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8.(数学文化)《孙子算经》中载有“今有出门望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢……”大意为:今天出门看见9座堤坝，每座堤坝上有9棵树，每棵树上有9根树枝，每根树枝上有9个鸟巢……文中的鸟巢共有().
A.$9^3$个
B.$10^3$个
C.$9^4$个
D.$10^4$个
A.$9^3$个
B.$10^3$个
C.$9^4$个
D.$10^4$个
答案
C
解析
【分析】
本题考查乘方的实际应用，解题思路如下：首先明确乘方的意义是几个相同因数相乘的简便运算，我们需要先理清从堤坝到鸟巢之间的数量层级关系，数清楚一共有多少个9相乘，即可对应得到乘方的结果。首先梳理层级：堤坝是第一层，数量为9；每座堤坝的树是第二层，总数量为2个9相乘；每棵树的树枝是第三层，总数量为3个9相乘；每根树枝的鸟巢是第四层，总数量为4个9相乘，即可得到鸟巢总数对应的乘方形式。
【解析】
解：根据题意逐层计算数量：
1. 堤坝总数量：$ 9 $ 座；
2. 树的总数量：每座堤坝有9棵树，总数量为 $ 9×9=9^2 $ 棵；
3. 树枝的总数量：每棵树有9根树枝，总数量为 $ 9^2×9=9^3 $ 根；
4. 鸟巢的总数量：每根树枝有9个鸟巢，总数量为 $ 9^3×9=9^4 $ 个。
因此鸟巢共有 $ 9^4 $ 个，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
乘方的意义；乘方的实际应用
【点评】
本题结合传统数学文化《孙子算经》的内容考查乘方的应用，解题的核心是理清题意中的数量层级，明确几个相同的数相乘即可写成对应底数的乘方形式，只要细心梳理层级关系就能轻松解题。
【难度系数】
0.8
本题考查乘方的实际应用，解题思路如下：首先明确乘方的意义是几个相同因数相乘的简便运算，我们需要先理清从堤坝到鸟巢之间的数量层级关系，数清楚一共有多少个9相乘，即可对应得到乘方的结果。首先梳理层级：堤坝是第一层，数量为9；每座堤坝的树是第二层，总数量为2个9相乘；每棵树的树枝是第三层，总数量为3个9相乘；每根树枝的鸟巢是第四层，总数量为4个9相乘，即可得到鸟巢总数对应的乘方形式。
【解析】
解：根据题意逐层计算数量：
1. 堤坝总数量：$ 9 $ 座；
2. 树的总数量：每座堤坝有9棵树，总数量为 $ 9×9=9^2 $ 棵；
3. 树枝的总数量：每棵树有9根树枝，总数量为 $ 9^2×9=9^3 $ 根；
4. 鸟巢的总数量：每根树枝有9个鸟巢，总数量为 $ 9^3×9=9^4 $ 个。
因此鸟巢共有 $ 9^4 $ 个，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
乘方的意义；乘方的实际应用
【点评】
本题结合传统数学文化《孙子算经》的内容考查乘方的应用，解题的核心是理清题意中的数量层级，明确几个相同的数相乘即可写成对应底数的乘方形式，只要细心梳理层级关系就能轻松解题。
【难度系数】
0.8
9.有一张面积为$64\ \mathrm{m}^2$的正方形纸片，第1次剪掉一半，第2次剪掉剩下纸片的一半，如此继续下去，第6次后剩下的纸片的面积是多少？
答案
解：
第1次后剩下的纸片面积为 $64×\frac{1}{2}\ \mathrm{m}^2$，
第2次后剩下的纸片面积为 $64×(\frac{1}{2})^2\ \mathrm{m}^2$，
以此类推，第6次后剩下的纸片面积为：
$\begin{aligned}64×(\frac{1}{2})^6&=64×\frac{1}{64}\\&=1\ (\mathrm{m}^2)\end{aligned}$
答：第6次后剩下的纸片的面积是$1\ \mathrm{m}^2$。
第1次后剩下的纸片面积为 $64×\frac{1}{2}\ \mathrm{m}^2$，
