登录
19.（8分）为了解学生体育中考选项测试的整体情况，以方便对学生进行针对性的指导训练，某校对八年级学生的各类项目进行了统一测试，以下是抽取的部分学生“长跑”项目测试成绩统计图（测试成绩满分是10分，不及格是6分）：
根据图中信息，解答下列问题：
（1）样本中共抽取了
（2）补全条形统计图；
（3）抽取的这部分学生测试成绩的中位数是
（4）体育老师建议成绩7分及以下的学生选择“4分钟跳绳”项目.已知该学校八年级共有680人，在听从老师建议的情况下，请估计选择“4分钟跳绳”项目的学生约有多少人？
根据图中信息，解答下列问题：
（1）样本中共抽取了
200
名学生；（2）补全条形统计图；
（3）抽取的这部分学生测试成绩的中位数是
9
；（4）体育老师建议成绩7分及以下的学生选择“4分钟跳绳”项目.已知该学校八年级共有680人，在听从老师建议的情况下，请估计选择“4分钟跳绳”项目的学生约有多少人？
答案
19.（1）200；（2）测试成绩为7分的人数为$200 - 10 - 30 - 50 - 80=30$（名），补全条形统计图如下：
；（3）9；（4）136人解：（1）样本中共抽取了$30÷15\%=200$（名）；
故答案为：200；
（2）测试成绩为7分的人数为$200 - 10 - 30 - 50 - 80=30$（名），补全条形统计图如下：
；（3）抽取的这部分学生测试成绩的中位数是$\frac{9+9}{2}=9$；
故答案为：9；
（4）$680×\frac{10+30}{200}=136$（人），
答：估计选择“4分钟跳绳”项目的学生约有136人.
解析
【分析】
要解决本题，需结合条形统计图和扇形统计图的关联信息逐步推导：
1. 计算样本总人数：利用扇形图中8分的人数及对应占比，通过“部分量÷百分比”求出总人数；
2. 补全条形统计图：用总人数减去已知各分数段的人数，得到7分的人数，据此补全条形图；
3. 求中位数：将所有成绩从小到大排列，找到中间位置的两个数，取其平均值即为中位数；
4. 估计总体人数：先算出样本中7分及以下的人数占比，再乘以八年级总人数，得到估计值。
【解析】
（1）由扇形图可知，8分的人数占总人数的15%，结合条形图中8分人数为30，可得样本总人数为：$30÷15\%=200$（名）；
（2）测试成绩为7分的人数为：$200 - 10 - 30 - 50 - 80=30$（名），补全条形统计图（7分对应的条形高度为30）；
（3）将200名学生的成绩从小到大排列，中位数是第100和第101个数据的平均数。累计人数：6分10人，7分30人（累计40人），8分30人（累计70人），9分50人（累计120人），因此第100、101个数据均为9分，中位数为$\frac{9+9}{2}=9$；
（4）样本中7分及以下的人数为$10+30=40$人，占比为$\frac{40}{200}$，估计八年级选择该项目的人数为：$680×\frac{40}{200}=136$（人）。
【答案】
（1）200；（2）测试成绩为7分的人数为30名，补全条形统计图如下：；（3）9；（4）136人
【知识点】
条形统计图、扇形统计图、中位数、用样本估计总体
【点评】
本题综合考查统计图表的应用，需结合两种统计图的信息进行计算，核心是掌握中位数的定义和用样本估计总体的方法，难度适中，适合中等水平学生解答。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需结合条形统计图和扇形统计图的关联信息逐步推导：
1. 计算样本总人数：利用扇形图中8分的人数及对应占比，通过“部分量÷百分比”求出总人数；
2. 补全条形统计图：用总人数减去已知各分数段的人数，得到7分的人数，据此补全条形图；
3. 求中位数：将所有成绩从小到大排列，找到中间位置的两个数，取其平均值即为中位数；
4. 估计总体人数：先算出样本中7分及以下的人数占比，再乘以八年级总人数，得到估计值。
【解析】
（1）由扇形图可知，8分的人数占总人数的15%，结合条形图中8分人数为30，可得样本总人数为：$30÷15\%=200$（名）；
（2）测试成绩为7分的人数为：$200 - 10 - 30 - 50 - 80=30$（名），补全条形统计图（7分对应的条形高度为30）；
（3）将200名学生的成绩从小到大排列，中位数是第100和第101个数据的平均数。累计人数：6分10人，7分30人（累计40人），8分30人（累计70人），9分50人（累计120人），因此第100、101个数据均为9分，中位数为$\frac{9+9}{2}=9$；
（4）样本中7分及以下的人数为$10+30=40$人，占比为$\frac{40}{200}$，估计八年级选择该项目的人数为：$680×\frac{40}{200}=136$（人）。
【答案】
（1）200；（2）测试成绩为7分的人数为30名，补全条形统计图如下：
；（3）9；（4）136人【知识点】
条形统计图、扇形统计图、中位数、用样本估计总体
【点评】
本题综合考查统计图表的应用，需结合两种统计图的信息进行计算，核心是掌握中位数的定义和用样本估计总体的方法，难度适中，适合中等水平学生解答。
【难度系数】
0.5
20.（8分）如图，已知一次函数$y=kx+b$的图象与$x$轴交于点$A$，与$y$轴交于点$B（0，6）$.直线$y=x+3$与$x$轴交于点$C$，与$y$轴交于点$D$，且与一次函数$y=kx+b$的图象交于点$P（1，n）$.
