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9.如图,在△ABC中,AC的垂直平分线交BC于点D,交AC于点E,∠B=∠ADB.若AB=4,则DC的长是
4
.答案
9.4
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先看到AC的垂直平分线交BC于点D，根据线段垂直平分线的性质，可得到AD=DC；再结合∠B=∠ADB，根据等腰三角形“等角对等边”的判定，可得到AB=AD，最后通过等量代换就能求出DC的长度。
【解析】
解：
∵DE是AC的垂直平分线，点D在DE上，
∴AD = DC（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）。
又
∵∠B = ∠ADB，
∴AB = AD（等角对等边）。
已知AB=4，
∴AD=4，
∴DC=AD=4。
【答案】
4
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础综合题，将线段垂直平分线性质和等腰三角形的判定结合考查，解题的关键是找到AD作为中间量，沟通AB和DC的数量关系，熟练掌握基础性质和判定就能快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件入手：首先看到AC的垂直平分线交BC于点D，根据线段垂直平分线的性质，可得到AD=DC；再结合∠B=∠ADB，根据等腰三角形“等角对等边”的判定，可得到AB=AD，最后通过等量代换就能求出DC的长度。
【解析】
解：
∵DE是AC的垂直平分线，点D在DE上，
∴AD = DC（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）。
又
∵∠B = ∠ADB，
∴AB = AD（等角对等边）。
已知AB=4，
∴AD=4，
∴DC=AD=4。
【答案】
4
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础综合题，将线段垂直平分线性质和等腰三角形的判定结合考查，解题的关键是找到AD作为中间量，沟通AB和DC的数量关系，熟练掌握基础性质和判定就能快速解题。
【难度系数】
0.8
10.如图，线段AB，BC的垂直平分线$l_1$，$l_2$相交于点O.若$∠ 1=39°$，则$∠ AOC=$
78°
.答案
10.78° [解析]连接OB,如图.
∵线段AB,BC的垂直平分线$l_1$,$l_2$相交于点O,
∴OA=OB,OB=OC.
∵OD⊥AB,OE⊥BC,OA=OB,OC=OB,
∴∠AOD=∠BOD,∠BOE=∠COE.
∵∠DOE+∠1=180°,∠1=39°,
∴∠DOE=141°,
∴∠DOB+∠BOE=141°,
∴∠AOD+∠COE=141°,
∴∠AOC=360°-(∠BOD+∠BOE)-(∠AOD+∠COE)=78°.
解析
【分析】
解题时首先观察题干条件，出现两条线段的垂直平分线交于点O，首先联想到线段垂直平分线的性质，因此优先连接OB，可得到OA=OB、OB=OC，即△OAB、△OBC都是等腰三角形；再结合垂直平分线与线段垂直的性质，利用等腰三角形三线合一可得对应角相等；接着注意到∠1和l₁、l₂的夹角∠DOE是邻补角，可先求出∠DOE的度数，最后利用周角为360°，通过角的和差关系即可求出∠AOC的度数。
【解析】
连接OB，如图所示。
∵线段AB、BC的垂直平分线$l_1$、$l_2$相交于点O，
∴OA=OB，OB=OC，且$l_1⊥AB$，$l_2⊥BC$，
∴△OAB、△OBC均为等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质可得：∠AOD=∠BOD，∠BOE=∠COE。
∵∠DOE与∠1互为邻补角，∠1=39°，
∴∠DOE=180°-∠1=180°-39°=141°，即∠BOD+∠BOE=141°，
∴∠AOD+∠COE=∠BOD+∠BOE=141°，
∵周角为360°，
∴∠AOC=360°-(∠BOD+∠BOE)-(∠AOD+∠COE)=360°-141°-141°=78°。
【答案】
78°
【知识点】
1. 线段垂直平分线的性质
2. 等腰三角形的性质
3. 角度和差计算
【点评】
本题是几何综合基础题，核心考查线段垂直平分线和等腰三角形性质的结合应用，解题的突破口是连接OB构造等腰三角形，通过角的等量转化推导未知角的度数，有助于锻炼学生的几何辅助线构造思维和角的运算能力。
【难度系数】
0.65
