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1.填空，把下列各数转换为二进制数.
7:;91:.
7:;91:.
答案
111；1011011
解析
【分析】
要把十进制数转换为二进制数，使用“除2取余，逆序排列”的方法即可：第一步把需要转换的十进制数反复除以2，依次记录每次得到的余数，直到商为0时停止计算；第二步把记录的所有余数从最后一个到第一个倒序排列，得到的结果就是对应的二进制数，我们分别对7和91按这个方法计算即可。
【解析】
1. 把7转换为二进制数：
①7÷2=3，余数为1
②3÷2=1，余数为1
③1÷2=0，余数为1
将余数从后往前倒序排列，得到111。
2. 把91转换为二进制数：
①91÷2=45，余数为1
②45÷2=22，余数为1
③22÷2=11，余数为0
④11÷2=5，余数为1
⑤5÷2=2，余数为1
⑥2÷2=1，余数为0
⑦1÷2=0，余数为1
将余数从后往前倒序排列，得到1011011。
【答案】
111；1011011
【知识点】
十进制转二进制；除2取余法
【点评】
本题是进位制转换的基础题型，核心考查除2取余后逆序排列的规则，计算时注意不要搞反余数的排列顺序就能正确解答。
【难度系数】
0.7
要把十进制数转换为二进制数，使用“除2取余，逆序排列”的方法即可：第一步把需要转换的十进制数反复除以2，依次记录每次得到的余数，直到商为0时停止计算；第二步把记录的所有余数从最后一个到第一个倒序排列，得到的结果就是对应的二进制数，我们分别对7和91按这个方法计算即可。
【解析】
1. 把7转换为二进制数：
①7÷2=3，余数为1
②3÷2=1，余数为1
③1÷2=0，余数为1
将余数从后往前倒序排列，得到111。
2. 把91转换为二进制数：
①91÷2=45，余数为1
②45÷2=22，余数为1
③22÷2=11，余数为0
④11÷2=5，余数为1
⑤5÷2=2，余数为1
⑥2÷2=1，余数为0
⑦1÷2=0，余数为1
将余数从后往前倒序排列，得到1011011。
【答案】
111；1011011
【知识点】
十进制转二进制；除2取余法
【点评】
本题是进位制转换的基础题型，核心考查除2取余后逆序排列的规则，计算时注意不要搞反余数的排列顺序就能正确解答。
【难度系数】
0.7
2.填空，把下列各数转换为八进制数.
8：；91：.
8：；91：.
答案
10；133
解析
【分析】
要把十进制数转换为八进制，使用“除8取余，逆序排列”的方法即可：用待转换的十进制数反复除以8，每次记录对应的余数，直到商为0时停止运算，最后把得到的所有余数从最后一个到第一个倒序排列，就是对应的八进制数。
【解析】
1. 转换数字8：
① $8÷8=1$，余数为0；
② $1÷8=0$，余数为1；
商为0停止计算，将余数逆序排列得10，即8的八进制表示为10。
2. 转换数字91：
① $91÷8=11$，余数为3；
② $11÷8=1$，余数为3；
③ $1÷8=0$，余数为1；
商为0停止计算，将余数逆序排列得133，即91的八进制表示为133。
【答案】
10；133
【知识点】
进位制转换；十进制转八进制；除基取余法
【点评】
本题考查进位制中十进制转八进制的基础运算，核心是掌握除8取余、逆序排列的转换规则，属于进位制模块的基础常规题型，熟练方法后可快速求解。
【难度系数】
0.8
要把十进制数转换为八进制，使用“除8取余，逆序排列”的方法即可：用待转换的十进制数反复除以8，每次记录对应的余数，直到商为0时停止运算，最后把得到的所有余数从最后一个到第一个倒序排列，就是对应的八进制数。
【解析】
1. 转换数字8：
① $8÷8=1$，余数为0；
② $1÷8=0$，余数为1；
商为0停止计算，将余数逆序排列得10，即8的八进制表示为10。
2. 转换数字91：
① $91÷8=11$，余数为3；
② $11÷8=1$，余数为3；
③ $1÷8=0$，余数为1；
商为0停止计算，将余数逆序排列得133，即91的八进制表示为133。
【答案】
10；133
【知识点】
