登录
【变式3】一根1 m长的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此剪下去，第九次后剩下的绳子的长度为().
A.$(\frac{1}{2})^6$ m
B.$(\frac{1}{2})^7$ m
C.$(\frac{1}{2})^8$ m
D.$(\frac{1}{2})^9$ m
A.$(\frac{1}{2})^6$ m
B.$(\frac{1}{2})^7$ m
C.$(\frac{1}{2})^8$ m
D.$(\frac{1}{2})^9$ m
答案
D
解析
【分析】
我们可以通过列举前几次裁剪后剩余绳子的长度寻找规律：每次剪去剩余的一半，说明每次剪完后剩下的长度是剪之前长度的$\frac{1}{2}$，剩余长度与裁剪次数符合乘方的运算特征，我们先推导第$n$次裁剪后剩余长度的通用表达式，再代入$n=9$即可求解。
【解析】
初始绳子长度为1m：
第1次剪完后，剩余长度为$1×\frac{1}{2}=(\frac{1}{2})^1$ m；
第2次剪完后，剩余长度为$(\frac{1}{2})^1×\frac{1}{2}=(\frac{1}{2})^2$ m；
第3次剪完后，剩余长度为$(\frac{1}{2})^2×\frac{1}{2}=(\frac{1}{2})^3$ m；
……
由此可归纳规律：第$n$次剪完后，剩余绳子的长度为$(\frac{1}{2})^n$ m。
当$n=9$时，剩余长度为$(\frac{1}{2})^9$ m，故选D。
【答案】
D
【知识点】
有理数的乘方，数字规律探究
【点评】
本题考查乘方在实际问题中的应用，解题核心是梳理清楚每次裁剪后剩余长度的变化规律，将实际场景转化为乘方运算问题，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
我们可以通过列举前几次裁剪后剩余绳子的长度寻找规律：每次剪去剩余的一半，说明每次剪完后剩下的长度是剪之前长度的$\frac{1}{2}$，剩余长度与裁剪次数符合乘方的运算特征，我们先推导第$n$次裁剪后剩余长度的通用表达式，再代入$n=9$即可求解。
【解析】
初始绳子长度为1m：
第1次剪完后，剩余长度为$1×\frac{1}{2}=(\frac{1}{2})^1$ m；
第2次剪完后，剩余长度为$(\frac{1}{2})^1×\frac{1}{2}=(\frac{1}{2})^2$ m；
第3次剪完后，剩余长度为$(\frac{1}{2})^2×\frac{1}{2}=(\frac{1}{2})^3$ m；
……
由此可归纳规律：第$n$次剪完后，剩余绳子的长度为$(\frac{1}{2})^n$ m。
当$n=9$时，剩余长度为$(\frac{1}{2})^9$ m，故选D。
【答案】
D
【知识点】
有理数的乘方，数字规律探究
【点评】
本题考查乘方在实际问题中的应用，解题核心是梳理清楚每次裁剪后剩余长度的变化规律，将实际场景转化为乘方运算问题，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
1. $-1^{2026}$等于().
A.1
B.$-1$
C.$2026$
D.$-2026$
A.1
B.$-1$
C.$2026$
D.$-2026$
答案
B
解析
【分析】
解决本题首先要明确乘方的底数定义，区分有无括号时底数的差异：本题中$-1^{2026}$没有括号将-1括起来，因此底数是1，负号不属于底数部分。运算时遵循先算乘方、再算符号的顺序，结合1的乘方性质即可得出结果，注意不要和$(-1)^{2026}$的计算混淆。
【解析】
根据有理数乘方的运算规则：
1. 确定底数：$-1^{2026}$中负号不属于底数，底数为1，优先计算乘方运算；
2. 计算乘方：1的任意正整数次幂都为1，因此$1^{2026}=1$；
3. 添加符号：在乘方结果前加上负号，可得$-1^{2026}=-1$。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
有理数乘方运算、四则运算顺序
【点评】
本题是有理数乘方的基础易错题，核心考查对乘方底数概念的理解，解题的关键是区分乘方运算中底数是否包含负号，注意带括号和不带括号的同类表达式的运算差异。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要明确乘方的底数定义，区分有无括号时底数的差异：本题中$-1^{2026}$没有括号将-1括起来，因此底数是1，负号不属于底数部分。运算时遵循先算乘方、再算符号的顺序，结合1的乘方性质即可得出结果，注意不要和$(-1)^{2026}$的计算混淆。
【解析】
根据有理数乘方的运算规则：
1. 确定底数：$-1^{2026}$中负号不属于底数，底数为1，优先计算乘方运算；
2. 计算乘方：1的任意正整数次幂都为1，因此$1^{2026}=1$；
3. 添加符号：在乘方结果前加上负号，可得$-1^{2026}=-1$。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
有理数乘方运算、四则运算顺序
【点评】
本题是有理数乘方的基础易错题，核心考查对乘方底数概念的理解，解题的关键是区分乘方运算中底数是否包含负号，注意带括号和不带括号的同类表达式的运算差异。
【难度系数】
0.7
2. 下列四个数中,数值不同于其他三个的是().
