D是折中点，
∴AC+CD=BD
代入AC=14，CD=5，得BD=14+5=19
∴BC=BD+CD=19+5=24
综上，BC的长为24或4。
【答案】
24或4
【知识点】
线段中点的定义，线段的和差计算，新定义理解
【点评】
本题属于新定义类题型，解题关键是准确理解“折中点”的含义，结合线段和差关系计算，注意需分点的位置分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
10. 如图，点C，D，E在线段AB上，线段AB＝12，C是线段AB上靠近点A的三等分点.E是线段BD的中点，且图中所有线段的长度和是线段AD的长度的10倍.求CD的长度.
答案
10. 因为C是线段AB上靠近点A的三等分点,所以$AC=\frac{1}{3}AB=4$,$BC=AB-AC=8$. 设$DE$的长是$x$,因为$E$是线段$BD$的中点,所以$BE=DE=x$,$BD=2DE=2x$,$CD=8-2x$,$CE=8-2x+x=8-x$,$AD=12-2x$,因为图中共有10条线段,它们的线段和为$AC+AD+AE+AB+CD+CE+CB+DE+DB+BE=4AB+2CE=48+2(8-x)=64-2x$,且图中所有线段的长度和是线段$AD$的长度的10倍,所以$64-2x=10(12-2x)$,解得$x=\frac{28}{9}$,所以$CD=8-2x=8-2×\frac{28}{9}=\frac{16}{9}$.
解析
【分析】
解题时首先从已知的三等分点条件入手，先算出AC、BC的长度；再利用E是BD中点的性质，设未知量表示出DE、BE、BD的长度，进而可以用含未知量的式子表示出图中其余线段的长度；接下来数清图中所有的线段，计算出所有线段的长度和的表达式，再根据“所有线段长度和是AD的10倍”这一等量关系列方程，解出未知量后就能算出CD的长度。
【解析】
因为C是线段AB上靠近点A的三等分点，$AB=12$，
所以$AC=\frac{1}{3}AB=\frac{1}{3}×12=4$，$BC=AB-AC=12-4=8$。
设$DE$的长是$x$，因为$E$是线段$BD$的中点，
所以$BE=DE=x$，$BD=2DE=2x$，
因此$CD=BC-BD=8-2x$，$CE=CD+DE=8-2x+x=8-x$，$AD=AB-BD=12-2x$。
图中共有10条线段，分别为AC、AD、AE、AB、CD、CE、CB、DE、DB、BE，
所有线段的长度和为：
$AC+AD+AE+AB+CD+CE+CB+DE+DB+BE=4AB+2CE=4×12+2(8-x)=64-2x$。
根据题意，所有线段的长度和是线段AD长度的10倍，列方程得：
$64-2x=10(12-2x)$
解方程：
$64-2x=120-20x$
$18x=56$
$x=\frac{28}{9}$
因此$CD=8-2x=8-2×\frac{28}{9}=\frac{16}{9}$。
【答案】
$\frac{16}{9}$
【知识点】
线段的和差运算，线段中点的定义，三等分点的定义
【点评】
本题属于线段运算的综合题型，解题核心是准确枚举所有线段，合理设未知数表示各线段长度，结合题目给出的等量关系列方程求解，答题时需注意不要漏数线段，保证计算准确。
【难度系数】
0.6
解题时首先从已知的三等分点条件入手，先算出AC、BC的长度；再利用E是BD中点的性质，设未知量表示出DE、BE、BD的长度，进而可以用含未知量的式子表示出图中其余线段的长度；接下来数清图中所有的线段，计算出所有线段的长度和的表达式，再根据“所有线段长度和是AD的10倍”这一等量关系列方程，解出未知量后就能算出CD的长度。
【解析】
因为C是线段AB上靠近点A的三等分点，$AB=12$，
所以$AC=\frac{1}{3}AB=\frac{1}{3}×12=4$，$BC=AB-AC=12-4=8$。
设$DE$的长是$x$，因为$E$是线段$BD$的中点，
所以$BE=DE=x$，$BD=2DE=2x$，