（1）直接写出$n$的值 ______；
（2）求一次函数$y=kx+b$的解析式；
（3）已知点$H$是线段$OD$上一点，且$S_{△ AHP}=\frac{1}{3}S_{△ ACP}$，求$H$的坐标.
（1）直接写出$n$的值 ______；
（2）求一次函数$y=kx+b$的解析式；
（3）已知点$H$是线段$OD$上一点，且$S_{△ AHP}=\frac{1}{3}S_{△ ACP}$，求$H$的坐标.
答案
20.（1）4；（2）$y=-2x+6$；（3）$H(0,2)$
解：（1）
∵点$P（1，n）$在直线$y=x+3$上，
∴$n=1+3=4$，
故答案为：4；
（2）把点P和点B的坐标代入$y=kx+b$得$\begin{cases}k + b = 4 \\b = 6\end{cases}$，
解得$\begin{cases}k = - 2 \\b = 6\end{cases}$，
∴一次函数$y=kx+b$的解析式为$y= - 2x+6$；
（3）令$y=0$，则$y=x+3=0$，解得$x= - 3$，
$y= - 2x+6=0$，解得$x=3$，
∴$C（- 3，0）$，$A（3，0）$，
∴$AC=6$，
∴$S_{△ACP}=\frac{1}{2}×6×4=12$，
∵$S_{△AHP}=\frac{1}{3}S_{△ACP}$，
∴$S_{△AHP}=4$，
设$H（0，t）$，
则$S_{△AHP}=S_{△AOB} - S_{△PBH} - S_{△AOH}=4$，
∴$\frac{1}{2}×3×6 - \frac{1}{2}×3·t - \frac{1}{2}(6 - t)×1=4$，
解得$t=2$，
∴$H（0，2）$.
解：（1）
∵点$P（1，n）$在直线$y=x+3$上，
∴$n=1+3=4$，
故答案为：4；
（2）把点P和点B的坐标代入$y=kx+b$得$\begin{cases}k + b = 4 \\b = 6\end{cases}$，
解得$\begin{cases}k = - 2 \\b = 6\end{cases}$，
∴一次函数$y=kx+b$的解析式为$y= - 2x+6$；
（3）令$y=0$，则$y=x+3=0$，解得$x= - 3$，
$y= - 2x+6=0$，解得$x=3$，
∴$C（- 3，0）$，$A（3，0）$，
∴$AC=6$，
∴$S_{△ACP}=\frac{1}{2}×6×4=12$，
∵$S_{△AHP}=\frac{1}{3}S_{△ACP}$，
∴$S_{△AHP}=4$，
设$H（0，t）$，
则$S_{△AHP}=S_{△AOB} - S_{△PBH} - S_{△AOH}=4$，
∴$\frac{1}{2}×3×6 - \frac{1}{2}×3·t - \frac{1}{2}(6 - t)×1=4$，
解得$t=2$，
∴$H（0，2）$.