解题时首先观察题干条件，出现两条线段的垂直平分线交于点O，首先联想到线段垂直平分线的性质，因此优先连接OB，可得到OA=OB、OB=OC，即△OAB、△OBC都是等腰三角形；再结合垂直平分线与线段垂直的性质，利用等腰三角形三线合一可得对应角相等；接着注意到∠1和l₁、l₂的夹角∠DOE是邻补角，可先求出∠DOE的度数，最后利用周角为360°，通过角的和差关系即可求出∠AOC的度数。
【解析】
连接OB，如图所示。
∵线段AB、BC的垂直平分线$l_1$、$l_2$相交于点O，
∴OA=OB，OB=OC，且$l_1⊥AB$，$l_2⊥BC$，
∴△OAB、△OBC均为等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质可得：∠AOD=∠BOD，∠BOE=∠COE。
∵∠DOE与∠1互为邻补角，∠1=39°，
∴∠DOE=180°-∠1=180°-39°=141°，即∠BOD+∠BOE=141°，
∴∠AOD+∠COE=∠BOD+∠BOE=141°，
∵周角为360°，
∴∠AOC=360°-(∠BOD+∠BOE)-(∠AOD+∠COE)=360°-141°-141°=78°。
【答案】
78°
【知识点】
1. 线段垂直平分线的性质
2. 等腰三角形的性质
3. 角度和差计算
【点评】
本题是几何综合基础题，核心考查线段垂直平分线和等腰三角形性质的结合应用，解题的突破口是连接OB构造等腰三角形，通过角的等量转化推导未知角的度数，有助于锻炼学生的几何辅助线构造思维和角的运算能力。
【难度系数】
0.65
三、解答题
11.如图，两条公路相交，在A，B两处是两个居民区，邮政局要在居民区旁边修建一个邮筒，为了使邮寄和取送方便，要使邮筒到两条路的距离相等，并且到两个居民区的距离也相等，请你找到一个这样的点.
11.如图，两条公路相交，在A，B两处是两个居民区，邮政局要在居民区旁边修建一个邮筒，为了使邮寄和取送方便，要使邮筒到两条路的距离相等，并且到两个居民区的距离也相等，请你找到一个这样的点.
答案
11.如图,点P即为所求.
解析
【分析】
我们可以将题目要求拆解为两个几何条件来推导：第一，邮筒到两条相交公路的距离相等，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此所求点一定在两条公路形成夹角的角平分线上；第二，邮筒到A、B两个居民区的距离相等，根据线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，因此所求点一定在线段AB的垂直平分线上。同时满足两个条件的点就是这两条线的交点，按这个思路作图即可找到所求点。
【解析】
1. 使用尺规作图，作出两条相交公路所形成夹角的角平分线；
2. 连接点A和点B，使用尺规作图作出线段AB的垂直平分线；
3. 上述两条线的交点就是满足要求的邮筒位置，记为点P。
【答案】
11.如图,点P即为所求.
【知识点】
角平分线的性质、线段垂直平分线的性质、尺规作图
【点评】
本题是几何性质的实际应用类题目，解题核心是将实际需求对应到对应的几何性质，通过作两条特殊直线的交点确定所求位置，能够考查学生对基础几何性质的理解和迁移应用能力。
【难度系数】
0.7
我们可以将题目要求拆解为两个几何条件来推导：第一，邮筒到两条相交公路的距离相等，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此所求点一定在两条公路形成夹角的角平分线上；第二，邮筒到A、B两个居民区的距离相等，根据线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，因此所求点一定在线段AB的垂直平分线上。同时满足两个条件的点就是这两条线的交点，按这个思路作图即可找到所求点。
【解析】
1. 使用尺规作图，作出两条相交公路所形成夹角的角平分线；
2. 连接点A和点B，使用尺规作图作出线段AB的垂直平分线；
3. 上述两条线的交点就是满足要求的邮筒位置，记为点P。
【答案】
11.如图,点P即为所求.
【知识点】
角平分线的性质、线段垂直平分线的性质、尺规作图
【点评】
本题是几何性质的实际应用类题目，解题核心是将实际需求对应到对应的几何性质，通过作两条特殊直线的交点确定所求位置，能够考查学生对基础几何性质的理解和迁移应用能力。
【难度系数】
0.7
12.如图所示,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AC=BC$,$D$为边$BC$上的中点,$CE ⊥ AD$于点$E$,$BF // AC$交$CE$的延长线于点$F$,连接$DF$,求证:AB垂直平分$DF$.
答案
12.
∵∠BCE+∠ACE=90°,∠ACE+∠CAE=90°,
∴∠BCE=∠CAE.