第2次后剩下的纸片面积为 $64×(\frac{1}{2})^2\ \mathrm{m}^2$，
以此类推，第6次后剩下的纸片面积为：
$\begin{aligned}64×(\frac{1}{2})^6&=64×\frac{1}{64}\\&=1\ (\mathrm{m}^2)\end{aligned}$
答：第6次后剩下的纸片的面积是$1\ \mathrm{m}^2$。
解析
【分析】
我们可以先从前几次裁剪后剩余的面积入手寻找规律：每次剪掉一半，说明每次剩余的面积都是裁剪前面积的$\frac{1}{2}$，因此第1次剪完剩余面积是原面积乘$\frac{1}{2}$，第2次剪完剩余面积是原面积乘2个$\frac{1}{2}$也就是$(\frac{1}{2})^2$，以此类推，第n次剪完剩余的面积就是原面积乘$(\frac{1}{2})^n$，本题中裁剪次数为6，代入规律计算即可。
【解析】
第1次剪掉一半后，剩下的纸片面积为 $64×\frac{1}{2}\ \mathrm{m}^2$，
第2次剪掉剩下的一半后，剩下的纸片面积为 $64×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=64×(\frac{1}{2})^2\ \mathrm{m}^2$，
总结规律可得：第k次裁剪后，剩下的纸片面积为$64×(\frac{1}{2})^k\ \mathrm{m}^2$。
当k=6时，剩余面积为：
$\begin{aligned}64×(\frac{1}{2})^6&=64×\frac{1}{64}\\&=1\ (\mathrm{m}^2)\end{aligned}$
答：第6次后剩下的纸片的面积是$1\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
$1\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
有理数乘方运算，规律探究
【点评】
本题是乘方在实际场景中的应用，解题核心是通过前几次的操作结果归纳出剩余面积的通用表达式，既考察基础的乘方运算能力，也锻炼从特殊到一般的归纳思维。
【难度系数】
0.8
我们可以先从前几次裁剪后剩余的面积入手寻找规律：每次剪掉一半，说明每次剩余的面积都是裁剪前面积的$\frac{1}{2}$，因此第1次剪完剩余面积是原面积乘$\frac{1}{2}$，第2次剪完剩余面积是原面积乘2个$\frac{1}{2}$也就是$(\frac{1}{2})^2$，以此类推，第n次剪完剩余的面积就是原面积乘$(\frac{1}{2})^n$，本题中裁剪次数为6，代入规律计算即可。
【解析】
第1次剪掉一半后，剩下的纸片面积为 $64×\frac{1}{2}\ \mathrm{m}^2$，
第2次剪掉剩下的一半后，剩下的纸片面积为 $64×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=64×(\frac{1}{2})^2\ \mathrm{m}^2$，
总结规律可得：第k次裁剪后，剩下的纸片面积为$64×(\frac{1}{2})^k\ \mathrm{m}^2$。
当k=6时，剩余面积为：
$\begin{aligned}64×(\frac{1}{2})^6&=64×\frac{1}{64}\\&=1\ (\mathrm{m}^2)\end{aligned}$
答：第6次后剩下的纸片的面积是$1\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
$1\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
有理数乘方运算，规律探究
【点评】
本题是乘方在实际场景中的应用，解题核心是通过前几次的操作结果归纳出剩余面积的通用表达式，既考察基础的乘方运算能力，也锻炼从特殊到一般的归纳思维。
【难度系数】
0.8
10.(易错题)下列各式中,相等的是().