进位制转换；十进制转八进制；除基取余法
【点评】
本题考查进位制中十进制转八进制的基础运算，核心是掌握除8取余、逆序排列的转换规则，属于进位制模块的基础常规题型，熟练方法后可快速求解。
【难度系数】
0.8
3.(1)请你把二进制数10101转换为十进制数的过程补充完整：
$(10101)_2$
$=($
$)_{10}$
$=(\_\_\_\_\_\_)_{10}$；
(2)现在，请你尝试把六进制数421转化为十进制数，并写出转换过程。
$(10101)_2$
$=($
$)_{10}$
$=(\_\_\_\_\_\_)_{10}$；
(2)现在，请你尝试把六进制数421转化为十进制数，并写出转换过程。
答案
解：
(1) $(10101)_2$
$=(1×2^4 + 0×2^3 + 1×2^2 + 0×2^1 + 1×2^0)_{10}$
$=(16+0+4+0+1)_{10}$
$=(21)_{10}$；
(2) 转换过程如下：
$(421)_6$
$=(4×6^2 + 2×6^1 + 1×6^0)_{10}$
$=(4×36 + 2×6 + 1)_{10}$
$=(144+12+1)_{10}$
$=(157)_{10}$
答：六进制数421转化为十进制数是157。
(1) $(10101)_2$
$=(1×2^4 + 0×2^3 + 1×2^2 + 0×2^1 + 1×2^0)_{10}$
$=(16+0+4+0+1)_{10}$
$=(21)_{10}$；
(2) 转换过程如下：
$(421)_6$
$=(4×6^2 + 2×6^1 + 1×6^0)_{10}$
$=(4×36 + 2×6 + 1)_{10}$
$=(144+12+1)_{10}$
$=(157)_{10}$
答：六进制数421转化为十进制数是157。
解析
【分析】
要解决不同进制转十进制的问题，我们需要掌握“按权展开求和”的方法：对于k进制的数，转十进制时，从右往左数，最右侧第1位的权是$k^0$，往左第2位的权是$k^1$，第3位的权是$k^2$……以此类推，把每一位上的数字乘对应位置的权，再把所有乘积相加，得到的结果就是对应的十进制数。
(1) 二进制转十进制时底数为2，我们先对应10101每一位的位置，从右到左幂次从0到4，分别乘2的对应幂次再求和即可。
(2) 六进制转十进制和二进制思路完全一致，只需要把底数换成6，同样按权展开计算求和即可。
【解析】
(1) 二进制数10101转十进制的计算过程：
$\begin{aligned}(10101)_2&=(1×2^4 + 0×2^3 + 1×2^2 + 0×2^1 + 1×2^0)_{10}\\&=(16+0+4+0+1)_{10}\\&=(21)_{10}\end{aligned}$
(2) 六进制数421转十进制的计算过程：
$\begin{aligned}(421)_6&=(4×6^2 + 2×6^1 + 1×6^0)_{10}\\&=(4×36 + 2×6 + 1)_{10}\\&=(144+12+1)_{10}\\&=(157)_{10}\end{aligned}$
【答案】
(1) $1×2^4 + 0×2^3 + 1×2^2 + 0×2^1 + 1×2^0$；$16+0+4+0+1$；$21$
(2) $157$
【知识点】
进制转换、乘方运算、有理数混合运算
【点评】
本题考查不同进制数转化为十进制数的方法，核心是理解并掌握“按权展开求和”的规则，只要能准确对应每一位数字的权值，仔细计算就能得到正确结果，属于进位制相关的基础题型。
【难度系数】
0.8
要解决不同进制转十进制的问题，我们需要掌握“按权展开求和”的方法：对于k进制的数，转十进制时，从右往左数，最右侧第1位的权是$k^0$，往左第2位的权是$k^1$，第3位的权是$k^2$……以此类推，把每一位上的数字乘对应位置的权，再把所有乘积相加，得到的结果就是对应的十进制数。
(1) 二进制转十进制时底数为2，我们先对应10101每一位的位置，从右到左幂次从0到4，分别乘2的对应幂次再求和即可。
(2) 六进制转十进制和二进制思路完全一致，只需要把底数换成6，同样按权展开计算求和即可。