因此$CD=BC-BD=8-2x$，$CE=CD+DE=8-2x+x=8-x$，$AD=AB-BD=12-2x$。
图中共有10条线段，分别为AC、AD、AE、AB、CD、CE、CB、DE、DB、BE，
所有线段的长度和为：
$AC+AD+AE+AB+CD+CE+CB+DE+DB+BE=4AB+2CE=4×12+2(8-x)=64-2x$。
根据题意，所有线段的长度和是线段AD长度的10倍，列方程得：
$64-2x=10(12-2x)$
解方程：
$64-2x=120-20x$
$18x=56$
$x=\frac{28}{9}$
因此$CD=8-2x=8-2×\frac{28}{9}=\frac{16}{9}$。
【答案】
$\frac{16}{9}$
【知识点】
线段的和差运算，线段中点的定义，三等分点的定义
【点评】
本题属于线段运算的综合题型，解题核心是准确枚举所有线段，合理设未知数表示各线段长度，结合题目给出的等量关系列方程求解，答题时需注意不要漏数线段，保证计算准确。
【难度系数】
0.6
1. 如图，一根长10 cm的木棒，木棒上有两个刻度，把它作为尺子，量一次可量出
6
个长度。答案
1. 6
解析
【分析】
要确定能量出的长度数量，首先明确尺子上共有0、2、7、10四个刻度，量一次得到的长度就是任意两个刻度之间的距离，我们可以有序列举出所有两个刻度的组合，计算它们的差值，统计不同差值的个数即可，列举时要按顺序，避免重复或遗漏。
【解析】
尺子上的刻度为0cm、2cm、7cm、10cm，分别计算任意两个刻度的距离：
1. 0与2的距离：$2-0=2\ \mathrm{cm}$
2. 0与7的距离：$7-0=7\ \mathrm{cm}$
3. 0与10的距离：$10-0=10\ \mathrm{cm}$
4. 2与7的距离：$7-2=5\ \mathrm{cm}$
5. 2与10的距离：$10-2=8\ \mathrm{cm}$
6. 7与10的距离：$10-7=3\ \mathrm{cm}$
以上6个长度均不重复，因此量一次可量出6个长度。
【答案】
6
【知识点】
线段计数、两点间的距离
【点评】
本题是线段计数的实际应用类题目，解题的关键是有序列举所有两点组合，不要漏数或者重复计数，同时确认所得长度没有重复即可得到正确结果。
【难度系数】
0.7
要确定能量出的长度数量，首先明确尺子上共有0、2、7、10四个刻度，量一次得到的长度就是任意两个刻度之间的距离，我们可以有序列举出所有两个刻度的组合，计算它们的差值，统计不同差值的个数即可，列举时要按顺序，避免重复或遗漏。
【解析】
尺子上的刻度为0cm、2cm、7cm、10cm，分别计算任意两个刻度的距离：
1. 0与2的距离：$2-0=2\ \mathrm{cm}$
2. 0与7的距离：$7-0=7\ \mathrm{cm}$
3. 0与10的距离：$10-0=10\ \mathrm{cm}$
4. 2与7的距离：$7-2=5\ \mathrm{cm}$
5. 2与10的距离：$10-2=8\ \mathrm{cm}$
6. 7与10的距离：$10-7=3\ \mathrm{cm}$
以上6个长度均不重复，因此量一次可量出6个长度。
【答案】
6
【知识点】
线段计数、两点间的距离
【点评】
本题是线段计数的实际应用类题目，解题的关键是有序列举所有两点组合，不要漏数或者重复计数，同时确认所得长度没有重复即可得到正确结果。
【难度系数】
0.7
2. 已知线段$AB=16$，$C,D$是线段$AB$上的两个动点，则下列结论：
① 若$C$是$AB$的中点，点$D$在线段$CB$上，$DB=3$，则$CD=5$；
② 若$AC+BD=\frac{1}{2}CD$，则$CD=\frac{32}{3}$；
③ 若$CD=4$，且$AC:BD=1:2$，则$AC=4$；
④ 若$D$是$BC$的中点，$AC=6+a(a＞0)$，则$AC＞BD$。
其中正确的结论为
① 若$C$是$AB$的中点，点$D$在线段$CB$上，$DB=3$，则$CD=5$；