A.$2^3$和$3^2$
B.$-(-2)$和$-|-2|$
C.$(-2)^3$和$|-2|^3$
D.$(-3)^3$和$-3^3$
A.$2^3$和$3^2$
B.$-(-2)$和$-|-2|$
C.$(-2)^3$和$|-2|^3$
D.$(-3)^3$和$-3^3$
答案
D
解析
【分析】
本题考查有理数乘方、绝对值、相反数的相关计算，解题思路为分别计算每个选项中两个式子的结果，对比结果是否相等即可。计算时要注意：①乘方运算要先明确底数，带括号的乘方底数为括号内的整体，不带括号的乘方要注意负号不属于底数；②运算顺序为先算乘方、绝对值，再化简符号，通过逐个排查选项得到正确答案。
【解析】
我们逐一计算各选项的两个式子：
A选项：$2^3=2×2×2=8$，$3^2=3×3=9$，$8≠9$，故A不符合题意；
B选项：$-(-2)=2$，$-|-2|=-2$，$2≠-2$，故B不符合题意；
C选项：$(-2)^3=(-2)×(-2)×(-2)=-8$，$|-2|^3=2^3=8$，$-8≠8$，故C不符合题意；
D选项：$(-3)^3=(-3)×(-3)×(-3)=-27$，$-3^3=-3×3×3=-27$，两式结果相等，故D符合题意。
【答案】
D
【知识点】
有理数乘方运算，绝对值的性质，相反数的化简
【点评】
本题属于易错题，出错点多为混淆乘方的底数，比如无法区分$(-a)^n$和$-a^n$的运算差异，或是化简绝对值、相反数时符号出错。解题时按照运算顺序逐步计算，逐个验证选项可有效降低错误率。
【难度系数】
0.7
本题考查有理数乘方、绝对值、相反数的相关计算，解题思路为分别计算每个选项中两个式子的结果，对比结果是否相等即可。计算时要注意：①乘方运算要先明确底数，带括号的乘方底数为括号内的整体，不带括号的乘方要注意负号不属于底数；②运算顺序为先算乘方、绝对值，再化简符号，通过逐个排查选项得到正确答案。
【解析】
我们逐一计算各选项的两个式子：
A选项：$2^3=2×2×2=8$，$3^2=3×3=9$，$8≠9$，故A不符合题意；
B选项：$-(-2)=2$，$-|-2|=-2$，$2≠-2$，故B不符合题意；
C选项：$(-2)^3=(-2)×(-2)×(-2)=-8$，$|-2|^3=2^3=8$，$-8≠8$，故C不符合题意；
D选项：$(-3)^3=(-3)×(-3)×(-3)=-27$，$-3^3=-3×3×3=-27$，两式结果相等，故D符合题意。
【答案】
D
【知识点】
有理数乘方运算，绝对值的性质，相反数的化简
【点评】
本题属于易错题，出错点多为混淆乘方的底数，比如无法区分$(-a)^n$和$-a^n$的运算差异，或是化简绝对值、相反数时符号出错。解题时按照运算顺序逐步计算，逐个验证选项可有效降低错误率。
【难度系数】
0.7
11.已知$a,b$互为相反数，$c,d$互为倒数，$x$的绝对值为2，则$x^2+(a+b)^9+(-cd)^{99}=$
答案
$\boldsymbol{3}$
解析
【分析】
解题时首先回忆相反数、倒数、绝对值的基本性质，先根据题目给出的条件分别求出a+b、cd、x²的值，再将这些值代入所求代数式，按照有理数乘方、加减的运算顺序逐步计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵a、b互为相反数，
∴a+b=0；
∵c、d互为倒数，
∴cd=1；
∵x的绝对值为2，即|x|=2，
∴x²=|x|²=2²=4。
将上述值代入代数式：
$x^2+(a+b)^9+(-cd)^{99}$
$=4 + 0^9 + (-1)^{99}$
根据乘方的性质：0的正整数次幂为0，-1的奇数次幂为-1，可得：
$=4 + 0 + (-1)$
$=3$
【答案】
$3$
【知识点】
相反数的性质，倒数的性质，有理数乘方运算
【点评】
本题属于基础运算类题型，核心是对基础概念的掌握，只要熟练运用相反数、倒数、绝对值的性质求出对应值，再注意乘方运算的符号规则，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆相反数、倒数、绝对值的基本性质，先根据题目给出的条件分别求出a+b、cd、x²的值，再将这些值代入所求代数式，按照有理数乘方、加减的运算顺序逐步计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵a、b互为相反数，
∴a+b=0；
∵c、d互为倒数，
∴cd=1；
∵x的绝对值为2，即|x|=2，
∴x²=|x|²=2²=4。
将上述值代入代数式：
$x^2+(a+b)^9+(-cd)^{99}$
$=4 + 0^9 + (-1)^{99}$
根据乘方的性质：0的正整数次幂为0，-1的奇数次幂为-1，可得：
$=4 + 0 + (-1)$
$=3$
【答案】
$3$
【知识点】
相反数的性质，倒数的性质，有理数乘方运算
【点评】
本题属于基础运算类题型，核心是对基础概念的掌握，只要熟练运用相反数、倒数、绝对值的性质求出对应值，再注意乘方运算的符号规则，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8
12.如图,一质点P从距原点1个单位长度的点A处向原点方向跳动,第一次跳动到OA的中点$A_1$处,第二次从点$A_1$跳动到$OA_1$的中点$A_2$处,第三次从点$A_2$跳动到$OA_2$的中点$A_3$处,如此不断跳动下去,则第五次跳动后,该质点到原点O的距离为.