【解析】
(1) 二进制数10101转十进制的计算过程：
$\begin{aligned}(10101)_2&=(1×2^4 + 0×2^3 + 1×2^2 + 0×2^1 + 1×2^0)_{10}\\&=(16+0+4+0+1)_{10}\\&=(21)_{10}\end{aligned}$
(2) 六进制数421转十进制的计算过程：
$\begin{aligned}(421)_6&=(4×6^2 + 2×6^1 + 1×6^0)_{10}\\&=(4×36 + 2×6 + 1)_{10}\\&=(144+12+1)_{10}\\&=(157)_{10}\end{aligned}$
【答案】
(1) $1×2^4 + 0×2^3 + 1×2^2 + 0×2^1 + 1×2^0$；$16+0+4+0+1$；$21$
(2) $157$
【知识点】
进制转换、乘方运算、有理数混合运算
【点评】
本题考查不同进制数转化为十进制数的方法，核心是理解并掌握“按权展开求和”的规则，只要能准确对应每一位数字的权值，仔细计算就能得到正确结果，属于进位制相关的基础题型。
【难度系数】
0.8
【例4】计算下列各题：
(1) $(10110)_2 + (1101)_2$；
(2) $(1110)_2 + (101011)_2$。
(1) $(10110)_2 + (1101)_2$；
(2) $(1110)_2 + (101011)_2$。
答案
解：
二进制加法运算规则为：满二进一，即$0+0=0$，$0+1=1$，$1+0=1$，$1+1=10$。
(1) 将两个二进制数右对齐，逐位相加：
$\begin{array}{r} 10110 \\+\ \ 1101 \\\hline 100011\end{array}$
验证：
$(10110)_2=1×2^4+0×2^3+1×2^2+1×2^1+0×2^0=22$，
$(1101)_2=1×2^3+1×2^2+0×2^1+1×2^0=13$，
和的十进制值为$22+13=35$，
$(100011)_2=1×2^5+0×2^4+0×2^3+0×2^2+1×2^1+1×2^0=35$，计算正确。
因此$\boldsymbol{(10110)_2 + (1101)_2=(100011)_2}$。
(2) 将两个二进制数右对齐，逐位相加：
$\begin{array}{r} 1110 \\+101011 \\\hline 111001\end{array}$
验证：
$(1110)_2=1×2^3+1×2^2+1×2^1+0×2^0=14$，
$(101011)_2=1×2^5+0×2^4+1×2^3+0×2^2+1×2^1+1×2^0=43$，
和的十进制值为$14+43=57$，
$(111001)_2=1×2^5+1×2^4+1×2^3+0×2^2+0×2^1+1×2^0=57$，计算正确。
因此$\boldsymbol{(1110)_2 + (101011)_2=(111001)_2}$。
二进制加法运算规则为：满二进一，即$0+0=0$，$0+1=1$，$1+0=1$，$1+1=10$。
(1) 将两个二进制数右对齐，逐位相加：
$\begin{array}{r} 10110 \\+\ \ 1101 \\\hline 100011\end{array}$
验证：
$(10110)_2=1×2^4+0×2^3+1×2^2+1×2^1+0×2^0=22$，
$(1101)_2=1×2^3+1×2^2+0×2^1+1×2^0=13$，
和的十进制值为$22+13=35$，
$(100011)_2=1×2^5+0×2^4+0×2^3+0×2^2+1×2^1+1×2^0=35$，计算正确。
因此$\boldsymbol{(10110)_2 + (1101)_2=(100011)_2}$。
(2) 将两个二进制数右对齐，逐位相加：
$\begin{array}{r} 1110 \\+101011 \\\hline 111001\end{array}$
验证：
$(1110)_2=1×2^3+1×2^2+1×2^1+0×2^0=14$，
