10. 如图,在$△ ABC$中,点$D$在$AB$上,且$CD=CB$,$E$为$BD$的中点,$F$为$AC$的中点,连接$EF$交$CD$于点$M$,连接$AM$.
(1) 求证:$EF=\frac{1}{2}AC$;
(2) 若$∠ BAC=45°$,求线段$AM$,$DM$,$BC$之间的数量关系.

10. (1) 因为 CD=CB,E 为 BD 的中点,所以 CE⊥BD,即∠AEC=90°. 因为 F 为 AC 的中点,所以 EF = $\frac{1}{2}AC$.
(2) 由(1),得 CE ⊥ BD. 因为∠BAC=45°,所以△AEC 是等腰直角三角形. 因为 F 为 AC 的中点,所以 EF 垂直平分 AC. 所以 AM=CM. 因为 CD = BC,CD = CM + DM,所以 BC = AM + DM.

11. 新素养 推理能力 在等腰三角形ABC中，AC=BC，D，E分别为AB，BC上一点，∠CDE=∠A。
（1）如图①，若BC=BD。求证：CD=DE；
（2）如图②，过点C作CH⊥DE，垂足为H。若CD=BD，EH=3，求CE－BE的值。

11. (1) 因为 AC=BC,所以∠A=∠B. 因为∠CDB = ∠A + ∠ACD = ∠CDE + ∠BDE,∠CDE = ∠A,所以∠ACD = ∠BDE. 又 BC = BD,所以 AC = BD. 所以△ADC≌△BED(ASA). 所以 CD=DE.
(2) 因为 CD = BD,所以∠B = ∠DCB. 由(1),得∠A = ∠B,且∠CDE = ∠A,所以∠CDE = ∠B. 所以∠DCB = ∠CDE. 所以 CE = DE. 在 DE 上取点 F,使 DF = BE,连接 CF. 所以△CDF≌△DBE(SAS). 所以 CF = DE,即 CF = CE. 所以△CEF 是等腰三角形. 又 CH ⊥ EF,所以 FH = EH = $\frac{1}{2}EF$,即 EF = 2EH. 又 EH = 3,所以 CE - BE = DE - DF = EF = 2EH = 6.

12. 如图,在等边三角形ABC中,D为边AB上一点,E为边BC上一点,连接DE并延长,交AC的延长线于点F,DE=FE,过点E作EG⊥BC,交AC于点G.
（1）求证:BD=CF；
（2）当DF⊥AB时,试判断以D,E,G三点为顶点的三角形的形状,并说明理由.

12. (1) 过点 D 作 DH//AC 交 BC 于点 H,则∠DHB = ∠ACB,∠HDE = ∠F,∠DHE = ∠FCE. 因为△ABC 是等边三角形,所以 AB = AC,∠B = ∠ACB = 60°. 所以∠B = ∠DHB. 所以 DB = DH. 因为 DE = FE,所以△DEH ≌ △FEC(AAS). 所以 DH = FC. 所以 BD = CF.
(2) 以 D,E,G 三点为顶点的三角形是等边三角形. 理由如下:连接 DG. 因为 ED ⊥ AB,所以∠B + ∠DEB = 90°. 由(1),得∠B = ∠ACB = 60°,所以∠DEB = 90° - ∠B = 30°. 又 EG ⊥ BC,所以∠DEB + ∠GED = 90°,∠EGC + ∠GCE = 90°. 所以∠GED = 90° - ∠DEB = 60°,∠EGC = 90° - ∠GCE = 30°. 又∠CEF = ∠DEB = 30°,∠ACB = ∠F + ∠CEF,所以∠F = 30°,即∠F = ∠EGC. 所以 EF = EG. 又 DE = EF,所以 DE = EG,即△DEG 是等边三角形. 所以以 D,E,G 三点为顶点的三角形是等边三角形.