答案
解：
由题意得：
初始时$OA=1$，
第1次跳动后，质点到原点的距离$OA_1=\frac{1}{2}OA=\frac{1}{2}=\frac{1}{2^1}$，
第2次跳动后，质点到原点的距离$OA_2=\frac{1}{2}OA_1=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{2^2}$，
第3次跳动后，质点到原点的距离$OA_3=\frac{1}{2}OA_2=\frac{1}{2}×\frac{1}{2^2}=\frac{1}{2^3}$，
以此类推，第$n$次跳动后，质点到原点的距离为$\frac{1}{2^n}$。
当$n=5$时，质点到原点的距离为$\frac{1}{2^5}=\frac{1}{32}$。
$\frac{1}{32}$
由题意得：
初始时$OA=1$，
第1次跳动后，质点到原点的距离$OA_1=\frac{1}{2}OA=\frac{1}{2}=\frac{1}{2^1}$，
第2次跳动后，质点到原点的距离$OA_2=\frac{1}{2}OA_1=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{2^2}$，
第3次跳动后，质点到原点的距离$OA_3=\frac{1}{2}OA_2=\frac{1}{2}×\frac{1}{2^2}=\frac{1}{2^3}$，
以此类推，第$n$次跳动后，质点到原点的距离为$\frac{1}{2^n}$。
当$n=5$时，质点到原点的距离为$\frac{1}{2^5}=\frac{1}{32}$。
$\frac{1}{32}$
解析
【分析】
首先明确质点跳动的特征：每次都会跳到当前位置与原点连线的中点处，因此每次跳动后到原点的距离都是跳动前的$\frac{1}{2}$。我们可以先计算前几次跳动后质点到原点的距离，从中总结出第n次跳动后距离的通用规律，再将n=5代入规律就能求出结果。
【解析】
解：由题意可知，初始时质点在A点，到原点O的距离$OA=1$。
第1次跳动到$A_1$后，到原点的距离$OA_1=\frac{1}{2}OA=\frac{1}{2}=\frac{1}{2^1}$；
第2次跳动到$A_2$后，到原点的距离$OA_2=\frac{1}{2}OA_1=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{2^2}$；
第3次跳动到$A_3$后，到原点的距离$OA_3=\frac{1}{2}OA_2=\frac{1}{2}×\frac{1}{2^2}=\frac{1}{2^3}$；
以此类推，可得第$n$次跳动后，质点到原点O的距离为$\frac{1}{2^n}$。
当$n=5$时，质点到原点的距离为$\frac{1}{2^5}=\frac{1}{32}$。
【答案】
$\frac{1}{32}$
【知识点】
有理数的乘方；规律探究；中点的性质
【点评】
本题属于规律探究类基础题，结合线段中点的性质考查乘方的实际应用，解题的核心是通过前几次的距离变化归纳出通用的规律表达式，再代入对应数值求解，整体思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
首先明确质点跳动的特征：每次都会跳到当前位置与原点连线的中点处，因此每次跳动后到原点的距离都是跳动前的$\frac{1}{2}$。我们可以先计算前几次跳动后质点到原点的距离，从中总结出第n次跳动后距离的通用规律，再将n=5代入规律就能求出结果。
【解析】
解：由题意可知，初始时质点在A点，到原点O的距离$OA=1$。
第1次跳动到$A_1$后，到原点的距离$OA_1=\frac{1}{2}OA=\frac{1}{2}=\frac{1}{2^1}$；
第2次跳动到$A_2$后，到原点的距离$OA_2=\frac{1}{2}OA_1=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{2^2}$；
第3次跳动到$A_3$后，到原点的距离$OA_3=\frac{1}{2}OA_2=\frac{1}{2}×\frac{1}{2^2}=\frac{1}{2^3}$；
以此类推，可得第$n$次跳动后，质点到原点O的距离为$\frac{1}{2^n}$。
当$n=5$时，质点到原点的距离为$\frac{1}{2^5}=\frac{1}{32}$。
【答案】
$\frac{1}{32}$
【知识点】
有理数的乘方；规律探究；中点的性质
【点评】
本题属于规律探究类基础题，结合线段中点的性质考查乘方的实际应用，解题的核心是通过前几次的距离变化归纳出通用的规律表达式，再代入对应数值求解，整体思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