∵AC⊥BC,BF//AC,
∴BF⊥BC.
∴∠ACD=∠CBF=90°.
∵AC=CB,
∴△ACD≌△CBF.
∴CD=BF.
∵D为边BC上的中点,
∴CD=BD,
∴BF=BD.
∴△BFD为等腰直角三角形.
∵∠ACB=90°,CA=CB,
∴∠ABC=45°.
∵∠FBD=90°,
∴∠ABF=45°.
∴∠ABC=∠ABF,即BA是∠FBD的平分线.
∴BA是边FD上的高线,BA又是边FD的中线,即AB垂直平分DF.
∵∠BCE+∠ACE=90°,∠ACE+∠CAE=90°,
∴∠BCE=∠CAE.
∵AC⊥BC,BF//AC,
∴BF⊥BC.
∴∠ACD=∠CBF=90°.
∵AC=CB,
∴△ACD≌△CBF.
∴CD=BF.
∵D为边BC上的中点,
∴CD=BD,
∴BF=BD.
∴△BFD为等腰直角三角形.
∵∠ACB=90°,CA=CB,
∴∠ABC=45°.
∵∠FBD=90°,
∴∠ABF=45°.
∴∠ABC=∠ABF,即BA是∠FBD的平分线.
∴BA是边FD上的高线,BA又是边FD的中线,即AB垂直平分DF.
解析
【分析】
要证明AB垂直平分DF，可先推导△BDF为等腰三角形，再证明AB是该等腰三角形顶角的角平分线，结合等腰三角形三线合一的性质即可得到结论。首先由∠ACB=90°、CE⊥AD，根据同角的余角相等可推出∠BCE=∠CAE；再由BF//AC得到∠CBF=∠ACD=90°，结合AC=BC的条件可证明△ACD≌△CBF，得到CD=BF；结合D是BC中点的条件，可推出BF=BD，即△BDF是等腰三角形；最后根据等腰直角△ABC的内角特征得到∠ABC=∠ABF=45°，即AB平分∠FBD，利用三线合一即可得证。
【解析】
证明：
∵∠BCE+∠ACE=90°，∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠BCE=∠CAE.
∵AC⊥BC，BF//AC，
∴BF⊥BC，
∴∠ACD=∠CBF=90°.
在△ACD和△CBF中：
$\{\begin{array}{l}∠CAE=∠BCE, \\AC=CB, \\∠ACD=∠CBF,\end{array} $
∴△ACD≌△CBF（ASA），
∴CD=BF.
∵D为边BC上的中点，
∴CD=BD，
∴BF=BD，
∴△BFD为等腰直角三角形.
∵∠ACB=90°，CA=CB，
∴∠ABC=45°.
∵∠FBD=90°，
∴∠ABF=45°，
∴∠ABC=∠ABF，即BA是∠FBD的平分线.
根据等腰三角形三线合一的性质，BA既是边FD上的高线，也是边FD的中线，即AB垂直平分DF.
【答案】
AB垂直平分DF。
【知识点】
全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的判定
【点评】
本题是常见的几何综合证明题，解题的突破口是利用同角的余角相等得到等角，进而通过证明三角形全等得到边相等的关系，再结合等腰三角形的性质推导最终结论，能够有效锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.65
要证明AB垂直平分DF，可先推导△BDF为等腰三角形，再证明AB是该等腰三角形顶角的角平分线，结合等腰三角形三线合一的性质即可得到结论。首先由∠ACB=90°、CE⊥AD，根据同角的余角相等可推出∠BCE=∠CAE；再由BF//AC得到∠CBF=∠ACD=90°，结合AC=BC的条件可证明△ACD≌△CBF，得到CD=BF；结合D是BC中点的条件，可推出BF=BD，即△BDF是等腰三角形；最后根据等腰直角△ABC的内角特征得到∠ABC=∠ABF=45°，即AB平分∠FBD，利用三线合一即可得证。
【解析】
证明：
∵∠BCE+∠ACE=90°，∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠BCE=∠CAE.
∵AC⊥BC，BF//AC，
∴BF⊥BC，
∴∠ACD=∠CBF=90°.
在△ACD和△CBF中：
$\{\begin{array}{l}∠CAE=∠BCE, \\AC=CB, \\∠ACD=∠CBF,\end{array} $
∴△ACD≌△CBF（ASA），
∴CD=BF.