A.$-(-1)$
B.$(-1)^2$
C.$-1^2$
D.$-(-1)^5$
A.$-(-1)$
B.$(-1)^2$
C.$-1^2$
D.$-(-1)^5$
答案
C
解析
【分析】
本题需要分别计算四个选项的结果，对比找出数值不同的选项。解题时先回忆有理数乘方的运算规则、去括号的符号法则，注意区分底数带括号和不带括号的乘方运算顺序：有括号先算括号里的，没有括号时先算乘方再考虑符号，依次计算每个选项的值即可。
【解析】
我们逐个计算各选项的数值：
A. 根据相反数的定义，负负得正，$-(-1)=1$；
B. 负数的偶次幂是正数，$(-1)^2=(-1)×(-1)=1$；
C. 先算乘方再添加负号，$-1^2=-1×1=-1$；
D. 先算负数的奇次幂为负，得$(-1)^5=-1$，再去括号得$-(-1)=1$，即$-(-1)^5=1$。
对比可知，只有C选项的结果为-1，其余三个选项的结果均为1。
【答案】
C
【知识点】
有理数乘方运算，去括号法则，符号化简
【点评】
本题属于基础运算题，易错点是混淆$(-1)^2$和$-1^2$的运算顺序，计算时要先明确乘方的底数，再按运算顺序计算，避免符号错误。
【难度系数】
0.8
本题需要分别计算四个选项的结果，对比找出数值不同的选项。解题时先回忆有理数乘方的运算规则、去括号的符号法则，注意区分底数带括号和不带括号的乘方运算顺序：有括号先算括号里的，没有括号时先算乘方再考虑符号，依次计算每个选项的值即可。
【解析】
我们逐个计算各选项的数值：
A. 根据相反数的定义，负负得正，$-(-1)=1$；
B. 负数的偶次幂是正数，$(-1)^2=(-1)×(-1)=1$；
C. 先算乘方再添加负号，$-1^2=-1×1=-1$；
D. 先算负数的奇次幂为负，得$(-1)^5=-1$，再去括号得$-(-1)=1$，即$-(-1)^5=1$。
对比可知，只有C选项的结果为-1，其余三个选项的结果均为1。
【答案】
C
【知识点】
有理数乘方运算，去括号法则，符号化简
【点评】
本题属于基础运算题，易错点是混淆$(-1)^2$和$-1^2$的运算顺序，计算时要先明确乘方的底数，再按运算顺序计算，避免符号错误。
【难度系数】
0.8
3.若$|x - 1| + (y + 3)^2 = 0$，则$(xy)^2$的值为().
A.3
B.$-6$
C.9
D.$-9$
A.3
B.$-6$
C.9
D.$-9$
答案
C
解析
【分析】
解题首先观察已知等式的构成，等式左侧是绝对值与平方的和，根据所学知识，绝对值和任意数的平方都是非负数（即大于等于0的数），两个非负数相加结果为0时，只能是两个非负数各自都等于0，据此可以分别列方程求出x、y的值，再将x、y代入待求式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵绝对值具有非负性，即$|x - 1| ≥ 0$，平方数也具有非负性，即$(y + 3)^2 ≥ 0$，且二者之和为0，
∴可得$x - 1 = 0$，$y + 3 = 0$，
解得：$x = 1$，$y = -3$，
将$x = 1$，$y = -3$代入$(xy)^2$得：
$(xy)^2 = [1×(-3)]^2 = (-3)^2 = 9$。
【答案】
C
【知识点】
非负数的性质、有理数的乘方运算
【点评】
本题是基础题型，解题核心是熟练掌握非负数的性质，即若干个非负数的和为0时，每个非负数的值都为0，再结合有理数的运算规则计算即可，注意负数的偶次幂为正数。
【难度系数】
0.8
解题首先观察已知等式的构成，等式左侧是绝对值与平方的和，根据所学知识，绝对值和任意数的平方都是非负数（即大于等于0的数），两个非负数相加结果为0时，只能是两个非负数各自都等于0，据此可以分别列方程求出x、y的值，再将x、y代入待求式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵绝对值具有非负性，即$|x - 1| ≥ 0$，平方数也具有非负性，即$(y + 3)^2 ≥ 0$，且二者之和为0，
∴可得$x - 1 = 0$，$y + 3 = 0$，
解得：$x = 1$，$y = -3$，
将$x = 1$，$y = -3$代入$(xy)^2$得：
$(xy)^2 = [1×(-3)]^2 = (-3)^2 = 9$。
【答案】
C
【知识点】
非负数的性质、有理数的乘方运算
【点评】
本题是基础题型，解题核心是熟练掌握非负数的性质，即若干个非负数的和为0时，每个非负数的值都为0，再结合有理数的运算规则计算即可，注意负数的偶次幂为正数。
【难度系数】
0.8
4.《庄子》中记载：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”这句话的意思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完.若按此方式截一根长为1的木棍，第5天截取后木棍剩余的长度是().
