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例1 从3名男生和2名女生中随机抽取学生，求下列事件的概率：
(1)抽取1名，恰好是女生；
(2)抽取2名，恰好是1名男生和1名女生。
【思路导析】抽取男生分别用$A_1,A_2,A_3$表示，抽取女生分别用$B_1,B_2$表示，列举所有情况，再运用$P(A)=\dfrac{m}{n}$计算。
【请你解答】
(1)抽取1名，恰好是女生；
(2)抽取2名，恰好是1名男生和1名女生。
【思路导析】抽取男生分别用$A_1,A_2,A_3$表示，抽取女生分别用$B_1,B_2$表示，列举所有情况，再运用$P(A)=\dfrac{m}{n}$计算。
【请你解答】
答案
解：
(1) 总共有3+2=5名学生，抽取1名学生的所有等可能结果共5种，其中抽到女生的结果有2种，
因此$P(\mathrm{抽取1名，恰好是女生})=\dfrac{2}{5}$。
(2) 将3名男生记为$A_1,A_2,A_3$，2名女生记为$B_1,B_2$，抽取2名学生的所有等可能结果为：
$(A_1,A_2),(A_1,A_3),(A_1,B_1),(A_1,B_2),(A_2,A_3),(A_2,B_1),(A_2,B_2),(A_3,B_1),(A_3,B_2),(B_1,B_2)$，
共10种，其中恰好是1名男生和1名女生的结果有6种，
因此$P(\mathrm{抽取2名，恰好是1名男生和1名女生})=\dfrac{6}{10}=\dfrac{3}{5}$。
(1) 总共有3+2=5名学生，抽取1名学生的所有等可能结果共5种，其中抽到女生的结果有2种，
因此$P(\mathrm{抽取1名，恰好是女生})=\dfrac{2}{5}$。
(2) 将3名男生记为$A_1,A_2,A_3$，2名女生记为$B_1,B_2$，抽取2名学生的所有等可能结果为：
$(A_1,A_2),(A_1,A_3),(A_1,B_1),(A_1,B_2),(A_2,A_3),(A_2,B_1),(A_2,B_2),(A_3,B_1),(A_3,B_2),(B_1,B_2)$，
共10种，其中恰好是1名男生和1名女生的结果有6种，
因此$P(\mathrm{抽取2名，恰好是1名男生和1名女生})=\dfrac{6}{10}=\dfrac{3}{5}$。
解析
【分析】
本题考查等可能事件的概率计算，解题核心是运用概率公式$P(A)=\frac{m}{n}$，其中$n$为所有等可能的结果总数，$m$为所求事件包含的结果数。
对于第(1)问，抽取1名学生时，总结果数等于学生总人数，符合条件的结果数等于女生人数，直接代入公式即可求解。
对于第(2)问，抽取2名学生时，需要按顺序不重不漏地列举出所有抽取2人的等可能结果，再统计其中恰好1男1女的结果数，最后代入公式计算概率。
【解析】
(1) 学生总人数为$3+2=5$名，抽取1名学生的所有等可能结果共5种，其中抽到女生的结果有2种，因此：
$P(\mathrm{抽取1名，恰好是女生})=\dfrac{2}{5}$。
(2) 将3名男生记为$A_1,A_2,A_3$，2名女生记为$B_1,B_2$，抽取2名学生的所有等可能结果为：
$(A_1,A_2),(A_1,A_3),(A_1,B_1),(A_1,B_2),(A_2,A_3),(A_2,B_1),(A_2,B_2),(A_3,B_1),(A_3,B_2),(B_1,B_2)$，共10种，其中恰好是1名男生和1名女生的结果有6种，因此：
$P(\mathrm{抽取2名，恰好是1名男生和1名女生})=\dfrac{6}{10}=\dfrac{3}{5}$。
【答案】
(1) $\dfrac{2}{5}$；(2) $\dfrac{3}{5}$
【知识点】
列举法求概率，古典概型，概率公式应用
【点评】
本题是概率计算的基础题型，重点考查对等可能事件概率公式的运用，解题关键是准确列举所有等可能结果，计数时要做到不重复、不遗漏，是巩固列举法求概率的典型习题。
【难度系数】
0.8
本题考查等可能事件的概率计算，解题核心是运用概率公式$P(A)=\frac{m}{n}$，其中$n$为所有等可能的结果总数，$m$为所求事件包含的结果数。
对于第(1)问，抽取1名学生时，总结果数等于学生总人数，符合条件的结果数等于女生人数，直接代入公式即可求解。