∵D为边BC上的中点，
∴CD=BD，
∴BF=BD，
∴△BFD为等腰直角三角形.
∵∠ACB=90°，CA=CB，
∴∠ABC=45°.
∵∠FBD=90°，
∴∠ABF=45°，
∴∠ABC=∠ABF，即BA是∠FBD的平分线.
根据等腰三角形三线合一的性质，BA既是边FD上的高线，也是边FD的中线，即AB垂直平分DF.
【答案】
AB垂直平分DF。
【知识点】
全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的判定
【点评】
本题是常见的几何综合证明题，解题的突破口是利用同角的余角相等得到等角，进而通过证明三角形全等得到边相等的关系，再结合等腰三角形的性质推导最终结论，能够有效锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.65
13. 在$△ ABC$中，$AB=AC$，$D$为$AC$的中点，$DE⊥ AC$，$DE$所在的直线与$AB$所在的直线交于点$E$.
(1)若点$E$在$AB$上，$AB=10$，$△ BCE$的周长为16，求$BC$的长；
(2)若$∠ A=n°(0＜ n＜180$且$n≠60)$，求$∠ BCE$的度数.
(1)若点$E$在$AB$上，$AB=10$，$△ BCE$的周长为16，求$BC$的长；
(2)若$∠ A=n°(0＜ n＜180$且$n≠60)$，求$∠ BCE$的度数.
答案
13.(1)如图(1),
∵点D为AC的中点,DE⊥AC,
∴∠ADE=∠CDE=90°,AD=CD,
∴△ADE≌△CDE,
∴EA=EC.
∵AB=10,
∴AE+BE=10,
∴EC+BE=10.
∵△BCE的周长为16,
∴BC=16-10=6,
∴BC的长为6.
(2)分两种情况:
当点E在AB上时,如图(1).
∵AB=AC,∠A=n°,
∴∠B=∠ACB=$\frac{180°-∠A}{2}=90°-\frac{1}{2}n°$.
由(1),得△ADE≌△CDE,
∴∠A=∠ACE=n°,
∴∠BCE=∠ACB-∠ACE=$90°-\frac{3}{2}n°$;
当点E在BA的延长线上时,如图(2),连接EC.
∵AB=AC,∠BAC=n°,
∴∠B=∠ACB=$\frac{180°-∠BAC}{2}=90°-\frac{1}{2}n°$;
同理可得∠EAC=∠ACE=180°-∠BAC=180°-n°,
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=$90°-\frac{1}{2}n°+180°-n°=270°-\frac{3}{2}n°$.
综上所述,∠BCE的度数为$90°-\frac{3}{2}n°$或$270°-\frac{3}{2}n°$.
解析
【分析】
(1) 首先根据“D为AC中点，DE⊥AC”可判断DE是AC的垂直平分线，根据垂直平分线性质可得EA=EC，由此可将△BCE的周长转化为AB+BC，代入已知数值即可求出BC的长。
(2) 由于DE与AB所在直线相交，需分两种情况讨论：①点E在AB边上；②点E在BA的延长线上。两种情况均先利用等腰三角形“等边对等角”和三角形内角和求出∠B与∠ACB的度数，再结合EA=EC得到对应角相等，最后通过角的和差计算∠BCE的度数即可。
【解析】
(1) 如图(1),
∵点D为AC的中点，DE⊥AC，
∴∠ADE=∠CDE=90°，AD=CD，
在△ADE和△CDE中：
$\{\begin{array}{l}AD=CD\\ ∠ ADE=∠ CDE\\ DE=DE\end{array} $
∴△ADE≌△CDE(SAS)，
∴EA=EC。
∵AB=10，
∴AE+BE=10，即EC+BE=10。
∵△BCE的周长为16，即$BE+EC+BC=16$，
∴$BC=16-(BE+EC)=16-10=6$。
(2) 分两种情况讨论：
①当点E在AB上时，如图(1)：
∵AB=AC，∠A=n°，
∴$∠ B=∠ ACB=\frac{180°-∠ A}{2}=90°-\frac{1}{2}n°$。
由(1)得△ADE≌△CDE，
∴∠A=∠ACE=n°，
∴$∠ BCE=∠ ACB-∠ ACE=90°-\frac{1}{2}n°-n°=90°-\frac{3}{2}n°$。
②当点E在BA的延长线上时，如图(2)，连接EC：
∵AB=AC，∠BAC=n°，