A.$1-\frac{1}{2^5}$
B.$1-\frac{1}{2^4}$
C.$\frac{1}{2^5}$
D.$\frac{1}{2^4}$
A.$1-\frac{1}{2^5}$
B.$1-\frac{1}{2^4}$
C.$\frac{1}{2^5}$
D.$\frac{1}{2^4}$
答案
C
解析
【分析】
我们可以通过逐天推导剩余长度的规律解题：每天截取木棍的一半，意味着当天剩余的长度是前一天剩余长度的$\frac{1}{2}$，我们可以先计算前几天的剩余长度，归纳出第n天剩余长度的通用规律，再代入n=5计算即可，同时要注意区分“剩余长度”和“已截取的总长度”，避免错选干扰项。
【解析】
第1天截取后，剩余长度为：$1×\frac{1}{2}=\frac{1}{2^1}$
第2天截取后，剩余长度为：$\frac{1}{2^1}×\frac{1}{2}=\frac{1}{2^2}$
第3天截取后，剩余长度为：$\frac{1}{2^2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{2^3}$
……
由此可归纳规律：第n天截取后，木棍剩余长度为$\frac{1}{2^n}$
当n=5时，第5天截取后木棍剩余的长度为$\frac{1}{2^5}$
故选：C
【答案】
C
【知识点】
有理数的乘方；有理数乘法；规律探究
【点评】
本题结合传统文化典故考查乘方的实际应用，既考察了乘方的意义，也锻炼了归纳推理找规律的能力，同时提醒学生审题要仔细，注意区分核心概念，避免落入易错选项的陷阱。
【难度系数】
0.75
我们可以通过逐天推导剩余长度的规律解题：每天截取木棍的一半，意味着当天剩余的长度是前一天剩余长度的$\frac{1}{2}$，我们可以先计算前几天的剩余长度，归纳出第n天剩余长度的通用规律，再代入n=5计算即可，同时要注意区分“剩余长度”和“已截取的总长度”，避免错选干扰项。
【解析】
第1天截取后，剩余长度为：$1×\frac{1}{2}=\frac{1}{2^1}$
第2天截取后，剩余长度为：$\frac{1}{2^1}×\frac{1}{2}=\frac{1}{2^2}$
第3天截取后，剩余长度为：$\frac{1}{2^2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{2^3}$
……
由此可归纳规律：第n天截取后，木棍剩余长度为$\frac{1}{2^n}$
当n=5时，第5天截取后木棍剩余的长度为$\frac{1}{2^5}$
故选：C
【答案】
C
【知识点】
有理数的乘方；有理数乘法；规律探究
【点评】
本题结合传统文化典故考查乘方的实际应用，既考察了乘方的意义，也锻炼了归纳推理找规律的能力，同时提醒学生审题要仔细，注意区分核心概念，避免落入易错选项的陷阱。
【难度系数】
0.75
5. 将$(-\frac{2}{3})×(-\frac{2}{3})×(-\frac{2}{3})×(-\frac{2}{3})$写成幂的形式是，其中底数是，指数是。
答案
解：
$(-\frac{2}{3})×(-\frac{2}{3})×(-\frac{2}{3})×(-\frac{2}{3})$写成幂的形式是$\boldsymbol{(-\dfrac{2}{3})^4}$，其中底数是$\boldsymbol{-\dfrac{2}{3}}$，指数是$\boldsymbol{4}$。
$(-\frac{2}{3})×(-\frac{2}{3})×(-\frac{2}{3})×(-\frac{2}{3})$写成幂的形式是$\boldsymbol{(-\dfrac{2}{3})^4}$，其中底数是$\boldsymbol{-\dfrac{2}{3}}$，指数是$\boldsymbol{4}$。
解析
【分析】
首先回忆乘方的定义：n个相同因数a相乘的简便记法为$a^n$，叫做a的n次方。解题时先确定题目中相同的因数是什么，再数出相同因数的个数，最后注意负数作为底数时要给整体加上括号，避免运算意义出错。
【解析】
根据乘方的定义：求几个相同因数的积的运算叫做乘方，n个相同因数a相乘记作$\boldsymbol{a^n}$，其中a是底数，n是指数。
本题中是4个相同的因数$(-\frac{2}{3})$相乘，因此写成幂的形式为$(-\frac{2}{3})^4$；其中相同的因数$-\frac{2}{3}$是底数，相同因数的个数4是指数。
【答案】
$(-\dfrac{2}{3})^4$；$-\dfrac{2}{3}$；$4$
【知识点】
乘方的概念；幂的组成
【点评】
本题是乘方的基础概念题，解题的关键是明确乘方的意义，尤其要注意负数、分数作为底数时，必须将整体用括号括起来，否则会改变原式的运算含义。
【难度系数】
0.8
首先回忆乘方的定义：n个相同因数a相乘的简便记法为$a^n$，叫做a的n次方。解题时先确定题目中相同的因数是什么，再数出相同因数的个数，最后注意负数作为底数时要给整体加上括号，避免运算意义出错。
