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【典例1】如图，在$△ ABC$中，$AB＜BC$，$BP$平分$∠ ABC$，$AP ⊥ BP$于$P$点，连接$PC$，若$△ ABC$的面积为4，则$△ BPC$的面积为
2
。答案
解:延长AP交BC于点D,证△ABP≌△DBP，
∴AP=DP,
∴S△ABP=S△DPB，
S△APC=S△DPC,
∴S△BPC=1/2 S△ABC=2。
变式.如图,四边形ABCD中,AD//BC,点E在CD上,AE,BE分别平分∠DAB,∠CBA.若AE=4,BE=6,则四边形ABCD的面积为
24
.答案
解:延长AE交BC于点F,易证BE⊥AF,△ADE≌△FCE，
S△ABF=1/2 ×AF·BE=24，
∴S四边形ABCD=S△ABF=24。
【典例2】如图，在$△ AOB$中，$AO=OB$，$∠ AOB=90°$，$BD$平分$∠ ABO$交$AO$于点$D$，$AE⊥ BD$交$BD$延长线于点$E$.若$BD=8$，则$△ ABD$的面积为
16
.答案
解:延长AE交BO的延长线于点F，
在△ABE和△FBE中，
{∠ABE=∠FBE，
BE=BE，
∠AEB=∠FEB，
∴△ABE≌△FBE(ASA),
∴AE=EF，
又
∵∠AED=∠AOB=90°,
∴∠FAD=∠DBO，
在△AOF和△BOD中,{∠FAO=∠DBO，
AO=BO，
∠AOF=∠BOD，
∴△AOF≌△BOD(ASA),
∴AF=BD=8,
∴AE=4，
S△ABD=1/2 ×8×4=16。
变式.如图,在平面直角坐标系中,△ABC 的顶点 A,C 分别在 x 轴和 y 轴上,AC=BC,∠ACB=90°,BC 交 x 轴于点 D,且 AD 恰好平分∠BAC.若 A(-4,0),D(m,0),点 B 的纵坐标为 n,则 2n+m 的值为
-4
.答案
解:过点 B 作BE⊥x轴于点E,交AC延长线于点H，
在△ABE和△AHE中,{∠EAB=∠EAH，
AE=AE，
∠BEA=∠AEH，
∴△ABE≌△AHE(ASA),
∴EH=BE，
又
∵∠ACD=∠BED=90°，
∴∠CAD=∠CBE，
在△ACD和△BCH中,{∠CAD=∠CBH，
AC=BC，
∠ACD=∠BCH，
∴△ACD≌△BCH(ASA),
∴AD=BH，
又
∵AD=m+4,BH=-2n，
∴m+4=-2n,
∴2n+m=-4。