∴$∠ B=∠ ACB=\frac{180°-∠ BAC}{2}=90°-\frac{1}{2}n°$。
同理可得△ADE≌△CDE，
∴∠EAC=∠ACE，
∵$∠ EAC=180°-∠ BAC=180°-n°$，
∴$∠ ACE=180°-n°$，
∴$∠ BCE=∠ ACB+∠ ACE=90°-\frac{1}{2}n°+180°-n°=270°-\frac{3}{2}n°$。
综上，∠BCE的度数为$90°-\frac{3}{2}n°$或$270°-\frac{3}{2}n°$。
【答案】
(1) BC的长为6；
(2) ∠BCE的度数为$90°-\frac{3}{2}n°$或$270°-\frac{3}{2}n°$。
【知识点】
线段垂直平分线性质、等腰三角形性质、分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形章节的典型题型，第一问侧重线段的等量转化，难度较低；第二问需要考虑直线相交的两种位置情况，容易因漏解失分，解题时要熟练运用边角转化的思想简化计算。
【难度系数】
0.6
(1) 首先根据“D为AC中点，DE⊥AC”可判断DE是AC的垂直平分线，根据垂直平分线性质可得EA=EC，由此可将△BCE的周长转化为AB+BC，代入已知数值即可求出BC的长。
(2) 由于DE与AB所在直线相交，需分两种情况讨论：①点E在AB边上；②点E在BA的延长线上。两种情况均先利用等腰三角形“等边对等角”和三角形内角和求出∠B与∠ACB的度数，再结合EA=EC得到对应角相等，最后通过角的和差计算∠BCE的度数即可。
【解析】
(1) 如图(1),
∵点D为AC的中点，DE⊥AC，
∴∠ADE=∠CDE=90°，AD=CD，
在△ADE和△CDE中：
$\{\begin{array}{l}AD=CD\\ ∠ ADE=∠ CDE\\ DE=DE\end{array} $
∴△ADE≌△CDE(SAS)，
∴EA=EC。
∵AB=10，
∴AE+BE=10，即EC+BE=10。
∵△BCE的周长为16，即$BE+EC+BC=16$，
∴$BC=16-(BE+EC)=16-10=6$。
(2) 分两种情况讨论：
①当点E在AB上时，如图(1)：
∵AB=AC，∠A=n°，
∴$∠ B=∠ ACB=\frac{180°-∠ A}{2}=90°-\frac{1}{2}n°$。
由(1)得△ADE≌△CDE，
∴∠A=∠ACE=n°，
∴$∠ BCE=∠ ACB-∠ ACE=90°-\frac{1}{2}n°-n°=90°-\frac{3}{2}n°$。
②当点E在BA的延长线上时，如图(2)，连接EC：
∵AB=AC，∠BAC=n°，
∴$∠ B=∠ ACB=\frac{180°-∠ BAC}{2}=90°-\frac{1}{2}n°$。
同理可得△ADE≌△CDE，
∴∠EAC=∠ACE，
∵$∠ EAC=180°-∠ BAC=180°-n°$，
∴$∠ ACE=180°-n°$，
∴$∠ BCE=∠ ACB+∠ ACE=90°-\frac{1}{2}n°+180°-n°=270°-\frac{3}{2}n°$。
综上，∠BCE的度数为$90°-\frac{3}{2}n°$或$270°-\frac{3}{2}n°$。
【答案】
(1) BC的长为6；
(2) ∠BCE的度数为$90°-\frac{3}{2}n°$或$270°-\frac{3}{2}n°$。
【知识点】
线段垂直平分线性质、等腰三角形性质、分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形章节的典型题型，第一问侧重线段的等量转化，难度较低；第二问需要考虑直线相交的两种位置情况，容易因漏解失分，解题时要熟练运用边角转化的思想简化计算。
【难度系数】
0.6
14.如图，在$△ ABC$中，过顶点B的一条直线把$△ ABC$分割成两个等腰三角形，且$∠ C$是其中一个等腰三角形的顶角。
(1)当$∠ C=40°$时，$∠ ABC$是多少度？
(2)当$∠ C$为$△ ABC$中最小角时，那么$∠ A$也能为另外一个等腰三角形的顶角吗？为什么？并探究$∠ ABC$与$∠ C$之间的数量关系。
(1)当$∠ C=40°$时，$∠ ABC$是多少度？
(2)当$∠ C$为$△ ABC$中最小角时，那么$∠ A$也能为另外一个等腰三角形的顶角吗？为什么？并探究$∠ ABC$与$∠ C$之间的数量关系。
答案
14.(1)如图,过点B作直线BE交AC于点D.