13.计算：
(1)$\frac{4}{9} × (-\frac{2}{3})^2$；
(2)$-\frac{1}{3} × (-3)^3$。
(1)$\frac{4}{9} × (-\frac{2}{3})^2$；
(2)$-\frac{1}{3} × (-3)^3$。
答案
解：
(1)
$\begin{aligned}\frac{4}{9}×(-\frac{2}{3})^2&=\frac{4}{9}×\frac{4}{9}\\&=\frac{16}{81}\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}-\frac{1}{3}×(-3)^3&=-\frac{1}{3}×(-27)\\&=9\end{aligned}$
(1)
$\begin{aligned}\frac{4}{9}×(-\frac{2}{3})^2&=\frac{4}{9}×\frac{4}{9}\\&=\frac{16}{81}\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}-\frac{1}{3}×(-3)^3&=-\frac{1}{3}×(-27)\\&=9\end{aligned}$
解析
【分析】
这两道题属于有理数的乘方与乘法的混合运算，解题时遵循“先算乘方，再算乘法”的运算顺序即可。第一步先计算乘方部分：计算乘方时要注意符号规则，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数；第二步再按照有理数乘法的运算法则计算乘法，同号得正、异号得负，再把绝对值相乘。
【解析】
(1)
$\begin{aligned}\frac{4}{9}×(-\frac{2}{3})^2&=\frac{4}{9}×\frac{4}{9}\\&=\frac{16}{81}\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}-\frac{1}{3}×(-3)^3&=-\frac{1}{3}×(-27)\\&=9\end{aligned}$
【答案】
(1)$\frac{16}{81}$；(2)$9$
【知识点】
有理数乘方运算；有理数乘法运算
【点评】
本题是有理数混合运算的基础题型，解题的核心是牢记运算顺序和乘方的符号法则，计算时注意不要弄错符号即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
这两道题属于有理数的乘方与乘法的混合运算，解题时遵循“先算乘方，再算乘法”的运算顺序即可。第一步先计算乘方部分：计算乘方时要注意符号规则，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数；第二步再按照有理数乘法的运算法则计算乘法，同号得正、异号得负，再把绝对值相乘。
【解析】
(1)
$\begin{aligned}\frac{4}{9}×(-\frac{2}{3})^2&=\frac{4}{9}×\frac{4}{9}\\&=\frac{16}{81}\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}-\frac{1}{3}×(-3)^3&=-\frac{1}{3}×(-27)\\&=9\end{aligned}$
【答案】
(1)$\frac{16}{81}$；(2)$9$
【知识点】
有理数乘方运算；有理数乘法运算
【点评】
本题是有理数混合运算的基础题型，解题的核心是牢记运算顺序和乘方的符号法则，计算时注意不要弄错符号即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
14.若$|a|=1$，$b^2=4$，且$ab＜0$，求$a+b$的值.
答案
解：
∵|a|=1，
∴a=1或a=-1。
∵b²=4，
∴b=2或b=-2。
又∵ab＜0，
∴a、b异号。
当a=1时，b=-2，此时a+b=1+(-2)=-1；
当a=-1时，b=2，此时a+b=-1+2=1。
综上，a+b的值为1或-1。
∵|a|=1，
∴a=1或a=-1。
∵b²=4，
∴b=2或b=-2。
又∵ab＜0，
∴a、b异号。
当a=1时，b=-2，此时a+b=1+(-2)=-1；
当a=-1时，b=2，此时a+b=-1+2=1。
综上，a+b的值为1或-1。
解析
【分析】
解题时首先根据绝对值的性质求出a的所有可能取值，再根据乘方的意义求出b的所有可能取值，接下来根据ab＜0的条件判断出a、b异号，分情况配对符合条件的a、b取值，最后分别计算a+b的结果即可。
【解析】
∵|a|=1，
∴a=1或a=-1。
∵b²=4，
∴b=2或b=-2。
又
∵ab＜0，
∴a、b异号，分两种情况讨论：