解析
【分析】
本题分为三个小问，（1）利用点在直线上时，点的坐标满足直线解析式，直接代入计算n的值；（2）采用待定系数法，将一次函数经过的两个点坐标代入解析式，解方程组求出k、b，得到一次函数解析式；（3）先求出A、C两点坐标，计算△ACP的面积，再根据面积关系得到△AHP的面积，设H的坐标，结合三角形面积公式列方程求解H的坐标。
【解析】
（1）
∵点$P(1,n)$在直线$y=x+3$上，将$x=1$代入$y=x+3$得：$n=1+3=4$；
（2）已知一次函数$y=kx+b$经过$B(0,6)$和$P(1,4)$，代入得方程组：
$\begin{cases}b=6 \\k + b=4\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-2 \\b=6\end{cases}$，因此一次函数解析式为$y=-2x+6$；
（3）求A、C坐标：
对于$y=x+3$，令$y=0$，得$x=-3$，故$C(-3,0)$；
对于$y=-2x+6$，令$y=0$，得$x=3$，故$A(3,0)$；
则$AC=3 - (-3)=6$，$P$点纵坐标为4，因此$S_{△ACP}=\frac{1}{2}×AC×4=\frac{1}{2}×6×4=12$；
由$S_{△AHP}=\frac{1}{3}S_{△ACP}$，得$S_{△AHP}=4$；
设$H(0,t)$，根据图形面积关系列方程：
$\frac{1}{2}×3×6 - \frac{1}{2}×3·t - \frac{1}{2}(6 - t)×1=4$，
化简得：$9 - \frac{3t}{2} - 3 + \frac{t}{2}=4$，即$6 - t=4$，解得$t=2$，故$H(0,2)$。
【答案】
（1）4；（2）$y=-2x+6$；（3）$(0,2)$
【知识点】
一次函数、三角形面积、坐标与图形
【点评】
本题是一次函数的综合题，考查了一次函数图像上点的坐标特征、待定系数法求解析式以及三角形面积的计算，解题时需理清各点坐标关系，熟练运用面积公式，难度适中。
【难度系数】
0.6
本题分为三个小问，（1）利用点在直线上时，点的坐标满足直线解析式，直接代入计算n的值；（2）采用待定系数法，将一次函数经过的两个点坐标代入解析式，解方程组求出k、b，得到一次函数解析式；（3）先求出A、C两点坐标，计算△ACP的面积，再根据面积关系得到△AHP的面积，设H的坐标，结合三角形面积公式列方程求解H的坐标。
【解析】
（1）
∵点$P(1,n)$在直线$y=x+3$上，将$x=1$代入$y=x+3$得：$n=1+3=4$；
（2）已知一次函数$y=kx+b$经过$B(0,6)$和$P(1,4)$，代入得方程组：
$\begin{cases}b=6 \\k + b=4\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-2 \\b=6\end{cases}$，因此一次函数解析式为$y=-2x+6$；
（3）求A、C坐标：
对于$y=x+3$，令$y=0$，得$x=-3$，故$C(-3,0)$；
对于$y=-2x+6$，令$y=0$，得$x=3$，故$A(3,0)$；
则$AC=3 - (-3)=6$，$P$点纵坐标为4，因此$S_{△ACP}=\frac{1}{2}×AC×4=\frac{1}{2}×6×4=12$；
由$S_{△AHP}=\frac{1}{3}S_{△ACP}$，得$S_{△AHP}=4$；
设$H(0,t)$，根据图形面积关系列方程：
$\frac{1}{2}×3×6 - \frac{1}{2}×3·t - \frac{1}{2}(6 - t)×1=4$，
化简得：$9 - \frac{3t}{2} - 3 + \frac{t}{2}=4$，即$6 - t=4$，解得$t=2$，故$H(0,2)$。
【答案】
（1）4；（2）$y=-2x+6$；（3）$(0,2)$
【知识点】
一次函数、三角形面积、坐标与图形
【点评】
本题是一次函数的综合题，考查了一次函数图像上点的坐标特征、待定系数法求解析式以及三角形面积的计算，解题时需理清各点坐标关系，熟练运用面积公式，难度适中。
【难度系数】
0.6
21.（8分）如图，在$7×7$的网格线中，已知$A、B、C、D$是格点，$E$是$AB$与网格线的交点.仅用无刻度的直尺完成下列作图.画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示.（每个任务的画线不得超过三条）
（1）在图1中，先画$□ ABFD$，再在$FD$上画点$G$，使$AE=FG$；
（2）在图2中，作点$E$关于$AC$的对称点$M$；
（3）在图2中，分别在$AC、BC$上找点$N、T$，连接$EN、NT$，使得$EN+NT$最小。