【解析】
根据乘方的定义：求几个相同因数的积的运算叫做乘方，n个相同因数a相乘记作$\boldsymbol{a^n}$，其中a是底数，n是指数。
本题中是4个相同的因数$(-\frac{2}{3})$相乘，因此写成幂的形式为$(-\frac{2}{3})^4$；其中相同的因数$-\frac{2}{3}$是底数，相同因数的个数4是指数。
【答案】
$(-\dfrac{2}{3})^4$；$-\dfrac{2}{3}$；$4$
【知识点】
乘方的概念；幂的组成
【点评】
本题是乘方的基础概念题，解题的关键是明确乘方的意义，尤其要注意负数、分数作为底数时，必须将整体用括号括起来，否则会改变原式的运算含义。
【难度系数】
0.8
6.计算：
(1)$(-1 \frac{1}{3})^3$；
(2)$-(-2)^4$。
(1)$(-1 \frac{1}{3})^3$；
(2)$-(-2)^4$。
答案
解：
(1)
$(-1\frac{1}{3})^3 = (-\frac{4}{3})^3$
$= (-\frac{4}{3}) × (-\frac{4}{3}) × (-\frac{4}{3})$
$= -\frac{4×4×4}{3×3×3}$
$= -\frac{64}{27}$
(2)
$-(-2)^4 = - [ (-2) × (-2) × (-2) × (-2) ]$
$= -16$
(1)
$(-1\frac{1}{3})^3 = (-\frac{4}{3})^3$
$= (-\frac{4}{3}) × (-\frac{4}{3}) × (-\frac{4}{3})$
$= -\frac{4×4×4}{3×3×3}$
$= -\frac{64}{27}$
(2)
$-(-2)^4 = - [ (-2) × (-2) × (-2) × (-2) ]$
$= -16$
解析
【分析】
这两道题均为有理数乘方的基础运算题，解题思路如下：①对于带分数的乘方，首先要将带分数化为假分数，再根据乘方的定义（n个相同因数乘积的运算）展开计算，同时结合负数的奇次幂为负、偶次幂为正的符号法则判断结果符号；②对于含多重负号的乘方运算，要明确运算顺序：先算乘方运算，再处理乘方外的符号，注意不要将乘方外的负号和底数的负号混淆，避免符号计算错误。
【解析】
(1) 先将带分数化为假分数，再按乘方定义计算：
$(-1\frac{1}{3})^3 = (-\frac{4}{3})^3$
$= (-\frac{4}{3}) × (-\frac{4}{3}) × (-\frac{4}{3})$
3个负数相乘结果为负，分别计算分子、分母的乘积：
$= -\frac{4×4×4}{3×3×3}$
$= -\frac{64}{27}$
(2) 先计算乘方，再处理乘方外的负号：
$-(-2)^4 = - [ (-2) × (-2) × (-2) × (-2) ]$
4个负数相乘结果为正，计算得$(-2)^4=16$，再取相反数：
$= -16$
【答案】
(1)$-\frac{64}{27}$；(2)$-16$
【知识点】
有理数乘方运算，乘方符号法则，带分数化假分数
【点评】
本题是有理数乘方的常规基础题，核心考查乘方的运算规则和符号判断能力，解题时需注意先统一数的形式（带分数化假分数），严格遵循运算顺序，尤其要注意区分底数的符号和乘方结果外的符号，避免因符号混淆出错。
【难度系数】
0.8
这两道题均为有理数乘方的基础运算题，解题思路如下：①对于带分数的乘方，首先要将带分数化为假分数，再根据乘方的定义（n个相同因数乘积的运算）展开计算，同时结合负数的奇次幂为负、偶次幂为正的符号法则判断结果符号；②对于含多重负号的乘方运算，要明确运算顺序：先算乘方运算，再处理乘方外的符号，注意不要将乘方外的负号和底数的负号混淆，避免符号计算错误。
【解析】
(1) 先将带分数化为假分数，再按乘方定义计算：
$(-1\frac{1}{3})^3 = (-\frac{4}{3})^3$
$= (-\frac{4}{3}) × (-\frac{4}{3}) × (-\frac{4}{3})$
3个负数相乘结果为负，分别计算分子、分母的乘积：
$= -\frac{4×4×4}{3×3×3}$
$= -\frac{64}{27}$
(2) 先计算乘方，再处理乘方外的负号：
$-(-2)^4 = - [ (-2) × (-2) × (-2) × (-2) ]$
4个负数相乘结果为正，计算得$(-2)^4=16$，再取相反数：
$= -16$
【答案】
(1)$-\frac{64}{27}$；(2)$-16$
【知识点】
有理数乘方运算，乘方符号法则，带分数化假分数
【点评】
本题是有理数乘方的常规基础题，核心考查乘方的运算规则和符号判断能力，解题时需注意先统一数的形式（带分数化假分数），严格遵循运算顺序，尤其要注意区分底数的符号和乘方结果外的符号，避免因符号混淆出错。
【难度系数】
0.8
1. 对于式子$(-3)^3$，下列说法中正确的是().