$(101011)_2=1×2^5+0×2^4+1×2^3+0×2^2+1×2^1+1×2^0=43$，
和的十进制值为$14+43=57$，
$(111001)_2=1×2^5+1×2^4+1×2^3+0×2^2+0×2^1+1×2^0=57$，计算正确。
因此$\boldsymbol{(1110)_2 + (101011)_2=(111001)_2}$。
解析
【分析】
二进制加法的核心运算规则为“满二进一”，即0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=10（本位记0，向前一位进1）。解题时首先将两个待加的二进制数右对齐，从最右侧的最低位开始逐位相加，相加满2时向前一位进1，计算完成后可以将二进制数转换为十进制数求和，验证结果是否正确。
【解析】
二进制加法运算规则为：满二进一，即$0+0=0$，$0+1=1$，$1+0=1$，$1+1=10$。
(1) 将两个二进制数右对齐，逐位相加：
$\begin{array}{r} 10110 \\+\ \ 1101 \\\hline 100011\end{array}$
验证：
$(10110)_2=1×2^4+0×2^3+1×2^2+1×2^1+0×2^0=22$，
$(1101)_2=1×2^3+1×2^2+0×2^1+1×2^0=13$，
和的十进制值为$22+13=35$，
$(100011)_2=1×2^5+0×2^4+0×2^3+0×2^2+1×2^1+1×2^0=35$，计算正确。
(2) 将两个二进制数右对齐，逐位相加：
$\begin{array}{r} 1110 \\+101011 \\\hline 111001\end{array}$
验证：
$(1110)_2=1×2^3+1×2^2+1×2^1+0×2^0=14$，
$(101011)_2=1×2^5+0×2^4+1×2^3+0×2^2+1×2^1+1×2^0=43$，
和的十进制值为$14+43=57$，
$(111001)_2=1×2^5+1×2^4+1×2^3+0×2^2+0×2^1+1×2^0=57$，计算正确。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(100011)_2}$；(2) $\boldsymbol{(111001)_2}$
【知识点】
二进制加法运算、进位制数转换
【点评】
本题是进位制的基础运算题，核心是掌握二进制“满二进一”的加法规则，计算时需注意数位对齐和进位的处理，通过转换为十进制计算的方法可以快速验证结果的正确性。
【难度系数】
0.7
二进制加法的核心运算规则为“满二进一”，即0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=10（本位记0，向前一位进1）。解题时首先将两个待加的二进制数右对齐，从最右侧的最低位开始逐位相加，相加满2时向前一位进1，计算完成后可以将二进制数转换为十进制数求和，验证结果是否正确。
【解析】
二进制加法运算规则为：满二进一，即$0+0=0$，$0+1=1$，$1+0=1$，$1+1=10$。
(1) 将两个二进制数右对齐，逐位相加：
$\begin{array}{r} 10110 \\+\ \ 1101 \\\hline 100011\end{array}$
验证：
$(10110)_2=1×2^4+0×2^3+1×2^2+1×2^1+0×2^0=22$，
$(1101)_2=1×2^3+1×2^2+0×2^1+1×2^0=13$，
和的十进制值为$22+13=35$，
$(100011)_2=1×2^5+0×2^4+0×2^3+0×2^2+1×2^1+1×2^0=35$，计算正确。
(2) 将两个二进制数右对齐，逐位相加：
$\begin{array}{r} 1110 \\+101011 \\\hline 111001\end{array}$
验证：
$(1110)_2=1×2^3+1×2^2+1×2^1+0×2^0=14$，