①当a=1时，b=-2，此时a+b=1+(-2)=-1；
②当a=-1时，b=2，此时a+b=-1+2=1。
综上，a+b的值为1或-1。
【答案】
1或-1
【知识点】
绝对值的性质；有理数乘方；有理数加减运算
【点评】
本题是有理数相关性质的基础应用题，解题时需先根据绝对值、乘方的性质求出参数的所有可能取值，再结合限制条件筛选符合要求的组合，避免漏解或多算不符合条件的情况。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据绝对值的性质求出a的所有可能取值，再根据乘方的意义求出b的所有可能取值，接下来根据ab＜0的条件判断出a、b异号，分情况配对符合条件的a、b取值，最后分别计算a+b的结果即可。
【解析】
∵|a|=1，
∴a=1或a=-1。
∵b²=4，
∴b=2或b=-2。
又
∵ab＜0，
∴a、b异号，分两种情况讨论：
①当a=1时，b=-2，此时a+b=1+(-2)=-1；
②当a=-1时，b=2，此时a+b=-1+2=1。
综上，a+b的值为1或-1。
【答案】
1或-1
【知识点】
绝对值的性质；有理数乘方；有理数加减运算
【点评】
本题是有理数相关性质的基础应用题，解题时需先根据绝对值、乘方的性质求出参数的所有可能取值，再结合限制条件筛选符合要求的组合，避免漏解或多算不符合条件的情况。
【难度系数】
0.8
15.(运算能力)求出下列各组两个算式的值，你能发现什么规律？
(1)$(\frac{1}{2})^3 × 2^3$与$(\frac{1}{2} × 2)^3$；
(2)$(-\frac{1}{3})^3 × 4^3$与$(-\frac{1}{3} × 4)^3$；
(3)$(-1)^4 × 2^4$与$(-1 × 2)^4$；
(4)$(-5)^2 × 4^2$与$(-5 × 4)^2$。
试用你发现的规律计算$(-0.25)^{2025} × 4^{2026}$的值。
(1)$(\frac{1}{2})^3 × 2^3$与$(\frac{1}{2} × 2)^3$；
(2)$(-\frac{1}{3})^3 × 4^3$与$(-\frac{1}{3} × 4)^3$；
(3)$(-1)^4 × 2^4$与$(-1 × 2)^4$；
(4)$(-5)^2 × 4^2$与$(-5 × 4)^2$。
试用你发现的规律计算$(-0.25)^{2025} × 4^{2026}$的值。
答案
解：
(1)
$(\frac{1}{2})^3 × 2^3 = \frac{1}{8} × 8 = 1$，
$(\frac{1}{2} × 2)^3 = 1^3 = 1$；
(2)
$(-\frac{1}{3})^3 × 4^3 = -\frac{1}{27} × 64 = -\frac{64}{27}$，
$(-\frac{1}{3} × 4)^3 = (-\frac{4}{3})^3 = -\frac{64}{27}$；
(3)
$(-1)^4 × 2^4 = 1 × 16 = 16$，
$(-1 × 2)^4 = (-2)^4 = 16$；
(4)
$(-5)^2 × 4^2 = 25 × 16 = 400$，
$(-5 × 4)^2 = (-20)^2 = 400$。
规律：两个有理数的n次幂的乘积，等于这两个有理数乘积的n次幂，即$a^n · b^n = (ab)^n$（n为正整数）。
计算$(-0.25)^{2025} × 4^{2026}$：
$\begin{aligned}(-0.25)^{2025} × 4^{2026} &= (-0.25)^{2025} × 4^{2025} × 4 \\&= (-0.25 × 4)^{2025} × 4 \\&= (-1)^{2025} × 4 \\&= -1 × 4 \\&= -4\end{aligned}$
(1)
$(\frac{1}{2})^3 × 2^3 = \frac{1}{8} × 8 = 1$，
$(\frac{1}{2} × 2)^3 = 1^3 = 1$；
(2)
$(-\frac{1}{3})^3 × 4^3 = -\frac{1}{27} × 64 = -\frac{64}{27}$，
$(-\frac{1}{3} × 4)^3 = (-\frac{4}{3})^3 = -\frac{64}{27}$；
(3)
$(-1)^4 × 2^4 = 1 × 16 = 16$，
$(-1 × 2)^4 = (-2)^4 = 16$；
(4)
$(-5)^2 × 4^2 = 25 × 16 = 400$，
$(-5 × 4)^2 = (-20)^2 = 400$。
规律：两个有理数的n次幂的乘积，等于这两个有理数乘积的n次幂，即$a^n · b^n = (ab)^n$（n为正整数）。
计算$(-0.25)^{2025} × 4^{2026}$：