A.指数是－3
B.底数是3
C.幂为－9
D.表示3个－3相乘
A.指数是－3
B.底数是3
C.幂为－9
D.表示3个－3相乘
答案
D
解析
【分析】
解决这道题的核心是熟练掌握有理数乘方的相关概念，解题思路如下：首先回忆乘方各部分的定义：在$a^n$中，$a$是底数，$n$是指数，其含义是$n$个$a$相乘，计算结果叫做幂。接下来先确定$(-3)^3$的底数、指数，再结合含义和计算结果逐一判断每个选项的正误即可。
【解析】
根据乘方的定义：求$n$个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。形如$a^n$的式子中，$a$叫做底数，$n$叫做指数，$a^n$表示$n$个$a$相乘。
对于式子$(-3)^3$：
底数是$-3$，指数是$3$，含义是$3$个$-3$相乘，计算得幂为$(-3)×(-3)×(-3)=-27$。
逐一判断选项：
A. 指数是$3$，不是$-3$，该选项错误；
B. 底数是$-3$，不是$3$，该选项错误；
C. 幂为$-27$，不是$-9$，该选项错误；
D. 表示$3$个$-3$相乘，符合乘方的意义，该选项正确。
【答案】
D
【知识点】
乘方的定义、乘方的运算
【点评】
这道题属于基础概念题，解题的关键是明确带括号的负数作为底数时，负号属于底数的一部分，要注意区分$(-a)^n$和$-a^n$的差异，牢记乘方的意义就能快速判断正误。
【难度系数】
0.8
解决这道题的核心是熟练掌握有理数乘方的相关概念，解题思路如下：首先回忆乘方各部分的定义：在$a^n$中，$a$是底数，$n$是指数，其含义是$n$个$a$相乘，计算结果叫做幂。接下来先确定$(-3)^3$的底数、指数，再结合含义和计算结果逐一判断每个选项的正误即可。
【解析】
根据乘方的定义：求$n$个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。形如$a^n$的式子中，$a$叫做底数，$n$叫做指数，$a^n$表示$n$个$a$相乘。
对于式子$(-3)^3$：
底数是$-3$，指数是$3$，含义是$3$个$-3$相乘，计算得幂为$(-3)×(-3)×(-3)=-27$。
逐一判断选项：
A. 指数是$3$，不是$-3$，该选项错误；
B. 底数是$-3$，不是$3$，该选项错误；
C. 幂为$-27$，不是$-9$，该选项错误；
D. 表示$3$个$-3$相乘，符合乘方的意义，该选项正确。
【答案】
D
【知识点】
乘方的定义、乘方的运算
【点评】
这道题属于基础概念题，解题的关键是明确带括号的负数作为底数时，负号属于底数的一部分，要注意区分$(-a)^n$和$-a^n$的差异，牢记乘方的意义就能快速判断正误。
【难度系数】
0.8
2. 下列说法中，正确的是$( \quad ).$
A.$-2^5$ 的底数是$-2$
B.$-1^{10}$ 读作“$-1$ 的10次幂”
C.$(-2)^3$ 与 $-2^3$ 的意义相同
D.$(-2)^3 = -2^3$
A.$-2^5$ 的底数是$-2$
B.$-1^{10}$ 读作“$-1$ 的10次幂”
C.$(-2)^3$ 与 $-2^3$ 的意义相同
D.$(-2)^3 = -2^3$
答案
D
解析
【分析】
解决这道题首先要明确有理数乘方的基本概念：乘方表示n个相同因数的乘积，记为$a^n$，其中$a$是底数，$n$是指数。特别要注意：底数为负数时，若不加括号，底数实际是正数，负号是整个乘方结果的符号。解题时只需结合乘方的概念和运算规则，逐个判断选项对错即可。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A选项：$-2^5$表示的是$2^5$的相反数，底数是2，不是-2，因此A错误。
B选项：$-1^{10}$读作“1的10次幂的相反数”，“-1的10次幂”对应的写法是$(-1)^{10}$，因此B错误。
C选项：$(-2)^3$的意义是3个-2相乘，$-2^3$的意义是3个2相乘的相反数，二者意义不同，因此C错误。
D选项：计算可得$(-2)^3=(-2)×(-2)×(-2)=-8$，$-2^3=-(2×2×2)=-8$，二者结果相等，因此D正确。
【答案】
D
【知识点】
乘方的概念；乘方的运算
【点评】
本题是乘方部分的基础典型题，核心考查点是区分带括号和不带括号的负数乘方的底数、意义及运算结果的差异，属于易混易错题型，掌握乘方的基本定义是做对这类题的关键。
【难度系数】
0.7
解决这道题首先要明确有理数乘方的基本概念：乘方表示n个相同因数的乘积，记为$a^n$，其中$a$是底数，$n$是指数。特别要注意：底数为负数时，若不加括号，底数实际是正数，负号是整个乘方结果的符号。解题时只需结合乘方的概念和运算规则，逐个判断选项对错即可。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A选项：$-2^5$表示的是$2^5$的相反数，底数是2，不是-2，因此A错误。
B选项：$-1^{10}$读作“1的10次幂的相反数”，“-1的10次幂”对应的写法是$(-1)^{10}$，因此B错误。
C选项：$(-2)^3$的意义是3个-2相乘，$-2^3$的意义是3个2相乘的相反数，二者意义不同，因此C错误。
D选项：计算可得$(-2)^3=(-2)×(-2)×(-2)=-8$，$-2^3=-(2×2×2)=-8$，二者结果相等，因此D正确。
【答案】
D
【知识点】
乘方的概念；乘方的运算
【点评】