$(101011)_2=1×2^5+0×2^4+1×2^3+0×2^2+1×2^1+1×2^0=43$，
和的十进制值为$14+43=57$，
$(111001)_2=1×2^5+1×2^4+1×2^3+0×2^2+0×2^1+1×2^0=57$，计算正确。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(100011)_2}$；(2) $\boldsymbol{(111001)_2}$
【知识点】
二进制加法运算、进位制数转换
【点评】
本题是进位制的基础运算题，核心是掌握二进制“满二进一”的加法规则，计算时需注意数位对齐和进位的处理，通过转换为十进制计算的方法可以快速验证结果的正确性。
【难度系数】
0.7
4.计算：
(1)$31+26$；
(2)把31,26分别转换为二进制数，利用二进制的加法运算法则计算它们的和，再把和转换为十进制数；
(3)比较(1)(2)的计算结果是否相同。
(1)$31+26$；
(2)把31,26分别转换为二进制数，利用二进制的加法运算法则计算它们的和，再把和转换为十进制数；
(3)比较(1)(2)的计算结果是否相同。
答案
解：
(1) $31+26=57$
(2) 转换十进制数为二进制数：
$31=16+8+4+2+1=1×2^4+1×2^3+1×2^2+1×2^1+1×2^0$，因此十进制数31对应的二进制数为$11111_{(2)}$
$26=16+8+2=1×2^4+1×2^3+0×2^2+1×2^1+0×2^0$，因此十进制数26对应的二进制数为$11010_{(2)}$
根据二进制“逢二进一”的加法运算法则计算：
$\begin{array}{r}11111_{(2)} \\+\ 11010_{(2)} \\\hline 111001_{(2)}\end{array}$
将二进制的和转换为十进制数：
$111001_{(2)}=1×2^5+1×2^4+1×2^3+0×2^2+0×2^1+1×2^0=32+16+8+0+0+1=57$
(3) 比较(1)(2)的计算结果，两个结果均为57，结果相同。
(1) $31+26=57$
(2) 转换十进制数为二进制数：
$31=16+8+4+2+1=1×2^4+1×2^3+1×2^2+1×2^1+1×2^0$，因此十进制数31对应的二进制数为$11111_{(2)}$
$26=16+8+2=1×2^4+1×2^3+0×2^2+1×2^1+0×2^0$，因此十进制数26对应的二进制数为$11010_{(2)}$
根据二进制“逢二进一”的加法运算法则计算：
$\begin{array}{r}11111_{(2)} \\+\ 11010_{(2)} \\\hline 111001_{(2)}\end{array}$
将二进制的和转换为十进制数：
$111001_{(2)}=1×2^5+1×2^4+1×2^3+0×2^2+0×2^1+1×2^0=32+16+8+0+0+1=57$
(3) 比较(1)(2)的计算结果，两个结果均为57，结果相同。
解析
【分析】
解题按三个小问的逻辑逐步推进：
1. 第(1)问是常规十进制整数加法，直接按整数加法计算法则计算即可。
2. 第(2)问分三步完成：首先把十进制数31、26拆分为2的整数次幂相加的形式，各次幂的系数就是对应二进制数位上的数字，即可得到两个数的二进制形式；再按照二进制“逢二进一”的加法规则列竖式计算二者的和；最后将得到的二进制和按位乘对应2的幂次求和，转换回十进制数。
3. 第(3)问直接对比前两问得到的十进制结果，就能得出结论。
【解析】
(1) 计算十进制加法：
$31+26=57$
(2) ① 十进制数转二进制数：
将31拆为2的幂次和：$31=16+8+4+2+1=1×2^4+1×2^3+1×2^2+1×2^1+1×2^0$，因此十进制31对应的二进制数为$11111_{(2)}$；
将26拆为2的幂次和：$26=16+8+2=1×2^4+1×2^3+0×2^2+1×2^1+0×2^0$，因此十进制26对应的二进制数为$11010_{(2)}$。
② 按二进制“逢二进一”的规则计算加法：
