例3 如图,在$△ ABC$和$△ DBC$中,
$∠ ACB=∠ DBC=90°$,E是BC的中点,
$DE⊥ AB$,垂足为点F,且$AB=ED$。
(1)求证:$BD=CB$。
(2)若$BD=8\ \mathrm{cm}$,求AC的长。

(1)证明:因为∠DBC=90°，
所以∠ABC+∠DBF=90°。
因为DE⊥AB，所以∠EDB+∠DBF=90°，
所以∠ABC=∠EDB。
在△EBD和△ACB中，
因为$\begin{cases} ∠EBD=∠ACB, \\ ∠EDB=∠ABC, \\ ED=AB, \end{cases}$
所以△EBD≌△ACB(AAS)，所以BD=CB。
(2)由(1)可知△EBD≌△ACB，所以EB=AC。
因为E是BC的中点，所以EB=$\frac{1}{2}$BC。
又因为BD=CB，
所以EB=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$×8=4(cm)，
所以AC=4 cm。

变式 已知 $AB=AC, BD ⊥ AC, CE ⊥ AB, BD, CE$ 相交于点 $F$。
(1)如图1,求证:$BE=CD$。
(2)如图2,连结 $AF$,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图2中所有的全等三角形。

(1)证明:因为BD⊥AC，CE⊥AB，
所以∠ADB=∠AEC=∠BEF=∠CDF=90°。
在△ABD与△ACE中，
$\begin{cases} ∠A=∠A, \\ ∠ADB=∠AEC, \\ AC=AB, \end{cases}$
所以△ABD≌△ACE(AAS)，
所以AE=AD。
因为AB=AC，
所以AB-AE=AC-AD，
即BE=CD。
(2)由(1)可知△ABD≌△ACE，BE=CD，
所以∠B=∠C，AE=AD。
在△BEF和△DCF中，
$\begin{cases} ∠BEF=∠CDF, \\ BE=CD, \\ ∠B=∠C, \end{cases}$
所以△BEF≌△CDF(ASA)，
所以BF=CF，EF=DF。
因为AE=AD，∠AEF=∠ADF=90°，EF=DF，
所以△AEF≌△ADF(SAS)。
因为AB=AC，BF=CF，AF=AF，
所以△ABF≌△ACF(SSS)。
所以图2中所有的全等三角形有△ABD≌△ACE，△BEF≌△CDF，△AEF≌△ADF，△ABF≌△ACF。

例4 如图，$CD// AB$，$△ ABC$的中线$AE$的延长线与$CD$相交于点$D$。
(1)若$AE=3$，求$DE$的长。
(2)$∠ DAC$的平分线与$DC$相交于点$F$，连结$EF$，若$AF=DF$，$AC=DE$，求证：$AB=EF+AF$。

(1)因为CD//AB，
所以∠B=∠DCE。
因为AE是△ABC的中线，所以CE=BE。
在△ABE和△DCE中，
因为$\begin{cases} ∠B=∠DCE, \\ BE=CE, \\ ∠AEB=∠DEC, \end{cases}$
所以△ABE≌△DCE(ASA)，
所以DE=AE=3，所以DE的长为3。
(2)证明:因为△ABE≌△DCE，所以AB=CD。
因为AF平分∠DAC，所以∠CAF=∠DAF。
因为AC=DE，AE=DE，所以AC=AE。
在△CAF和△EAF中，
因为$\begin{cases} AC=AE, \\ ∠CAF=∠EAF, \\ AF=AF, \end{cases}$
所以△CAF≌△EAF(SAS)，所以CF=EF。
因为AF=DF，
所以AB=CD=CF+DF=EF+AF。

变式 如图,在四边形ABDC中,∠D=∠B=90°,O为BD上的一点,且AO平分∠BAC,CO平分∠ACD。求证:
(1)OA⊥OC。
(2)AB+CD=AC。

(1)证明:因为∠D=∠B=90°，
所以∠D+∠B=180°，
所以AB//CD，
所以∠CAB+∠ACD=180°。
又因为AO平分∠BAC，CO平分∠ACD，
所以∠CAO+∠ACO=$\frac{1}{2}$(∠CAB+∠ACD)=90°，
所以∠AOC=180°-(∠CAO+∠ACO)=90°，
即OA⊥OC。
(2)如图，过点O作OE⊥AC于点E。
因为∠AEO=∠ABO=90°，∠EAO=∠BAO，AO=AO，
所以△ABO≌△AEO(AAS)，
所以AB=AE。
同理可证CD=CE。
所以AB+CD=AE+CE=AC。