本题是乘方部分的基础典型题，核心考查点是区分带括号和不带括号的负数乘方的底数、意义及运算结果的差异，属于易混易错题型，掌握乘方的基本定义是做对这类题的关键。
【难度系数】
0.7
3. 把$-\dfrac{3}{4}×\dfrac{3}{4}×\dfrac{3}{4}×\dfrac{3}{4}×\dfrac{3}{4}$写成乘方的形式是，底数是，指数是，读作。
答案
解：
$-(\dfrac{3}{4})^5$
$\dfrac{3}{4}$
$5$
四分之三的五次方的相反数
$-(\dfrac{3}{4})^5$
$\dfrac{3}{4}$
$5$
四分之三的五次方的相反数
解析
【分析】
解题时先回忆乘方的定义：求n个相同因数的积的运算叫做乘方，相同的因数是底数，相同因数的个数是指数。首先观察原式：负号在5个$\dfrac{3}{4}$相乘的整体前面，不属于相乘的因数，因此不能计入底数，先确定相同因数为$\dfrac{3}{4}$，个数为5，再结合负号即可写出乘方形式，再对应确定底数、指数和读法即可。
【解析】
第一步：数相同因数的个数：原式中共有5个相同的因数$\dfrac{3}{4}$相乘，整体前面有负号；
第二步：根据乘方定义，5个$\dfrac{3}{4}$相乘可记作$(\dfrac{3}{4})^5$，加上前面的负号，因此乘方形式为$-(\dfrac{3}{4})^5$；
第三步：乘方的底数是相同的因数，即$\dfrac{3}{4}$，指数是相同因数的个数，即5；
第四步：读法为四分之三的五次方的相反数。
【答案】
$-(\dfrac{3}{4})^5$；$\dfrac{3}{4}$；$5$；四分之三的五次方的相反数
【知识点】
乘方的定义、乘方的各部分名称、乘方的读法
【点评】
本题是乘方的基础概念题，易错点是容易误将负号计入底数，解题时要先明确负号的位置，判断负号是否属于相乘的因数，再结合乘方定义作答即可。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆乘方的定义：求n个相同因数的积的运算叫做乘方，相同的因数是底数，相同因数的个数是指数。首先观察原式：负号在5个$\dfrac{3}{4}$相乘的整体前面，不属于相乘的因数，因此不能计入底数，先确定相同因数为$\dfrac{3}{4}$，个数为5，再结合负号即可写出乘方形式，再对应确定底数、指数和读法即可。
【解析】
第一步：数相同因数的个数：原式中共有5个相同的因数$\dfrac{3}{4}$相乘，整体前面有负号；
第二步：根据乘方定义，5个$\dfrac{3}{4}$相乘可记作$(\dfrac{3}{4})^5$，加上前面的负号，因此乘方形式为$-(\dfrac{3}{4})^5$；
第三步：乘方的底数是相同的因数，即$\dfrac{3}{4}$，指数是相同因数的个数，即5；
第四步：读法为四分之三的五次方的相反数。
【答案】
$-(\dfrac{3}{4})^5$；$\dfrac{3}{4}$；$5$；四分之三的五次方的相反数
【知识点】
乘方的定义、乘方的各部分名称、乘方的读法
【点评】
本题是乘方的基础概念题，易错点是容易误将负号计入底数，解题时要先明确负号的位置，判断负号是否属于相乘的因数，再结合乘方定义作答即可。
【难度系数】
0.8
4.平方等于它本身的数是，立方等于它本身的数是。
答案
解：
$\because 0^2=0$，$1^2=1$，
$\therefore$ 平方等于它本身的数是0和1；
$\because (-1)^3=-1$，$0^3=0$，$1^3=1$，
$\therefore$ 立方等于它本身的数是-1、0、1。
$\because 0^2=0$，$1^2=1$，
$\therefore$ 平方等于它本身的数是0和1；
$\because (-1)^3=-1$，$0^3=0$，$1^3=1$，
$\therefore$ 立方等于它本身的数是-1、0、1。
解析
【分析】
解决本题需先明确乘方的定义：平方是两个相同的数相乘，立方是三个相同的数相乘。我们可以分正数、0、负数三类分别验证，避免漏解：
1. 找平方等于自身的数时，正数中大于1的数平方会大于本身，只有1的平方等于1；0的平方等于0；负数的平方是正数，不可能等于负数本身，据此筛选符合条件的数。
2. 找立方等于自身的数时，正数中只有1的立方等于1，大于1的数立方大于本身；0的立方等于0；负数中小于-1的数立方小于本身，只有-1的立方等于-1，据此筛选即可。
【解析】
先验证平方等于本身的数：
∵ $0^2=0$，$1^2=1$，其余数的平方均不等于自身，
∴ 平方等于它本身的数是0和1；
再验证立方等于本身的数：
∵ $(-1)^3=-1$，$0^3=0$，$1^3=1$，其余数的立方均不等于自身，
∴ 立方等于它本身的数是-1、0、1。
【答案】
0和1；-1、0、1
【知识点】
有理数的乘方运算、分类讨论思想
【点评】
本题是乘方运算的基础题型，重点考查对乘方概念的理解，解题时注意不要遗漏0、-1这类特殊有理数，避免出现漏解的情况。
【难度系数】
0.8
解决本题需先明确乘方的定义：平方是两个相同的数相乘，立方是三个相同的数相乘。我们可以分正数、0、负数三类分别验证，避免漏解：
1. 找平方等于自身的数时，正数中大于1的数平方会大于本身，只有1的平方等于1；0的平方等于0；负数的平方是正数，不可能等于负数本身，据此筛选符合条件的数。
2. 找立方等于自身的数时，正数中只有1的立方等于1，大于1的数立方大于本身；0的立方等于0；负数中小于-1的数立方小于本身，只有-1的立方等于-1，据此筛选即可。