$\begin{array}{r}11111_{(2)} \\+\ 11010_{(2)} \\\hline 111001_{(2)}\end{array}$
③ 二进制和转十进制数：
$111001_{(2)}=1×2^5+1×2^4+1×2^3+0×2^2+0×2^1+1×2^0=32+16+8+0+0+1=57$
(3) 对比(1)的结果57和(2)转换得到的十进制结果57，可知二者结果相同。
【答案】
(1) $\boxed{57}$
(2) 31的二进制为$11111_{(2)}$，26的二进制为$11010_{(2)}$，相加得$111001_{(2)}$，转换为十进制是$\boxed{57}$
(3) (1)(2)的计算结果$\boxed{相同}$
【知识点】
十进制与二进制互转；二进制加法运算；进位制应用
【点评】
本题通过对比不同进位制下的加法运算，考查了十进制和二进制的转换方法以及二进制的加法规则，能帮助理解不同进位制的运算逻辑，体会进位制的实际应用价值。
【难度系数】
0.7
解题按三个小问的逻辑逐步推进：
1. 第(1)问是常规十进制整数加法，直接按整数加法计算法则计算即可。
2. 第(2)问分三步完成：首先把十进制数31、26拆分为2的整数次幂相加的形式，各次幂的系数就是对应二进制数位上的数字，即可得到两个数的二进制形式；再按照二进制“逢二进一”的加法规则列竖式计算二者的和；最后将得到的二进制和按位乘对应2的幂次求和，转换回十进制数。
3. 第(3)问直接对比前两问得到的十进制结果，就能得出结论。
【解析】
(1) 计算十进制加法：
$31+26=57$
(2) ① 十进制数转二进制数：
将31拆为2的幂次和：$31=16+8+4+2+1=1×2^4+1×2^3+1×2^2+1×2^1+1×2^0$，因此十进制31对应的二进制数为$11111_{(2)}$；
将26拆为2的幂次和：$26=16+8+2=1×2^4+1×2^3+0×2^2+1×2^1+0×2^0$，因此十进制26对应的二进制数为$11010_{(2)}$。
② 按二进制“逢二进一”的规则计算加法：
$\begin{array}{r}11111_{(2)} \\+\ 11010_{(2)} \\\hline 111001_{(2)}\end{array}$
③ 二进制和转十进制数：
$111001_{(2)}=1×2^5+1×2^4+1×2^3+0×2^2+0×2^1+1×2^0=32+16+8+0+0+1=57$
(3) 对比(1)的结果57和(2)转换得到的十进制结果57，可知二者结果相同。
【答案】
(1) $\boxed{57}$
(2) 31的二进制为$11111_{(2)}$，26的二进制为$11010_{(2)}$，相加得$111001_{(2)}$，转换为十进制是$\boxed{57}$
(3) (1)(2)的计算结果$\boxed{相同}$
【知识点】
十进制与二进制互转；二进制加法运算；进位制应用
【点评】
本题通过对比不同进位制下的加法运算，考查了十进制和二进制的转换方法以及二进制的加法规则，能帮助理解不同进位制的运算逻辑，体会进位制的实际应用价值。
【难度系数】
0.7
【例5】(数学文化)第十四届国际数学教育大会(ICME-14)会徽的主题图案有着丰富的数学文化元素，展现了我国古代数学的文化魅力，如图(见下页)，其右下方是用八卦符号来记数的，这个数是由四个二进制数组成的.根据如图所示的会徽，回答下列问题：
(1)写出用八卦符号表示的四个二进制数；
(2)把(1)中的二进制数分别转换为十进制数，得到的这个四位数是，将这个四位数看作一个八进制数，将这个八进制数转换为十进制数；
(3)结合(2)中最后得到的十进制数，说说第十四届国际数学教育大会(ICME-14)会徽的主题图案蕴含的意义.
(1)写出用八卦符号表示的四个二进制数；
(2)把(1)中的二进制数分别转换为十进制数，得到的这个四位数是，将这个四位数看作一个八进制数，将这个八进制数转换为十进制数；
(3)结合(2)中最后得到的十进制数，说说第十四届国际数学教育大会(ICME-14)会徽的主题图案蕴含的意义.