对于第(2)问，抽取2名学生时，需要按顺序不重不漏地列举出所有抽取2人的等可能结果，再统计其中恰好1男1女的结果数，最后代入公式计算概率。
【解析】
(1) 学生总人数为$3+2=5$名，抽取1名学生的所有等可能结果共5种，其中抽到女生的结果有2种，因此：
$P(\mathrm{抽取1名，恰好是女生})=\dfrac{2}{5}$。
(2) 将3名男生记为$A_1,A_2,A_3$，2名女生记为$B_1,B_2$，抽取2名学生的所有等可能结果为：
$(A_1,A_2),(A_1,A_3),(A_1,B_1),(A_1,B_2),(A_2,A_3),(A_2,B_1),(A_2,B_2),(A_3,B_1),(A_3,B_2),(B_1,B_2)$，共10种，其中恰好是1名男生和1名女生的结果有6种，因此：
$P(\mathrm{抽取2名，恰好是1名男生和1名女生})=\dfrac{6}{10}=\dfrac{3}{5}$。
【答案】
(1) $\dfrac{2}{5}$；(2) $\dfrac{3}{5}$
【知识点】
列举法求概率，古典概型，概率公式应用
【点评】
本题是概率计算的基础题型，重点考查对等可能事件概率公式的运用，解题关键是准确列举所有等可能结果，计数时要做到不重复、不遗漏，是巩固列举法求概率的典型习题。
【难度系数】
0.8
例2 随机掷一枚均匀的硬币两次,两次正面朝上的概率是多少?
解:列表
结果总共有个,两次正面朝上有个,所以 $P$ (两次正面朝上) = .
【思路导析】由表中可知出现均等的结果有4种情况,两次正面朝上只有1次.
【请你解答】.
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
解:列表
结果总共有个,两次正面朝上有个,所以 $P$ (两次正面朝上) = .
【思路导析】由表中可知出现均等的结果有4种情况,两次正面朝上只有1次.
【请你解答】.
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
答案
解：
列表如下：
| | 正 | 反 |
| ---- | ---- | ---- |
| 正 | (正,正) | (正,反) |
| 反 | (反,正) | (反,反) |
所有等可能的结果总共有4个，其中两次正面朝上的结果有1个。
所以 $P(\mathrm{两次正面朝上})=\frac{1}{4}$。
答：两次正面朝上的概率是$\frac{1}{4}$。
列表如下：
| | 正 | 反 |
| ---- | ---- | ---- |
| 正 | (正,正) | (正,反) |
| 反 | (反,正) | (反,反) |
所有等可能的结果总共有4个，其中两次正面朝上的结果有1个。
所以 $P(\mathrm{两次正面朝上})=\frac{1}{4}$。
答：两次正面朝上的概率是$\frac{1}{4}$。
解析
【分析】
要计算随机掷一枚均匀硬币两次、两次正面朝上的概率，我们可以使用列表法梳理所有可能的结果：首先掷第一次硬币有“正”“反”2种等可能结果，掷第二次硬币同样有“正”“反”2种等可能结果，列表可以直观呈现所有组合，避免结果遗漏或重复计数。再从中筛选出符合“两次正面朝上”的结果数，最后根据古典概型的概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的总结果数”即可计算出对应概率。
【解析】
首先通过列表列举所有可能的结果：
| | 正 | 反 |
| ---- | ---- | ---- |
| 正 | (正,正) | (正,反) |
| 反 | (反,正) | (反,反) |
观察表格可得，所有等可能的结果总共有4个，其中满足“两次正面朝上”的结果只有1个。
代入概率公式计算：
$P(\mathrm{两次正面朝上})=\frac{\mathrm{两次正面朝上的结果数}}{\mathrm{所有等可能的总结果数}}=\frac{1}{4}$
【答案】
结果总共有$\boldsymbol{4}$个，两次正面朝上有$\boldsymbol{1}$个，所以 $P$ (两次正面朝上) = $\boldsymbol{\frac{1}{4}}$。
完整解答：
列表如下：
| | 正 | 反 |
| ---- | ---- | ---- |