【解析】
先验证平方等于本身的数：
∵ $0^2=0$，$1^2=1$，其余数的平方均不等于自身，
∴ 平方等于它本身的数是0和1；
再验证立方等于本身的数：
∵ $(-1)^3=-1$，$0^3=0$，$1^3=1$，其余数的立方均不等于自身，
∴ 立方等于它本身的数是-1、0、1。
【答案】
0和1；-1、0、1
【知识点】
有理数的乘方运算、分类讨论思想
【点评】
本题是乘方运算的基础题型，重点考查对乘方概念的理解，解题时注意不要遗漏0、-1这类特殊有理数，避免出现漏解的情况。
【难度系数】
0.8
5.已知$a,b$都是有理数，若$|a+1|+(b-2026)^2=0$，则$a^b=\_\_\_\_\_\_$。
答案
解：
因为|a+1|≥0，(b-2026)²≥0，且|a+1|+(b-2026)²=0，
所以a+1=0，b-2026=0，
解得a=-1，b=2026，
则$a^b=(-1)^{2026}=1$。
因为|a+1|≥0，(b-2026)²≥0，且|a+1|+(b-2026)²=0，
所以a+1=0，b-2026=0，
解得a=-1，b=2026，
则$a^b=(-1)^{2026}=1$。
解析
【分析】
解题时首先要明确绝对值和平方数的非负性：任意有理数的绝对值≥0，任意有理数的平方也≥0。当两个非负数的和为0时，只有两个非负数同时为0才能满足等式，因此我们可以据此分别列关于a、b的一元一次方程，求出a、b的值后，再代入$a^b$，按照有理数乘方的运算法则计算结果即可。
【解析】
因为$|a+1|≥0$，$(b-2026)^2≥0$，且$|a+1|+(b-2026)^2=0$，
所以$a+1=0$，$b-2026=0$，
解得$a=-1$，$b=2026$，
则$a^b=(-1)^{2026}=1$。
【答案】
1
【知识点】
绝对值的非负性；平方的非负性；有理数乘方运算
【点评】
本题是基础常考题，核心是利用非负数的性质求解未知数，熟记常见非负形式的特征，结合乘方运算法则即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确绝对值和平方数的非负性：任意有理数的绝对值≥0，任意有理数的平方也≥0。当两个非负数的和为0时，只有两个非负数同时为0才能满足等式，因此我们可以据此分别列关于a、b的一元一次方程，求出a、b的值后，再代入$a^b$，按照有理数乘方的运算法则计算结果即可。
【解析】
因为$|a+1|≥0$，$(b-2026)^2≥0$，且$|a+1|+(b-2026)^2=0$，
所以$a+1=0$，$b-2026=0$，
解得$a=-1$，$b=2026$，
则$a^b=(-1)^{2026}=1$。
【答案】
1
【知识点】
绝对值的非负性；平方的非负性；有理数乘方运算
【点评】
本题是基础常考题，核心是利用非负数的性质求解未知数，熟记常见非负形式的特征，结合乘方运算法则即可快速解题。
【难度系数】
0.9
6. 计算：
(1) $5^2$；
(2) $-3^4$；
(3) $(-1\dfrac{1}{2})^2$；
(4) $(-0.2)^3$；
(5) $10^3$；
(6) $(-10)^6$。
(1) $5^2$；
(2) $-3^4$；
(3) $(-1\dfrac{1}{2})^2$；
(4) $(-0.2)^3$；
(5) $10^3$；
(6) $(-10)^6$。
答案
解：
(1) $5^2 = 5×5 = 25$
(2) $-3^4 = -(3×3×3×3) = -81$
(3) $(-1\dfrac{1}{2})^2 = (-\dfrac{3}{2})×(-\dfrac{3}{2}) = \dfrac{9}{4}$
(4) $(-0.2)^3 = (-0.2)×(-0.2)×(-0.2) = -0.008$
(5) $10^3 = 10×10×10 = 1000$
(6) $(-10)^6 = \underbrace{(-10)×(-10)×\dots×(-10)}_{6个-10} = 1000000$
(1) $5^2 = 5×5 = 25$
(2) $-3^4 = -(3×3×3×3) = -81$
(3) $(-1\dfrac{1}{2})^2 = (-\dfrac{3}{2})×(-\dfrac{3}{2}) = \dfrac{9}{4}$
(4) $(-0.2)^3 = (-0.2)×(-0.2)×(-0.2) = -0.008$
(5) $10^3 = 10×10×10 = 1000$
(6) $(-10)^6 = \underbrace{(-10)×(-10)×\dots×(-10)}_{6个-10} = 1000000$
解析
【分析】
本题考查有理数的乘方运算，解题思路如下：首先明确乘方的定义：$a^n$表示n个相同因数a相乘的积。计算时要注意三点核心规则：1. 区分负号位置：负号在括号外时，先算正数的乘方再取相反数；负号在括号内时，把负数整体作为底数相乘。2. 带分数做底数时，先转化为假分数再计算。3. 牢记符号规律：正数的任何次幂都是正数，负数的奇次幂为负，负数的偶次幂为正。按照以上规则逐个计算即可。
【解析】
(1) $5^2$表示2个5相乘，即$5^2 = 5×5 = 25$
(2) $-3^4$表示$3^4$的相反数，先计算4个3的乘积再取负，即$-3^4 = -(3×3×3×3) = -81$