$\begin{aligned}(-0.25)^{2025} × 4^{2026} &= (-0.25)^{2025} × 4^{2025} × 4 \\&= (-0.25 × 4)^{2025} × 4 \\&= (-1)^{2025} × 4 \\&= -1 × 4 \\&= -4\end{aligned}$
解析
【分析】
首先分别计算四组算式左右两个式子的结果，对比结果可归纳出同指数幂相乘的运算规律；再计算目标式时，观察到两个幂的指数相差1，可将$4^{2026}$拆分为$4^{2025}×4$，构造出两个同指数幂相乘的形式，套用归纳出的规律即可简化计算，无需单独计算高次幂的具体值。
【解析】
(1) 计算得：
$(\frac{1}{2})^3 × 2^3 = \frac{1}{8} × 8 = 1$，
$(\frac{1}{2} × 2)^3 = 1^3 = 1$；
(2) 计算得：
$(-\frac{1}{3})^3 × 4^3 = -\frac{1}{27} × 64 = -\frac{64}{27}$，
$(-\frac{1}{3} × 4)^3 = (-\frac{4}{3})^3 = -\frac{64}{27}$；
(3) 计算得：
$(-1)^4 × 2^4 = 1 × 16 = 16$，
$(-1 × 2)^4 = (-2)^4 = 16$；
(4) 计算得：
$(-5)^2 × 4^2 = 25 × 16 = 400$，
$(-5 × 4)^2 = (-20)^2 = 400$。
规律总结：两个有理数同次幂的乘积，等于这两个有理数乘积的同次幂，即$a^n · b^n = (ab)^n$（n为正整数）。
计算$(-0.25)^{2025} × 4^{2026}$：
$\begin{aligned}(-0.25)^{2025} × 4^{2026} &= (-0.25)^{2025} × 4^{2025} × 4 \\&= (-0.25 × 4)^{2025} × 4 \\&= (-1)^{2025} × 4 \\&= -1 × 4 \\&= -4\end{aligned}$
【答案】
四组算式对应结果均相等，规律为$a^n·b^n=(ab)^n$（n为正整数）；$(-0.25)^{2025} × 4^{2026}$的值为$\boldsymbol{-4}$。
【知识点】
1. 有理数乘方运算
2. 积的乘方运算律
【点评】
本题属于乘方运算的规律探究类题目，既考察基础乘方运算能力，也考察规律归纳与灵活运用能力，掌握该运算规律可有效简化同指数幂相乘的计算，是乘方简便运算的常用技巧。
【难度系数】
0.7
首先分别计算四组算式左右两个式子的结果，对比结果可归纳出同指数幂相乘的运算规律；再计算目标式时，观察到两个幂的指数相差1，可将$4^{2026}$拆分为$4^{2025}×4$，构造出两个同指数幂相乘的形式，套用归纳出的规律即可简化计算，无需单独计算高次幂的具体值。
【解析】
(1) 计算得：
$(\frac{1}{2})^3 × 2^3 = \frac{1}{8} × 8 = 1$，
$(\frac{1}{2} × 2)^3 = 1^3 = 1$；
(2) 计算得：
$(-\frac{1}{3})^3 × 4^3 = -\frac{1}{27} × 64 = -\frac{64}{27}$，
$(-\frac{1}{3} × 4)^3 = (-\frac{4}{3})^3 = -\frac{64}{27}$；
(3) 计算得：
$(-1)^4 × 2^4 = 1 × 16 = 16$，
$(-1 × 2)^4 = (-2)^4 = 16$；
(4) 计算得：
$(-5)^2 × 4^2 = 25 × 16 = 400$，
$(-5 × 4)^2 = (-20)^2 = 400$。
规律总结：两个有理数同次幂的乘积，等于这两个有理数乘积的同次幂，即$a^n · b^n = (ab)^n$（n为正整数）。
计算$(-0.25)^{2025} × 4^{2026}$：
$\begin{aligned}(-0.25)^{2025} × 4^{2026} &= (-0.25)^{2025} × 4^{2025} × 4 \\&= (-0.25 × 4)^{2025} × 4 \\&= (-1)^{2025} × 4 \\&= -1 × 4 \\&= -4\end{aligned}$
【答案】
四组算式对应结果均相等，规律为$a^n·b^n=(ab)^n$（n为正整数）；$(-0.25)^{2025} × 4^{2026}$的值为$\boldsymbol{-4}$。
【知识点】
1. 有理数乘方运算
2. 积的乘方运算律
【点评】
本题属于乘方运算的规律探究类题目，既考察基础乘方运算能力，也考察规律归纳与灵活运用能力，掌握该运算规律可有效简化同指数幂相乘的计算，是乘方简便运算的常用技巧。
【难度系数】
0.7
