【典型例题 2】计算:(1)$\frac{7a}{8b^2c} - \frac{b}{12a^2c}$；
(2)$\frac{24}{x^2 - 16} + \frac{3}{4 - x}$。
思路导引 异分母的分式相加减,先找出最简公分母进行通分,变为同分母的分式相加减,最后结果一定要化成最简分式或整式.
【解】(1)原式$=\frac{21a^3}{24a^2b^2c} - \frac{2b^3}{24a^2b^2c} = \frac{21a^3 - 2b^3}{24a^2b^2c}$。
(2)原式$=\frac{24}{(x+4)(x-4)} - \frac{3(x+4)}{(x+4)(x-4)}$
$=\frac{24 - 3(x+4)}{(x+4)(x-4)} = \frac{24 - 3x -12}{(x+4)(x-4)}$
$=\frac{-3x +12}{(x+4)(x-4)}$
$=\frac{-3(x-4)}{(x+4)(x-4)} = -\frac{3}{x+4}$。
规律方法 异分母分式加减运算的一般步骤
(1)通分:将异分母分式转化为同分母分式.
(2)加减:运用同分母分式加减运算的法则计算.
(3)合并:分子去括号,合并同类项.
(4)约分:分子、分母约分,将结果化成最简分式或整式.

解：
(1) 两分式的最简公分母为$24a^2b^2c$，通分计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{21a^3}{24a^2b^2c}-\frac{2b^3}{24a^2b^2c}\\&=\frac{21a^3 - 2b^3}{24a^2b^2c}\end{aligned}$
(2) 先因式分解分母：$x^2-16=(x+4)(x-4)$，将$\frac{3}{4-x}$变形为$-\frac{3}{x-4}$，最简公分母为$(x+4)(x-4)$，通分计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{24}{(x+4)(x-4)}-\frac{3(x+4)}{(x+4)(x-4)}\\&=\frac{24-3(x+4)}{(x+4)(x-4)}\\&=\frac{24-3x-12}{(x+4)(x-4)}\\&=\frac{-3x+12}{(x+4)(x-4)}\\&=\frac{-3(x-4)}{(x+4)(x-4)}\\&=-\frac{3}{x+4}\end{aligned}$

2. 计算：
(1) $\dfrac{2c}{b^2 - c^2} - \dfrac{1}{b + c} + \dfrac{1}{c - b}$；
(2) $x - y + \dfrac{2y^2}{x + y}$。

(1) 原式$= \frac{2c}{b^2 - c^2} - \frac{b - c}{b^2 - c^2} - \frac{b + c}{b^2 - c^2} = \frac{2c - b + c - b - c}{b^2 - c^2} = \frac{2c - 2b}{b^2 - c^2} = \frac{-2(b - c)}{(b + c)(b - c)} = -\frac{2}{b + c}$。
(2)原式$=\frac{x^2 - y^2}{x + y} + \frac{2y^2}{x + y} = \frac{x^2 + y^2}{x + y}$。

1.（2024·甘肃中考）计算：$\frac{4a}{2a - b} - \frac{2b}{2a - b} =$ （）

A.$2$
B.$2a - b$
C.$\frac{2}{2a - b}$
D.$\frac{a - b}{2a - b}$

A 【解析】原式$=\frac{4a - 2b}{2a - b}=\frac{2(2a - b)}{2a - b}=2$。

2.化简$\frac{a^2}{a-b}+\frac{b^2}{b-a}$的结果是 （）

A.$a+b$
B.$a-b$
C.$a^2 - b^2$
D.$1$

A 【解析】原式$=\frac{a^2}{a - b} - \frac{b^2}{a - b} = \frac{a^2 - b^2}{a - b}=a + b$。

3. 化简：$\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} =$ .

$\frac{2}{x^2 -1}$ 【解析】$\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} = \frac{x+1}{(x+1)(x-1)} - \frac{x-1}{(x+1)(x-1)} = \frac{x+1 -x +1}{(x+1)(x-1)} = \frac{2}{(x+1)(x-1)} = \frac{2}{x^2 -1}$。

4. 已知实数$a,b$满足$ab=1$，则$\frac{1}{a^2 +1} + \frac{1}{b^2 +1} =$ .

1 【解析】因为$ab=1$，
所以原式$=\frac{ab}{a^2 + ab} + \frac{ab}{b^2 + ab} = \frac{b}{a + b} + \frac{a}{a + b} = \frac{a + b}{a + b}=1$。

5. 计算:
(1) $\frac{5}{6a^2c} + \frac{1}{6a^2c} - \frac{2}{6ca^2}$;
(2) $\frac{x^2 + 9x}{x^2 + 3x} + \frac{x^2 - 9}{x^2 + 6x + 9}$;
(3) $\frac{a^2 -5}{a-2} + \frac{a}{2 -a} + \frac{1+a}{a-2}$;
(4) $\frac{a^2}{a+1} - a + 1$.

(1)原式$=\frac{5+1-2}{6a^2c}=\frac{2}{3a^2c}$。
(2)原式$=\frac{x(x+9)}{x(x+3)} + \frac{(x+3)(x-3)}{(x+3)^2} = \frac{x+9}{x+3} + \frac{x-3}{x+3} = \frac{2x+6}{x+3}=2$。
(3)原式$=\frac{a^2 -5}{a-2} - \frac{a}{a-2} + \frac{1+a}{a-2} = \frac{a^2 -4}{a-2}=a+2$。
(4)原式$=\frac{a^2}{a+1} - \frac{a-1}{1} = \frac{a^2}{a+1} - \frac{a^2 -1}{a+1} = \frac{1}{a+1}$。