② 若$AC+BD=\frac{1}{2}CD$，则$CD=\frac{32}{3}$；
③ 若$CD=4$，且$AC:BD=1:2$，则$AC=4$；
④ 若$D$是$BC$的中点，$AC=6+a(a＞0)$，则$AC＞BD$。
其中正确的结论为
①②④
（填序号）。答案
2. ①②④
解析
【分析】
要判断4个结论是否正确，需逐个结合线段和差关系、中点性质，以及AB总长为16的条件计算验证。对于涉及动点的结论，要注意考虑点的位置顺序，判断是否存在多种情况，再和结论给出的结果对比即可。
【解析】
我们逐个验证每个结论：
① 已知$AB=16$，$C$是$AB$的中点，因此$CB=\frac{1}{2}AB=8$。又点$D$在线段$CB$上，$DB=3$，所以$CD=CB-DB=8-3=5$，故①正确；
② 因为$C、D$是$AB$上的点，所以$AC+CD+BD=AB=16$。已知$AC+BD=\frac{1}{2}CD$，代入得$\frac{1}{2}CD + CD =16$，即$\frac{3}{2}CD=16$，解得$CD=\frac{32}{3}$，故②正确；
③ 已知$CD=4$，若点的顺序为$A、C、D、B$，则$AC+BD=AB-CD=12$，结合$AC:BD=1:2$，可求得$AC=4$；若点的顺序为$A、D、C、B$，则$AC+BD=AB+CD=20$，结合$AC:BD=1:2$，可求得$AC=\frac{20}{3}$，即$AC$的取值不唯一，故③错误；
④ 已知$AC=6+a(a＞0)$，则$BC=AB-AC=16-(6+a)=10-a$。因为$D$是$BC$的中点，所以$BD=\frac{1}{2}BC=\frac{10-a}{2}$。作差比较大小：$AC-BD=6+a-\frac{10-a}{2}=\frac{2+3a}{2}$，因为$a＞0$，所以$\frac{2+3a}{2}＞0$，即$AC＞BD$，故④正确。
【答案】
①②④
【知识点】
线段和差运算；线段中点的性质；线段比例计算
【点评】
本题考查线段相关的计算，解题时需熟练运用线段的和差、中点性质，遇到动点问题时要注意考虑点的位置顺序，避免因忽略多种情况出现判断失误。
【难度系数】
0.7
要判断4个结论是否正确，需逐个结合线段和差关系、中点性质，以及AB总长为16的条件计算验证。对于涉及动点的结论，要注意考虑点的位置顺序，判断是否存在多种情况，再和结论给出的结果对比即可。
【解析】
我们逐个验证每个结论：
① 已知$AB=16$，$C$是$AB$的中点，因此$CB=\frac{1}{2}AB=8$。又点$D$在线段$CB$上，$DB=3$，所以$CD=CB-DB=8-3=5$，故①正确；
② 因为$C、D$是$AB$上的点，所以$AC+CD+BD=AB=16$。已知$AC+BD=\frac{1}{2}CD$，代入得$\frac{1}{2}CD + CD =16$，即$\frac{3}{2}CD=16$，解得$CD=\frac{32}{3}$，故②正确；
③ 已知$CD=4$，若点的顺序为$A、C、D、B$，则$AC+BD=AB-CD=12$，结合$AC:BD=1:2$，可求得$AC=4$；若点的顺序为$A、D、C、B$，则$AC+BD=AB+CD=20$，结合$AC:BD=1:2$，可求得$AC=\frac{20}{3}$，即$AC$的取值不唯一，故③错误；
④ 已知$AC=6+a(a＞0)$，则$BC=AB-AC=16-(6+a)=10-a$。因为$D$是$BC$的中点，所以$BD=\frac{1}{2}BC=\frac{10-a}{2}$。作差比较大小：$AC-BD=6+a-\frac{10-a}{2}=\frac{2+3a}{2}$，因为$a＞0$，所以$\frac{2+3a}{2}＞0$，即$AC＞BD$，故④正确。
【答案】
①②④
【知识点】
线段和差运算；线段中点的性质；线段比例计算
【点评】
本题考查线段相关的计算，解题时需熟练运用线段的和差、中点性质，遇到动点问题时要注意考虑点的位置顺序，避免因忽略多种情况出现判断失误。
【难度系数】
0.7
