1. 已知等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分为9 cm和15 cm两部分，则这个等腰三角形的腰长为 （）

A.6 cm
B.10 cm
C.6 cm或10 cm
D.11 cm

1. B 解析:设这个等腰三角形的腰长为 x cm,如图.
因为△ABC 是等腰三角形,AB=AC,BD 是边 AC上的中线,则 AB+AD=9 cm 或 AB+AD=15 cm,
AB=AC=x cm,AD=CD=$\frac{1}{2}x$ cm. 分类讨论如下:当 AB+AD=9 cm 时,$x+\frac{1}{2}x=9$,解得 x=6. 因为这个等腰三角形的周长为 9+15=24(cm),所以这个等腰三角形的三边长分别为 6 cm,6 cm,12 cm. 因为 6+6=12,不符合三角形的三边关系,所以此情况不存在;当 AB+AD=15 cm 时,$x+\frac{1}{2}x=15$,解得 x=10. 因为这个等腰三角形的周长为 24 cm,所以这个等腰三角形的三边长分别为 10 cm,10 cm,4 cm. 综上,这个等腰三角形的腰长为 10 cm.
易错警示
涉及等腰三角形问题,根据腰和底的不同,常进行分类讨论,但易忽略三角形三边关系,造成错误.

2. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$AD$是边$BC$上的高，$M$，$N$两点分别在$AD$，$AC$上，连接$BM$，$MN$。若$AB=10\ \mathrm{cm}$，$BC=12\ \mathrm{cm}$，则$BM+MN$的最小值是 （）

A.8 cm
B.9.6 cm
C.10 cm
D.12 cm
（第2题）

2. B 解析: 因为 AB=AC=10 cm,AD⊥BC,BC=12 cm,所以 BD = CD = 6 cm. 所以 AD = $\sqrt{AC^2-CD^2}=8$ cm. 易得当 B,M,N 三点共线,且 BN⊥AC 时,BM+MN 的值最小,且最小值是 BN 的长. 又 $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AD· BC=\frac{1}{2}BN· AC$, 所以 $BN=\frac{AD· BC}{AC}=9.6$ cm. 则 BM+MN 的最小值是9.6 cm.

3. 新素养 运算能力 如图，P为$△ ABC$边BC上一点，且$PC=2PB$.若$∠ ABC=45°$，$∠ APC=60°$，则$∠ ACB$的度数是 （）

A.$45°$
B.$60°$
C.$75°$
D.$80°$

3. C 解析:过点 C 作 CD⊥AP 于点 D,连接 BD,则∠CDA=∠CDP=90°. 又∠APC=60°,∠APC+∠PCD=90°,所以∠PCD=90°-∠APC=30°,即 PD=$\frac{1}{2}$PC. 又 PC=2PB,所以 PB = PD,即∠PBD=∠PDB. 又∠APC=∠PBD+∠PDB,所以∠PBD=∠PDB=$\frac{1}{2}$∠APC=30°. 所以∠PBD=∠PCD=30°,即 BD = CD. 又∠ABC = 45°,所以∠ABD = ∠ABC - ∠PBD = 15°. 又∠PDB=∠ABD+∠BAD,所以∠BAD=∠PDB-∠ABD=15°,即∠BAD=∠ABD. 所以 AD = BD,即AD = CD. 所以△ACD 是等腰直角三角形,即∠ACD=45°. 所以∠ACB=∠ACD+∠PCD=75°.

4. 如图，$∠ AOB=120°$，$OP$ 平分 $∠ AOB$。若 $M,N$ 两点分别在 $OA,OB$ 上，且 $△ PMN$ 为等边三角形，则满足上述条件的 $△ PMN$ 有（）

A.1个
B.2个
C.3个
D.无数个

4. D 解析:如图,在 OA 上截取 OE=OP,作∠MPN=60°,连接 EP,MN. 因为 OP 平分∠AOB,∠AOB=120°,所以∠EOP = ∠NOP = $\frac{1}{2}$∠AOB = 60°. 所以△OPE 为等边三角形. 所以 EP = OP,∠MEP = ∠EPO = 60°. 所以∠MEP = ∠NOP,∠EPO = ∠MPN. 所以∠EPO - ∠MPO = ∠MPN - ∠MPO,即∠EPM=∠OPN. 所以△PEM≌△PON(ASA). 所以 PM=PN. 所以△PMN 是等边三角形. 所以只需∠MPN=60°,△PMN 就为等边三角形.则这样的三角形有无数个.

5. 如图，AD是$△ ABC$的角平分线，$∠ B=2∠ C$，将$△ ABD$沿AD所在直线翻折，点B落在边AC上的点E处.若$AC=8$，$AB=5$，则BD的长为.

5. 3 解析: 由折叠的性质,得∠AED = ∠B,AE = AB=5,DE = BD. 因为 AC=8,所以 CE = AC - AE = 3. 又∠B = 2∠C,所以∠AED = 2∠C. 又∠AED=∠C+∠CDE,所以∠C=∠CDE,即 DE=CE=3. 所以 BD=3.

6. 如图,在钢架中,$∠ A＝α$,焊上等长的钢条$P_1P_2,P_2P_3,P_3P_4,P_4P_5$……来加固钢架.若$P_1A＝P_1P_2$,且恰好用了4根钢条,则α的取值范围是.