答案
解：
(1) 四个二进制数分别为111，110，100，011。
(2) 将二进制数转换为十进制数：
$111_{(2)} = 1×2^2 + 1×2^1 + 1×2^0 = 4+2+1=7$
$110_{(2)} = 1×2^2 + 1×2^1 + 0×2^0 = 4+2+0=6$
$100_{(2)} = 1×2^2 + 0×2^1 + 0×2^0 = 4+0+0=4$
$011_{(2)} = 0×2^2 + 1×2^1 + 1×2^0 = 0+2+1=3$
得到的四位数是$\boldsymbol{7643}$。
将八进制数7643转换为十进制数：
$7643_{(8)} = 7×8^3 + 6×8^2 + 4×8^1 + 3×8^0$
$=7×512 + 6×64 + 4×8 + 3×1$
$=3584 + 384 + 32 + 3$
$=4003$
(3) 该十进制数4003，结合我国古代八卦记数的数学文化，寓意传承千年的中国古代数学文化与现代国际数学教育深度融合，彰显了传统数学文化的独特魅力，也象征着全球数学教育交流互通、源远流长，呼应第十四届国际数学教育大会在中国举办的文化内核。
(1) 四个二进制数分别为111，110，100，011。
(2) 将二进制数转换为十进制数：
$111_{(2)} = 1×2^2 + 1×2^1 + 1×2^0 = 4+2+1=7$
$110_{(2)} = 1×2^2 + 1×2^1 + 0×2^0 = 4+2+0=6$
$100_{(2)} = 1×2^2 + 0×2^1 + 0×2^0 = 4+0+0=4$
$011_{(2)} = 0×2^2 + 1×2^1 + 1×2^0 = 0+2+1=3$
得到的四位数是$\boldsymbol{7643}$。
将八进制数7643转换为十进制数：
$7643_{(8)} = 7×8^3 + 6×8^2 + 4×8^1 + 3×8^0$
$=7×512 + 6×64 + 4×8 + 3×1$
$=3584 + 384 + 32 + 3$
$=4003$
(3) 该十进制数4003，结合我国古代八卦记数的数学文化，寓意传承千年的中国古代数学文化与现代国际数学教育深度融合，彰显了传统数学文化的独特魅力，也象征着全球数学教育交流互通、源远流长，呼应第十四届国际数学教育大会在中国举办的文化内核。
解析
【分析】
解题思路：(1) 首先明确八卦记数的对应规则：阳爻对应二进制数1，阴爻对应二进制数0，每个八卦符号由3个爻组成，对应1个三位二进制数，按从左到右顺序读取四个八卦符号，即可得到对应的四个二进制数。(2) 二进制转十进制的规则为：把二进制数每一位数字乘2的n次方（n从右往左，从0开始计数），再将所有结果相加得到对应十进制数，把四个十进制数按顺序组合得到所求四位数；再按照八进制转十进制的规则：把八进制数每一位数字乘8的n次方（n从右往左，从0开始计数），相加后得到最终结果。(3) 结合得到的十进制数、大会举办背景和中国古代数学文化特点总结寓意即可。
【解析】
(1) 根据八卦符号对应二进制的记数规则，读取四个符号对应的三位二进制数，分别为$111_{(2)}$、$110_{(2)}$、$100_{(2)}$、$011_{(2)}$。
(2) 分别转换为十进制数：
$111_{(2)} = 1×2^2 + 1×2^1 + 1×2^0 = 4+2+1=7$
$110_{(2)} = 1×2^2 + 1×2^1 + 0×2^0 = 4+2+0=6$
$100_{(2)} = 1×2^2 + 0×2^1 + 0×2^0 = 4+0+0=4$
$011_{(2)} = 0×2^2 + 1×2^1 + 1×2^0 = 0+2+1=3$
按顺序组合得到四位数为7643。
再将八进制数$7643_{(8)}$转换为十进制：
