正多边形的相关概念
(1)各边、各角也的多边形是正多边形.
(2)把一个圆分成相等的一些弧,以各分点为顶点的多边形就是这个圆的,这个圆就是这个正多边形的;经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形就是这个圆的,这个圆就是这个正多边形的.
(3)正多边形的外接圆的圆心叫作正多边形的,外接圆的半径叫作正多边形的,正多边形每一边所对的圆心角叫作正多边形的,中心到正多边形的一边的距离叫作正多边形的.

(1)相等 相等
(2)内接正多边形 外接圆 外切正多边形 内切圆
(3)中心 半径 中心角 边心距

典例 如图，正六边形ABCDEF的半径为2，求这个正六边形的周长和面积。

解：设正六边形ABCDEF的中心为点O，连接OA、OB，过点O作OG⊥AB于点G。
∵正六边形的中心角为$\frac{360°}{6}=60°$，且OA=OB=2，
∴△OAB是等边三角形，
∴AB=OA=2。
∴正六边形的周长为$6× AB=6×2=12$。
∵OG⊥AB，
∴$AG=\frac{1}{2}AB=1$，
在Rt△AOG中，由勾股定理得：
$OG=\sqrt{OA^2 - AG^2}=\sqrt{2^2 - 1^2}=\sqrt{3}$，
∴正六边形的面积$S=6× S_{△ OAB}=6×\frac{1}{2}× AB× OG=6×\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}=6\sqrt{3}$。
答：这个正六边形的周长为12，面积为$6\sqrt{3}$。

举一反三 已知四边形ABCD为$\odot O$的内接正四边形，若$\odot O$的半径为1，求正四边形ABCD的内角、中心角、边长、边心距、面积。
$\therefore △ OAB$是等边三角形.
$\therefore AB=OA=2$，
$\therefore$正六边形的周长为$2×6=12$.
$\because OG⊥ AB$，
$\therefore AG=\frac{1}{2}AB=1,∠ AOG=30°$，
$\therefore OG=\sqrt{3}$，$\therefore$正六边形的面积为
$6S_{△ AOB}=6×\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}=6\sqrt{3}$.

解 如图,连接AC,BD,过点O作OH⊥CD于点H.

∵四边形ABCD是$\odot O$的内接正四边形,
∴四边形ABCD是正方形,
∴OA=OC=OB=OD=1,AC⊥BD,
∴∠COD=90°,
∴$CD=\sqrt{OD^2+OC^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$.
∵OH⊥CD,
∴DH=CH,
∴$OH=\frac{1}{2}CD=\frac{\sqrt{2}}{2}$,
∴正四边形ABCD的内角都是90°,中心角为90°,边长为$\sqrt{2}$,边心距为$\frac{\sqrt{2}}{2}$,面积为2.