| 正 | (正,正) | (正,反) |
| 反 | (反,正) | (反,反) |
所有等可能的结果总共有4个，其中两次正面朝上的结果有1个。
所以 $P(\mathrm{两次正面朝上})=\frac{1}{4}$。
答：两次正面朝上的概率是$\frac{1}{4}$。
【知识点】
列表法求概率、古典概型概率计算
【点评】
本题是概率计算的基础题型，列表法可以帮我们不重不漏地梳理所有等可能的结果，结合概率公式即可快速求解，掌握列表法是解决这类多步随机事件概率问题的核心。
【难度系数】
0.9
要计算随机掷一枚均匀硬币两次、两次正面朝上的概率，我们可以使用列表法梳理所有可能的结果：首先掷第一次硬币有“正”“反”2种等可能结果，掷第二次硬币同样有“正”“反”2种等可能结果，列表可以直观呈现所有组合，避免结果遗漏或重复计数。再从中筛选出符合“两次正面朝上”的结果数，最后根据古典概型的概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的总结果数”即可计算出对应概率。
【解析】
首先通过列表列举所有可能的结果：
| | 正 | 反 |
| ---- | ---- | ---- |
| 正 | (正,正) | (正,反) |
| 反 | (反,正) | (反,反) |
观察表格可得，所有等可能的结果总共有4个，其中满足“两次正面朝上”的结果只有1个。
代入概率公式计算：
$P(\mathrm{两次正面朝上})=\frac{\mathrm{两次正面朝上的结果数}}{\mathrm{所有等可能的总结果数}}=\frac{1}{4}$
【答案】
结果总共有$\boldsymbol{4}$个，两次正面朝上有$\boldsymbol{1}$个，所以 $P$ (两次正面朝上) = $\boldsymbol{\frac{1}{4}}$。
完整解答：
列表如下：
| | 正 | 反 |
| ---- | ---- | ---- |
| 正 | (正,正) | (正,反) |
| 反 | (反,正) | (反,反) |
所有等可能的结果总共有4个，其中两次正面朝上的结果有1个。
所以 $P(\mathrm{两次正面朝上})=\frac{1}{4}$。
答：两次正面朝上的概率是$\frac{1}{4}$。
【知识点】
列表法求概率、古典概型概率计算
【点评】
本题是概率计算的基础题型，列表法可以帮我们不重不漏地梳理所有等可能的结果，结合概率公式即可快速求解，掌握列表法是解决这类多步随机事件概率问题的核心。
【难度系数】
0.9
例3 一个质地均匀的正四面体，四个面上分别标有数字1,2,3,4.投掷这个四面体，观察底面上的数字.
(1)投掷一次，底面上出现偶数的概率？
(2)投掷两次，$a$是第一次投掷结果，$b$是第二次投掷结果.求点的坐标$(a,b)$落在直线$y=x+1$上的概率$P(A)$.
【探究点拨】(1)投掷一次出现均等的可能结果有四种，底面出现偶数的结果有两种：2和4；
(2)用列表法列出$(a,b)$所有可能的情况，将点$(a,b)$代入$y=x+1$中看有多少种情况满足解析式.
【规范解答】(1)$P(偶数)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$.
(2)列表如下：
投掷两次发生的均等结果有$4×4=16$种，其中有$(1,2),(2,3),(3,4)$，共三点落在$y=x+1$上，所以$P(A)=\frac{3}{16}$.
(1)投掷一次，底面上出现偶数的概率？
(2)投掷两次，$a$是第一次投掷结果，$b$是第二次投掷结果.求点的坐标$(a,b)$落在直线$y=x+1$上的概率$P(A)$.
【探究点拨】(1)投掷一次出现均等的可能结果有四种，底面出现偶数的结果有两种：2和4；
(2)用列表法列出$(a,b)$所有可能的情况，将点$(a,b)$代入$y=x+1$中看有多少种情况满足解析式.
【规范解答】(1)$P(偶数)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$.
(2)列表如下：
投掷两次发生的均等结果有$4×4=16$种，其中有$(1,2),(2,3),(3,4)$，共三点落在$y=x+1$上，所以$P(A)=\frac{3}{16}$.