（1）在图1中，先画$□ ABFD$，再在$FD$上画点$G$，使$AE=FG$；
（2）在图2中，作点$E$关于$AC$的对称点$M$；
（3）在图2中，分别在$AC、BC$上找点$N、T$，连接$EN、NT$，使得$EN+NT$最小。
答案
21.（1）如图1，$□ABFD$即为所求，连接$AF$，$BD$相交于点$O$，连接$EO$并延长交$DF$于点$G$，则点$G$即为所求。
；（2）如图2，取点$B$关于$AC$的对称点$B'$，连接$AB'$，取$AB'$与网格线的交点$M$，则点$M$即为所求；
（3）如图2，在点$A$下方取格点$G$，过点$G$作$AB'$的平行线$GH$，取$GH$与网格线的交点$K$，连接$MK$并延长，交$AC$于点$N$，交$BC$于点$T$，此时$EN+NT=MN+NT=MT$，为最小值，则点$N$，$T$即为所求。
。解析
【分析】
本题是网格中的无刻度直尺作图题，需结合平行四边形、轴对称、最短路径的几何性质完成作图：
（1）作平行四边形ABFD时，利用平行四边形对角线互相平分的性质，先确定对角线交点，再结合E点位置找到G点使AE=FG；
（2）作点关于直线的对称点，利用对称轴是对应点连线的垂直平分线，先找B关于AC的对称点B'，再通过AB'与网格交点得到E的对称点M；
（3）求EN+NT的最小值，利用“将军饮马”模型，通过对称转化线段，结合网格的平行线性质找到使线段和最小的点N、T。
【解析】
（1）①作平行四边形ABFD：根据平行四边形对边平行且相等，在网格中找到格点F、D，使AB平行且等于DF，AD平行且等于BF，得到□ABFD；②连接AF、BD，交于对角线中点O；③连接EO并延长，交FD于点G，则点G满足AE=FG；
（2）①作点B关于AC的对称点B'：利用网格中AC的垂直方向，找到B的对称点B'；②连接AB'，AB'与网格线的交点即为点M，M是E关于AC的对称点；
（3）①在A下方取格点G，过G作AB'的平行线GH；②取GH与网格线的交点K；③连接MK，MK与AC交于点N，与BC交于点T，则此时EN+NT最小。
【答案】
（1）如图1，□ABFD即为所求，连接AF，BD相交于点O，连接EO并延长交DF于点G，则点G即为所求。；
（2）如图2，取点B关于AC的对称点B'，连接AB'，取AB'与网格线的交点M，则点M即为所求；
（3）如图2，在点A下方取格点G，过点G作AB'的平行线GH，取GH与网格线的交点K，连接MK并延长，交AC于点N，交BC于点T，此时EN+NT最小，则点N，T即为所求。。
【知识点】
平行四边形的性质、轴对称的性质、最短路径问题
【点评】
本题综合考查网格背景下的几何作图，需熟练运用平行四边形、轴对称、最短路径的核心性质，结合网格的格点特征完成作图，对几何逻辑思维要求较高，是典型的几何作图综合题。
【难度系数】
0.4
本题是网格中的无刻度直尺作图题，需结合平行四边形、轴对称、最短路径的几何性质完成作图：
（1）作平行四边形ABFD时，利用平行四边形对角线互相平分的性质，先确定对角线交点，再结合E点位置找到G点使AE=FG；
（2）作点关于直线的对称点，利用对称轴是对应点连线的垂直平分线，先找B关于AC的对称点B'，再通过AB'与网格交点得到E的对称点M；
（3）求EN+NT的最小值，利用“将军饮马”模型，通过对称转化线段，结合网格的平行线性质找到使线段和最小的点N、T。
【解析】
（1）①作平行四边形ABFD：根据平行四边形对边平行且相等，在网格中找到格点F、D，使AB平行且等于DF，AD平行且等于BF，得到□ABFD；②连接AF、BD，交于对角线中点O；③连接EO并延长，交FD于点G，则点G满足AE=FG；
（2）①作点B关于AC的对称点B'：利用网格中AC的垂直方向，找到B的对称点B'；②连接AB'，AB'与网格线的交点即为点M，M是E关于AC的对称点；
（3）①在A下方取格点G，过G作AB'的平行线GH；②取GH与网格线的交点K；③连接MK，MK与AC交于点N，与BC交于点T，则此时EN+NT最小。
【答案】
（1）如图1，□ABFD即为所求，连接AF，BD相交于点O，连接EO并延长交DF于点G，则点G即为所求。
；（2）如图2，取点B关于AC的对称点B'，连接AB'，取AB'与网格线的交点M，则点M即为所求；
（3）如图2，在点A下方取格点G，过点G作AB'的平行线GH，取GH与网格线的交点K，连接MK并延长，交AC于点N，交BC于点T，此时EN+NT最小，则点N，T即为所求。
。【知识点】
平行四边形的性质、轴对称的性质、最短路径问题
【点评】
本题综合考查网格背景下的几何作图，需熟练运用平行四边形、轴对称、最短路径的核心性质，结合网格的格点特征完成作图，对几何逻辑思维要求较高，是典型的几何作图综合题。
【难度系数】
0.4