(3) 先把带分数$-1\dfrac{1}{2}$化为假分数$-\dfrac{3}{2}$，再计算2个$-\dfrac{3}{2}$的乘积，即$(-1\dfrac{1}{2})^2 = (-\dfrac{3}{2})×(-\dfrac{3}{2}) = \dfrac{9}{4}$
(4) $(-0.2)^3$表示3个$-0.2$相乘，负数的奇次幂为负，即$(-0.2)^3 = (-0.2)×(-0.2)×(-0.2) = -0.008$
(5) $10^3$表示3个10相乘，即$10^3 = 10×10×10 = 1000$
(6) $(-10)^6$表示6个$-10$相乘，负数的偶次幂为正，即$(-10)^6 = \underbrace{(-10)×(-10)×\dots×(-10)}_{6个-10} = 1000000$
【答案】
(1) $\boxed{25}$；(2) $\boxed{-81}$；(3) $\boxed{\dfrac{9}{4}}$；(4) $\boxed{-0.008}$；(5) $\boxed{1000}$；(6) $\boxed{1000000}$
【知识点】
有理数乘方定义；乘方符号法则；乘方运算
【点评】
本题属于乘方运算的基础练习题，重点考查对乘方定义的理解和运算时符号的正确判断，易错点是混淆负号是否属于底数，以及带分数乘方未先转化为假分数就计算，熟练掌握乘方基本规则即可快速解题。
【难度系数】
0.85
本题考查有理数的乘方运算，解题思路如下：首先明确乘方的定义：$a^n$表示n个相同因数a相乘的积。计算时要注意三点核心规则：1. 区分负号位置：负号在括号外时，先算正数的乘方再取相反数；负号在括号内时，把负数整体作为底数相乘。2. 带分数做底数时，先转化为假分数再计算。3. 牢记符号规律：正数的任何次幂都是正数，负数的奇次幂为负，负数的偶次幂为正。按照以上规则逐个计算即可。
【解析】
(1) $5^2$表示2个5相乘，即$5^2 = 5×5 = 25$
(2) $-3^4$表示$3^4$的相反数，先计算4个3的乘积再取负，即$-3^4 = -(3×3×3×3) = -81$
(3) 先把带分数$-1\dfrac{1}{2}$化为假分数$-\dfrac{3}{2}$，再计算2个$-\dfrac{3}{2}$的乘积，即$(-1\dfrac{1}{2})^2 = (-\dfrac{3}{2})×(-\dfrac{3}{2}) = \dfrac{9}{4}$
(4) $(-0.2)^3$表示3个$-0.2$相乘，负数的奇次幂为负，即$(-0.2)^3 = (-0.2)×(-0.2)×(-0.2) = -0.008$
(5) $10^3$表示3个10相乘，即$10^3 = 10×10×10 = 1000$
(6) $(-10)^6$表示6个$-10$相乘，负数的偶次幂为正，即$(-10)^6 = \underbrace{(-10)×(-10)×\dots×(-10)}_{6个-10} = 1000000$
【答案】
(1) $\boxed{25}$；(2) $\boxed{-81}$；(3) $\boxed{\dfrac{9}{4}}$；(4) $\boxed{-0.008}$；(5) $\boxed{1000}$；(6) $\boxed{1000000}$
【知识点】
有理数乘方定义；乘方符号法则；乘方运算
【点评】
本题属于乘方运算的基础练习题，重点考查对乘方定义的理解和运算时符号的正确判断，易错点是混淆负号是否属于底数，以及带分数乘方未先转化为假分数就计算，熟练掌握乘方基本规则即可快速解题。
【难度系数】
0.85
7.某种细菌在培养过程中每过30 min便由1个分裂为2个.经过3 h,这种细菌共有().
A.8个
B.16个
C.32个
D.64个
A.8个
B.16个
C.32个
D.64个
答案
D
解析
【分析】
解题时首先需要明确细菌的分裂规律：每经过1个30分钟，数量就变为原来的2倍，因此分裂n次后总数量就是2的n次方个。第一步先换算时间单位，计算3小时内包含多少个30分钟，得到分裂次数，再代入乘方计算即可得到最终的细菌总数。
【解析】
1. 计算分裂次数：
先统一时间单位，3小时 = 3×60 = 180分钟，
每30分钟分裂一次，因此总分裂次数为 $180÷30=6$ 次。
2. 计算细菌总数：
初始有1个细菌，每分裂1次数量乘2，分裂6次后总数为 $2^6=64$ 个。
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
有理数的乘方，乘方的实际应用，时间单位换算
【点评】
本题是乘方在实际场景中的基础应用题，解题核心是准确计算分裂次数，再结合乘方的意义求解，易错点是容易漏算或者多算分裂次数。
【难度系数】
0.7
解题时首先需要明确细菌的分裂规律：每经过1个30分钟，数量就变为原来的2倍，因此分裂n次后总数量就是2的n次方个。第一步先换算时间单位，计算3小时内包含多少个30分钟，得到分裂次数，再代入乘方计算即可得到最终的细菌总数。
【解析】
1. 计算分裂次数：
先统一时间单位，3小时 = 3×60 = 180分钟，
每30分钟分裂一次，因此总分裂次数为 $180÷30=6$ 次。
2. 计算细菌总数：
初始有1个细菌，每分裂1次数量乘2，分裂6次后总数为 $2^6=64$ 个。
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
有理数的乘方，乘方的实际应用，时间单位换算
【点评】
本题是乘方在实际场景中的基础应用题，解题核心是准确计算分裂次数，再结合乘方的意义求解，易错点是容易漏算或者多算分裂次数。
【难度系数】
0.7