$7643_{(8)} = 7×8^3 + 6×8^2 + 4×8^1 + 3×8^0$
$=7×512 + 6×64 + 4×8 + 3×1$
$=3584 + 384 + 32 + 3$
$=4003$
(3) 最终得到的十进制数为4003，该数结合了我国古代八卦记数的传统文化，寓意中国传承千年的古代数学文化和现代国际数学教育深度融合，既展现了传统数学文化的独特魅力，也象征全球数学教育交流互通、源远流长，呼应了第十四届国际数学教育大会在中国举办的文化内核。
【答案】
(1) 111，110，100，011；
(2) $\boxed{7643}$，转换为十进制数结果为4003；
(3) 寓意传承千年的中国古代数学文化与现代国际数学教育深度融合，彰显了传统数学文化的独特魅力，也象征着全球数学教育交流互通、源远流长，呼应第十四届国际数学教育大会在中国举办的文化内核。
【知识点】
二进制转十进制，八进制转十进制，进位制转换
【点评】
本题以国际数学教育大会会徽为背景，将进位制知识点和中国古代传统数学文化结合，既考查了不同进位制之间转换的基础方法，又能让学生感受到数学文化的魅力，体现了数学的应用性和文化属性。
【难度系数】
0.6
解题思路：(1) 首先明确八卦记数的对应规则：阳爻对应二进制数1，阴爻对应二进制数0，每个八卦符号由3个爻组成，对应1个三位二进制数，按从左到右顺序读取四个八卦符号，即可得到对应的四个二进制数。(2) 二进制转十进制的规则为：把二进制数每一位数字乘2的n次方（n从右往左，从0开始计数），再将所有结果相加得到对应十进制数，把四个十进制数按顺序组合得到所求四位数；再按照八进制转十进制的规则：把八进制数每一位数字乘8的n次方（n从右往左，从0开始计数），相加后得到最终结果。(3) 结合得到的十进制数、大会举办背景和中国古代数学文化特点总结寓意即可。
【解析】
(1) 根据八卦符号对应二进制的记数规则，读取四个符号对应的三位二进制数，分别为$111_{(2)}$、$110_{(2)}$、$100_{(2)}$、$011_{(2)}$。
(2) 分别转换为十进制数：
$111_{(2)} = 1×2^2 + 1×2^1 + 1×2^0 = 4+2+1=7$
$110_{(2)} = 1×2^2 + 1×2^1 + 0×2^0 = 4+2+0=6$
$100_{(2)} = 1×2^2 + 0×2^1 + 0×2^0 = 4+0+0=4$
$011_{(2)} = 0×2^2 + 1×2^1 + 1×2^0 = 0+2+1=3$
按顺序组合得到四位数为7643。
再将八进制数$7643_{(8)}$转换为十进制：
$7643_{(8)} = 7×8^3 + 6×8^2 + 4×8^1 + 3×8^0$
$=7×512 + 6×64 + 4×8 + 3×1$
$=3584 + 384 + 32 + 3$
$=4003$
(3) 最终得到的十进制数为4003，该数结合了我国古代八卦记数的传统文化，寓意中国传承千年的古代数学文化和现代国际数学教育深度融合，既展现了传统数学文化的独特魅力，也象征全球数学教育交流互通、源远流长，呼应了第十四届国际数学教育大会在中国举办的文化内核。
【答案】
(1) 111，110，100，011；
(2) $\boxed{7643}$，转换为十进制数结果为4003；
(3) 寓意传承千年的中国古代数学文化与现代国际数学教育深度融合，彰显了传统数学文化的独特魅力，也象征着全球数学教育交流互通、源远流长，呼应第十四届国际数学教育大会在中国举办的文化内核。
【知识点】
二进制转十进制，八进制转十进制，进位制转换
【点评】
本题以国际数学教育大会会徽为背景，将进位制知识点和中国古代传统数学文化结合，既考查了不同进位制之间转换的基础方法，又能让学生感受到数学文化的魅力，体现了数学的应用性和文化属性。
【难度系数】
0.6