6. 18°≤α＜22.5° 解析: 由题意,得 $AP_1 = P_1 P_2$,$P_1 P_2 = P_2 P_3$,$P_2 P_3 = P_3 P_4$,$P_3 P_4 = P_4 P_5$,所以∠A = ∠$P_1 P_2 A$,∠$P_2 P_1 P_3$ = ∠$P_2 P_3 P_1$,∠$P_3 P_2 P_4$=∠$P_3 P_4 P_2$,∠$P_4 P_3 P_5$=∠$P_4 P_5 P_3$. 又∠$P_2 P_1 P_3$ = ∠A + ∠$P_1 P_2 A$,∠$P_3 P_2 P_4$ = ∠$P_2 P_3 P_1$ + ∠A,∠$P_4 P_3 P_5$ = ∠A + ∠$P_3 P_4 P_2$,∠$P_5 P_4 B$ = ∠A + ∠$P_4 P_5 P_3$, 所以 ∠$P_4 P_5 P_3$ = ∠$P_4 P_3 P_5$=4∠A=4α,∠$P_5 P_4 B$=5α. 因为要使得这样的钢条恰好焊上4根,所以$\begin{cases}4α＜90°,\\5α≥90°,\end{cases}$ 解得 18°≤α＜22.5°. 则 α 的取值范围是 18°≤α＜22.5°.

7. 如图，D为$△ ABC$外部一点，$BD ⊥ AD$，$BD$平分$△ ABC$的外角.若$2∠ C+∠ BAD=180°$，$AB=5$，$BC=3$，则$AD$的长为.

7. 4 解析:分别延长 AD,CB 交于点 E. 由题意,得 BD 平分∠ABE,所以∠ABD = ∠EBD. 又 BD ⊥ AE,所以∠BDA = ∠BDE = 90°. 又 BD = BD,所以△ABD≌△EBD(ASA). 所以 AB = EB,AD = ED,∠BAD = ∠E,即 $AD=\frac{1}{2}AE$. 又 AB = 5,BC = 3,所以 EB=5,即 CE = BC + EB = 8. 又∠E + ∠C + ∠CAE = 180°,2∠C + ∠BAD = 180°,所以∠C = ∠CAE,即 AE = CE = 8. 所以 AD=4.

8. 如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,CD平分∠ACB,交AB于点D,E是BC上一点,连接DE,BD=3,BE=2.若DE平分∠BDC,则CD的长为.

8. 5 解析: 因为 AB=AC,所以∠B = ∠ACB. 因为 CD 平分∠ACB,所以∠ACD = ∠DCB = $\frac{1}{2}$∠ACB. 所以∠B = 2∠DCB. 因为 DE 平分∠BDC,所以∠BDE = ∠CDE. 在 DC 上截取 DF = DB,连接 EF. 又 DE = DE,所以△DBE≌△DFE(SAS). 所以∠B = ∠DFE,BE = FE. 因为∠DFE = ∠DCB + ∠FEC,所以∠B = ∠DCB + ∠FEC,即∠FEC = ∠DCB. 所以 EF = CF,即 BE = CF. 又 BD = 3,BE=2,所以 CD = DF + CF = BD + BE = 5.

9. 如图,在等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,∠ABC的平分线分别交AC,AD于E,F两点,M为EF的中点,AM的延长线交BC于点N,连接DM.有下列结论:① $DF=DN$;② $△ DMN$为等腰三角形;③ MD平分$∠ BMN$;④ $AE=NC$.其中正确的是(填序号).

9. ①②③④ 解析:由题意,得 AC=AB. 因为∠BAC=90°,AD⊥BC,所以∠ABC=∠C=45°,AD=BD=CD,∠ADN = ∠ADB = 90°. 所以 ∠BAD = ∠CAD=45°. 因为 BE 平分∠ABC,所以∠ABE = ∠CBE = $\frac{1}{2}$∠ABC = 22.5°. 所以∠BFD = 90° - ∠CBE = 67.5°,∠AEB = 90° - ∠ABE = 67.5°. 又∠AFE = ∠BFD,所以∠AFE = ∠AEB = 67.5°. 所以 AF = AE. 又 M 为 EF 的中点,所以 AM ⊥ BE. 所以∠BMN = ∠AMF = ∠AME = 90°. 所以∠DAN = 90° - ∠AFE = 22.5°,即 ∠DAN = ∠DBF=22.5°. 所以△FBD≌△NAD(ASA). 所以 DF = DN. 故①正确;所以 AD - DF = CD - DN. 所以 AF = CN,即 AE = CN. 故④正确;因为∠ABE = ∠CBE,BM = BM,∠AMB = ∠NMB = 90°,所以△AMB≌△NMB(ASA). 所以 AM = NM,即 M 为 AN 的中点. 所以 DM = MN = AM = $\frac{1}{2}$AN. 所以△DMN 是等腰三角形. 故②正确;因为 DM = AM,所以∠MDA = ∠DAN = 22.5°. 所以∠DMN = ∠DAN + ∠MDA = 45°. 因为∠BMN = 90°,所以∠BMD = 45°. 所以∠BMD = ∠DMN,即 DM 平分∠BMN. 故③正确. 综上,正确的是①②③④.