∵∠C为顶角,
∴∠DBC=∠CDB=$\frac{180°-40°}{2}$=70°.
∴∠ADB=110°.
∴∠ABD=∠A=$\frac{180°-110°}{2}=35°$.
∴∠ABC=35°+70°=105°.
(2)∠A不能为另一等腰三角形的顶角.理由如下:
∵∠ADB+∠BDC=180°,∠BDC+∠C+∠CBD=180°,
∴∠ADB=∠C+$\frac{180°-∠C}{2}=90°+\frac{1}{2}∠C$.
∴∠ADB为钝角.
又同一个三角形中内角不能存在两个钝角,
∴∠A不能为顶角.
当∠ADB为顶角时,∠ABC=∠ABD+∠DBC=$\frac{1}{2}(180°-∠ADB)+180°-∠ADB=\frac{3}{2}(180°-∠ADB)$
=$\frac{3}{2}×90°-\frac{3}{2}×\frac{1}{2}∠C=135°-\frac{3}{4}∠C$.
解析
【分析】
(1) 首先根据题意，过B的直线交AC于D，其中△BCD是以∠C为顶角的等腰三角形，先利用等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°算出∠DBC和∠CDB的度数；再根据邻补角性质求出∠ADB的度数，△ABD也是等腰三角形，且∠ADB是钝角，钝角只能作为等腰三角形的顶角，由此算出∠ABD的度数，最后将∠ABD和∠DBC相加即可得到∠ABC的度数。
(2) 先假设∠A为另一个等腰三角形的顶角，先推导∠ADB的度数，可发现∠ADB是钝角，若∠A为顶角，则△ABD中会出现两个钝角，不符合三角形内角和定理，即可判断∠A不能为顶角；再根据△ABD中∠ADB为顶角，结合等腰三角形性质逐步推导∠ABC和∠C的数量关系。
【解析】
(1) 过点B作直线BE交AC于点D。
∵∠C为等腰△BCD的顶角，
∴∠DBC=∠CDB=$\frac{180°-∠C}{2}$=$\frac{180°-40°}{2}$=70°，
∴∠ADB=180°-∠CDB=180°-70°=110°，
∵△ABD是等腰三角形，∠ADB为钝角，只能为顶角，
∴∠ABD=∠A=$\frac{180°-∠ADB}{2}$=$\frac{180°-110°}{2}$=35°，
∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=35°+70°=105°。
(2) ∠A不能为另一等腰三角形的顶角，理由如下：
∵∠ADB+∠BDC=180°，在△BDC中，∠BDC+∠C+∠CBD=180°，
∴∠ADB=∠C+∠CBD，
又
∵△BCD中∠C为顶角，
∴∠CBD=$\frac{180°-∠C}{2}$，
代入得∠ADB=∠C+$\frac{180°-∠C}{2}$=$90°+\frac{1}{2}∠C$＞90°，即∠ADB为钝角。
∵一个三角形的内角中最多只能有1个钝角，若∠A为△ABD的顶角，则底角∠ABD=∠ADB，此时△ABD存在两个钝角，不符合三角形内角和定理，因此∠A不能为顶角。
当△ABD中∠ADB为顶角时：
∠ABD=$\frac{180°-∠ADB}{2}$，∠DBC=$\frac{180°-∠C}{2}$，
∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=$\frac{1}{2}(180°-∠ADB)+\frac{180°-∠C}{2}$，
将∠ADB=$90°+\frac{1}{2}∠C$代入，计算得∠ABC=$135°-\frac{3}{4}∠C$。
【答案】
14.(1)如图,过点B作直线BE交AC于点D.
∵∠C为顶角,
∴∠DBC=∠CDB=$\frac{180°-40°}{2}$=70°.
∴∠ADB=110°.
∴∠ABD=∠A=$\frac{180°-110°}{2}=35°$.
∴∠ABC=35°+70°=105°.
(2)∠A不能为另一等腰三角形的顶角.理由如下:
∵∠ADB+∠BDC=180°,∠BDC+∠C+∠CBD=180°,
∴∠ADB=∠C+$\frac{180°-∠C}{2}=90°+\frac{1}{2}∠C$.
∴∠ADB为钝角.
