9. 如图，在$△ ABC$与$△ ACD$中，$AD=AC=DC=2\sqrt{3}$，$∠ BAC : ∠ B : ∠ ACB = 1 : 2 : 3$，则$△ ABC$的外心与$△ ACD$的内心之间的距离为().


A.$2$
B.$\sqrt{3}+1$
C.$2\sqrt{3}$
D.$3$

9. A 解析 如图,过点 D 作 DG⊥AC 于点 G,并延长交 AB 于点 F,在△ACD 中,$AD=AC=DC=2\sqrt{3}$，
∴△ACD 是等边三角形,G 为 AC 中点.
过点 A 作 AE 平分∠DAC 交 DG 于点 E,则点 E 为△ACD 的内心,∠EAC=30°.
∵在△ABC 中,∠BAC : ∠B : ∠ACB = 1 : 2 : 3，
∴∠BAC=30°,∠B=60°,∠ACB=90°,
∴BC//EF,∠EAF=∠EAC+∠BAC=60°,
∴∠AFE=∠B=60°,
∴△AEF 是等边三角形.
∵AG=CG,
∴F 为 AB 中点,即点 F 为△ABC 的外心.
∵$AC=2\sqrt{3}$，
∴在Rt△ABC 中,$BC^2+AC^2=4BC^2$，
∴BC=2,AB=4.
∴EF=AF=2.
则△ABC 的外心与△ACD 的内心之间的距离为 2.故选 A.

10. 如图，$△ ABC$内接于$\odot O$，AB为$\odot O$的直径，I为$△ ABC$的内心，连接$OI,AI,BI$。若$OI ⊥ BI$，$OI = 1$，则AB的长为。

10. $2\sqrt{5}$ 解析 如图，延长 BI 交$\odot O$于点 M,连接 MA.
在△ABM 中,斜边 AB 经过圆心 O,
∴∠AMB=90°.
∵BI⊥OI,AO=OB，
∴OI 为△AMB 的中位线，
∴AM=2OI=2.
在△ABC 中,I 为三个角平分线的交点，
∵∠ACB=90°,
∴∠CAB+∠CBA=90°,
∴∠IAB+∠IBA=45°,即∠MIA=45°,
∴Rt△MAI 为等腰直角三角形，
∴MA=MI=IB=2.
根据勾股定理,可得$AB^2=MA^2+MB^2=2^2+4^2=20$,即$AB=2\sqrt{5}$.

11. 如图, 点 I 是 $△ ABC$ 的内心, $AI$ 的延长线和 $△ ABC$ 的外接圆 $\odot O$ 相交于点 $D$.
(1)求证: $DB=DI$;
(2)如果 $OI ⊥ AD$, $IM ⊥ AB$ 于 $M$, 求证: $BC=2AM$.

证明 (1)如图,连接 BI.
∵点 I 是△ABC 的内心，
∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI，
∴∠BAD+∠ABI=∠CAD+∠CBI.
∵∠CAD=∠CBD，
∴∠BAD+∠ABI=∠CBD+∠CBI.
∵∠BID = ∠BAD + ∠ABI, ∠IBD = ∠CBD+∠CBI，
∴∠BID=∠IBD,
∴DB=DI.
(2)如图,连接 OD,交 BC 于点 E.
∵∠BAD=∠CAD，
∴$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$,
∴OD⊥BC,BE=CE.
∵OI⊥AD,IM⊥AB，
∴∠BED=∠AMI=90°,IA=DI.
∵DB=DI,
∴DB=IA.
∵∠DBE=∠DAC,∠IAM=∠DAC，
∴∠DBE=∠IAM.
在△DBE 和△IAM 中，
$\begin{cases}∠BED=∠AMI,\\∠DBE=∠IAM,\\DB=IA,\end{cases}$
∴△DBE≌△IAM(AAS)，
∴BE=AM,
∴2BE=2AM.
∵BC=2BE,
∴BC=2AM.

12. 如图，AB是△ABC外接圆⊙O的直径，PA是⊙O的切线，BD//OP，点D在⊙O上。

(1)求证:PD是⊙O的切线.
(2)若△ABC的边AC=6 cm,BC=8 cm,I是△ABC的内心,求IO的长度.

(1)证明 如图,连接 OD,AD.
∵AB 为$\odot O$的直径,
∴∠ADB=90°.
∵BD//OP，
∴OP⊥AD,OP 是 AD 的垂直平分线，
∴PD=PA.
∵OP=OP,OD=OA，
∴△ODP≌△OAP(SSS)，
∴∠OAP=∠ODP.
∵PA 是$\odot O$的切线,
∴∠OAP=90°,
∴∠ODP=90°,
∴PD 是$\odot O$的切线.
(2)解 过点 I 分别作 IU⊥AB 于点 U,IQ⊥AC 于点 Q,IV⊥BC 于点 V,则 IU=IQ=IV.
∵AB 为$\odot O$的直径,
∴∠ACB=90°.
∵AC=6 cm,BC=8 cm，
∴$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$(cm)，
∴$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×(6+8+10)×IU=\frac{1}{2}×6×8$，
∴IU=2,
∴IV=IQ=IU=2 cm.
易知四边形 IVCQ 为正方形，
∴CQ=2 cm,AQ=AC-CQ=6-2=4(cm).
易知 AU=AQ=4 cm.
∵$OB=OA=\frac{1}{2}AB=5$ cm，
∴OU=OA-AU=5-4=1(cm)，
∴$IO=\sqrt{OU^2+IU^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$(cm).