【典例1】如图，在$△ ABC$中，$∠ A＝60°$，$BE$，$CF$分别是$∠ ABC$和$∠ ACB$的平分线，$CF$与$BE$相交于点$O$.求证：$BF＋CE＝BC$.

证法一(截长法):在BC上截取BK=BF,连接OK，
∵2∠OBC+2∠OCB=120°,
∴∠OBC+∠OCB=60°,
∴∠BOF=∠COE=60°,
在△BOF和△BOK中,
$\begin{cases} BF=BK, \\ ∠FBO=∠OBK, \\ BO=BO, \end{cases}$
∴△BOF≌△BOK(SAS),
∴∠BOK=∠BOF=60°,
∴∠COK=60°,
在△COE和△COK中,
$\begin{cases} ∠COE=∠COK, \\ OC=OC, \\ ∠OCE=∠OCK, \end{cases}$
∴△COE≌△COK(ASA),
∴CK=CE,
∴BC=BF+CE.
证法二(补短法):在BA上截取BM=BC，
在△BMO和△BCO中,
$\begin{cases} BM=BC, \\ ∠OBM=∠OBC, \\ BO=BO, \end{cases}$
∴△BMO≌△BCO(SAS),
∴OM=OC,
∠MOB=∠COB=120°,
∴∠FOM=∠COE=60°,
在△FOM和△EOC中,
$\begin{cases} ∠FMO=∠OCE, \\ OM=OC, \\ ∠FOM=∠COE, \end{cases}$
∴△FOM≌△EOC(ASA),
∴FM=CE,
∴BC=BM=BF+CE.

【典例2】如图，在△ABC中，∠A=100°，∠ABC=40°，BD是△ABC的角平分线，延长BD至点E，使DE=AD，连接EC.求证：BC=AB+CE.
备用图

证法一(截长法):在BC上截取BM=BA,连接DM，
在△ABD和△MBD中,
$\begin{cases} AB=BM, \\ ∠ABD=∠MBD, \\ BD=BD, \end{cases}$
∴△ABD≌△MBD(SAS),
∴∠A=∠BMD=100°,AD=DM,
∠ADB=∠BDM=60°,
在△CDE和△CDM中,
$\begin{cases} DE=DM, \\ ∠CDE=∠CDM=60°, \\ CD=CD, \end{cases}$
∴△CDE≌△CDM(SAS),
∴CM=CE,
∴BC=AB+CE.
证法二(补短法):延长BA至M使BM=BC，
在△BDM和△BDC中,
$\begin{cases} BM=BC, \\ ∠MBD=∠DBC, \\ BD=BD, \end{cases}$
∴△BDM≌△BDC(SAS),
∴DM=CD,
∠BDC=∠BDM=120°,
∴∠ADM=∠CDE=60°,
在△ADM和△EDC中,
$\begin{cases} AD=DE, \\ ∠MDA=∠CDE=60°, \\ DM=CD, \end{cases}$
∴△ADM≌△EDC(SAS),
∴CE=AM,
∴BC=AB+CE.