又同一个三角形中内角不能存在两个钝角,
∴∠A不能为顶角.
当∠ADB为顶角时,∠ABC=∠ABD+∠DBC=$\frac{1}{2}(180°-∠ADB)+180°-∠ADB=\frac{3}{2}(180°-∠ADB)$
=$\frac{3}{2}×90°-\frac{3}{2}×\frac{1}{2}∠C=135°-\frac{3}{4}∠C$.
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，邻补角的性质
【点评】
本题综合考查等腰三角形性质与三角形内角和的应用，解题时需注意等腰三角形中钝角只能作为顶角，避免出现不符合三角形内角和的情况，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1) 首先根据题意，过B的直线交AC于D，其中△BCD是以∠C为顶角的等腰三角形，先利用等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°算出∠DBC和∠CDB的度数；再根据邻补角性质求出∠ADB的度数，△ABD也是等腰三角形，且∠ADB是钝角，钝角只能作为等腰三角形的顶角，由此算出∠ABD的度数，最后将∠ABD和∠DBC相加即可得到∠ABC的度数。
(2) 先假设∠A为另一个等腰三角形的顶角，先推导∠ADB的度数，可发现∠ADB是钝角，若∠A为顶角，则△ABD中会出现两个钝角，不符合三角形内角和定理，即可判断∠A不能为顶角；再根据△ABD中∠ADB为顶角，结合等腰三角形性质逐步推导∠ABC和∠C的数量关系。
【解析】
(1) 过点B作直线BE交AC于点D。
∵∠C为等腰△BCD的顶角，
∴∠DBC=∠CDB=$\frac{180°-∠C}{2}$=$\frac{180°-40°}{2}$=70°，
∴∠ADB=180°-∠CDB=180°-70°=110°，
∵△ABD是等腰三角形，∠ADB为钝角，只能为顶角，
∴∠ABD=∠A=$\frac{180°-∠ADB}{2}$=$\frac{180°-110°}{2}$=35°，
∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=35°+70°=105°。
(2) ∠A不能为另一等腰三角形的顶角，理由如下：
∵∠ADB+∠BDC=180°，在△BDC中，∠BDC+∠C+∠CBD=180°，
∴∠ADB=∠C+∠CBD，
又
∵△BCD中∠C为顶角，
∴∠CBD=$\frac{180°-∠C}{2}$，
代入得∠ADB=∠C+$\frac{180°-∠C}{2}$=$90°+\frac{1}{2}∠C$＞90°，即∠ADB为钝角。
∵一个三角形的内角中最多只能有1个钝角，若∠A为△ABD的顶角，则底角∠ABD=∠ADB，此时△ABD存在两个钝角，不符合三角形内角和定理，因此∠A不能为顶角。
当△ABD中∠ADB为顶角时：
∠ABD=$\frac{180°-∠ADB}{2}$，∠DBC=$\frac{180°-∠C}{2}$，
∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=$\frac{1}{2}(180°-∠ADB)+\frac{180°-∠C}{2}$，
将∠ADB=$90°+\frac{1}{2}∠C$代入，计算得∠ABC=$135°-\frac{3}{4}∠C$。
【答案】
14.(1)如图,过点B作直线BE交AC于点D.
∵∠C为顶角,
∴∠DBC=∠CDB=$\frac{180°-40°}{2}$=70°.
∴∠ADB=110°.
∴∠ABD=∠A=$\frac{180°-110°}{2}=35°$.
∴∠ABC=35°+70°=105°.
(2)∠A不能为另一等腰三角形的顶角.理由如下:
∵∠ADB+∠BDC=180°,∠BDC+∠C+∠CBD=180°,
∴∠ADB=∠C+$\frac{180°-∠C}{2}=90°+\frac{1}{2}∠C$.
∴∠ADB为钝角.
又同一个三角形中内角不能存在两个钝角,
∴∠A不能为顶角.
当∠ADB为顶角时,∠ABC=∠ABD+∠DBC=$\frac{1}{2}(180°-∠ADB)+180°-∠ADB=\frac{3}{2}(180°-∠ADB)$
=$\frac{3}{2}×90°-\frac{3}{2}×\frac{1}{2}∠C=135°-\frac{3}{4}∠C$.
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，邻补角的性质
【点评】
本题综合考查等腰三角形性质与三角形内角和的应用，解题时需注意等腰三角形中钝角只能作为顶角，避免出现不符合三角形内角和的情况，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