答案
解：
(1) 投掷一次，底面上的数字所有等可能出现的结果共4种，分别为1,2,3,4，其中底面出现偶数的结果为2,4，共2种。
因此$P(\mathrm{底面上出现偶数})=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
(2) 列出所有点$(a,b)$的可能结果如下：
| 第一次投掷结果\第二次投掷结果 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 1 | $(1,1)$ | $(1,2)$ | $(1,3)$ | $(1,4)$ |
| 2 | $(2,1)$ | $(2,2)$ | $(2,3)$ | $(2,4)$ |
| 3 | $(3,1)$ | $(3,2)$ | $(3,3)$ | $(3,4)$ |
| 4 | $(4,1)$ | $(4,2)$ | $(4,3)$ | $(4,4)$ |
由表可知，投掷两次共有16种等可能的结果，其中落在直线$y=x+1$上的点有$(1,2),(2,3),(3,4)$，共3种。
因此$P(A)=\frac{3}{16}$。
(1) 投掷一次，底面上的数字所有等可能出现的结果共4种，分别为1,2,3,4，其中底面出现偶数的结果为2,4，共2种。
因此$P(\mathrm{底面上出现偶数})=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
(2) 列出所有点$(a,b)$的可能结果如下：
| 第一次投掷结果\第二次投掷结果 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 1 | $(1,1)$ | $(1,2)$ | $(1,3)$ | $(1,4)$ |
| 2 | $(2,1)$ | $(2,2)$ | $(2,3)$ | $(2,4)$ |
| 3 | $(3,1)$ | $(3,2)$ | $(3,3)$ | $(3,4)$ |
| 4 | $(4,1)$ | $(4,2)$ | $(4,3)$ | $(4,4)$ |
由表可知，投掷两次共有16种等可能的结果，其中落在直线$y=x+1$上的点有$(1,2),(2,3),(3,4)$，共3种。
因此$P(A)=\frac{3}{16}$。
解析
【分析】
(1) 解决第一问时，首先明确投掷一次正四面体，所有等可能的结果总数为4种，再找出底面数字为偶数的结果数，根据“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数”的公式计算即可。
(2) 解决第二问时，先明确两次投掷结果相互独立，用列表法列出所有$(a,b)$的等可能结果，总共有$4×4=16$种；再根据直线$y=x+1$的坐标特征（纵坐标比横坐标大1），找出符合条件的点的个数，最后代入概率公式计算即可。
【解析】
(1) 投掷一次正四面体，底面上的数字所有等可能出现的结果共4种，分别为1、2、3、4，其中底面出现偶数的结果为2、4，共2种。
因此$P(\mathrm{底面上出现偶数})=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
(2) 列出所有点$(a,b)$的可能结果如下表：
| 第一次投掷结果\第二次投掷结果 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 1 | $(1,1)$ | $(1,2)$ | $(1,3)$ | $(1,4)$ |
| 2 | $(2,1)$ | $(2,2)$ | $(2,3)$ | $(2,4)$ |
| 3 | $(3,1)$ | $(3,2)$ | $(3,3)$ | $(3,4)$ |
| 4 | $(4,1)$ | $(4,2)$ | $(4,3)$ | $(4,4)$ |
由表可知，投掷两次共有16种等可能的结果，其中落在直线$y=x+1$上的点有$(1,2),(2,3),(3,4)$，共3种。
因此$P(A)=\frac{3}{16}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{2}$；(2) $\frac{3}{16}$
【知识点】
概率公式，列举法求概率，一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于概率基础题型，结合了一次函数的相关性质，核心考查对列举法的运用以及古典概型概率公式的掌握，解题关键是不重不漏地找出所有等可能结果和符合条件的结果。
【难度系数】
0.8
(1) 解决第一问时，首先明确投掷一次正四面体，所有等可能的结果总数为4种，再找出底面数字为偶数的结果数，根据“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数”的公式计算即可。
(2) 解决第二问时，先明确两次投掷结果相互独立，用列表法列出所有$(a,b)$的等可能结果，总共有$4×4=16$种；再根据直线$y=x+1$的坐标特征（纵坐标比横坐标大1），找出符合条件的点的个数，最后代入概率公式计算即可。
【解析】
(1) 投掷一次正四面体，底面上的数字所有等可能出现的结果共4种，分别为1、2、3、4，其中底面出现偶数的结果为2、4，共2种。
因此$P(\mathrm{底面上出现偶数})=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
(2) 列出所有点$(a,b)$的可能结果如下表：
| 第一次投掷结果\第二次投掷结果 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 1 | $(1,1)$ | $(1,2)$ | $(1,3)$ | $(1,4)$ |
| 2 | $(2,1)$ | $(2,2)$ | $(2,3)$ | $(2,4)$ |
| 3 | $(3,1)$ | $(3,2)$ | $(3,3)$ | $(3,4)$ |
| 4 | $(4,1)$ | $(4,2)$ | $(4,3)$ | $(4,4)$ |
由表可知，投掷两次共有16种等可能的结果，其中落在直线$y=x+1$上的点有$(1,2),(2,3),(3,4)$，共3种。
因此$P(A)=\frac{3}{16}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{2}$；(2) $\frac{3}{16}$
【知识点】
概率公式，列举法求概率，一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于概率基础题型，结合了一次函数的相关性质，核心考查对列举法的运用以及古典概型概率公式的掌握，解题关键是不重不漏地找出所有等可能结果和符合条件的结果。
【难度系数】
0.8
