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22.（10分）2025年4月30日13时08分，神舟十九号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，标志着神舟十九号载人飞行任务取得圆满成功.航模店看准商机，在模型厂购进“神舟”和“天宫”模型出售.该店先花费6500元购进了30个“神舟”模型和20个“天宫”模型，很快销售一空；后又花费8500元以同样的价格购进了40个“神舟”模型和25个“天宫”模型.已知每个“神舟”模型的售价为180元，每个“天宫”模型的售价为150元.
（1）求每个“神舟”模型和“天宫”模型的进价；
（2）该店计划继续购进这两种模型共200个，其中购进“天宫”模型数量不超过“神舟”模型的3倍，且航模店购进总金额不超过25000元.设购进“神舟”模型$ x $个，销售这批模型的利润为$ w $元.当购进这两种模型各多少个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润是多少？
（3）实际进货时，模型厂家对“神舟”模型出厂价下调了$ a $元，且限定航模店最多购“神舟”模型80台.在（2）的条件下，为让航模店最终获得的最大利润是10800元，直接写出$ a $的值为________.
（1）求每个“神舟”模型和“天宫”模型的进价；
（2）该店计划继续购进这两种模型共200个，其中购进“天宫”模型数量不超过“神舟”模型的3倍，且航模店购进总金额不超过25000元.设购进“神舟”模型$ x $个，销售这批模型的利润为$ w $元.当购进这两种模型各多少个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润是多少？
（3）实际进货时，模型厂家对“神舟”模型出厂价下调了$ a $元，且限定航模店最多购“神舟”模型80台.在（2）的条件下，为让航模店最终获得的最大利润是10800元，直接写出$ a $的值为________.
答案
22.（1）每个“神舟”模型的进价为150元，每个“天宫”模型的进价为100元；（2）购进“神舟”模型50个、“天宫”模型150个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润是9000元；（3）30
解：（1）设每个“神舟”模型的进价为$a$元，每个“天宫”模型的进价为$b$元.
根据题意，得$\begin{cases}30a + 20b = 6500 \\40a + 25b = 8500\end{cases}$，
解得$\begin{cases}a = 150 \\b = 100\end{cases}$.
答：每个“神舟”模型的进价为150元，每个“天宫”模型的进价为100元.
（2）购进“天宫”模型（$200 - x$）个，
根据题意，得$\begin{cases}200 - x ≤ 3x \\150x + 100(200 - x) ≤ 25000\end{cases}$，
解得$50≤x≤100$，
$w=(180 - 150)x+(150 - 100)(200 - x)= - 20x+10000$，
∵$ - 20＜0$，
∴$w$随$x$的减小而增大，
∵$50≤x≤100$，
∴当$x=50$时$w$值最大，$w_{最大}= - 20×50+10000=9000$，
$200 - 50=150$（个）.
答：购进“神舟”模型50个、“天宫”模型150个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润是9000元.
（3）$w=(180 - 150+a)x+(150 - 100)(200 - x)=(a - 20)x+10000（50≤x≤80）$，
∵$50≤x≤80$，
∴若$(a - 20)x+10000=10800$，则$a - 20＞0$，即$a＞20$，
∴$w$随$x$的增大而增大，
∴当$x=80$时$w$值最大，得$80(a - 20)+10000=10800$，解得$a=30$，
∴为让航模店最终获得的最大利润是10800元，$a$的值为30.
故答案为：30.
解：（1）设每个“神舟”模型的进价为$a$元，每个“天宫”模型的进价为$b$元.
根据题意，得$\begin{cases}30a + 20b = 6500 \\40a + 25b = 8500\end{cases}$，
解得$\begin{cases}a = 150 \\b = 100\end{cases}$.
答：每个“神舟”模型的进价为150元，每个“天宫”模型的进价为100元.
（2）购进“天宫”模型（$200 - x$）个，
根据题意，得$\begin{cases}200 - x ≤ 3x \\150x + 100(200 - x) ≤ 25000\end{cases}$，
解得$50≤x≤100$，
$w=(180 - 150)x+(150 - 100)(200 - x)= - 20x+10000$，
∵$ - 20＜0$，
∴$w$随$x$的减小而增大，
∵$50≤x≤100$，
∴当$x=50$时$w$值最大，$w_{最大}= - 20×50+10000=9000$，
$200 - 50=150$（个）.
答：购进“神舟”模型50个、“天宫”模型150个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润是9000元.
（3）$w=(180 - 150+a)x+(150 - 100)(200 - x)=(a - 20)x+10000（50≤x≤80）$，
∵$50≤x≤80$，
∴若$(a - 20)x+10000=10800$，则$a - 20＞0$，即$a＞20$，
∴$w$随$x$的增大而增大，
∴当$x=80$时$w$值最大，得$80(a - 20)+10000=10800$，解得$a=30$，
∴为让航模店最终获得的最大利润是10800元，$a$的值为30.
故答案为：30.
解析
【分析】
本题分三小问，解题思路如下：
1. 第（1）问：利用二元一次方程组解决进价问题，设两种模型的进价为未知数，根据两次购进的总费用列出方程组，求解即可。
2. 第（2）问：先设购进“神舟”模型数量为$x$，表示出“天宫”模型数量，根据“天宫”数量限制和总金额限制列出不等式组，确定$x$的取值范围；再根据利润公式写出利润关于$x$的一次函数，结合一次函数的单调性求最大利润。
3. 第（3）问：调整“神舟”模型进价后，重新写出利润函数，结合“最多购80个‘神舟’模型”的限定，分析函数单调性，确定最大利润对应的$x$值，代入求解$a$。
【解析】
（1）设每个“神舟”模型的进价为$a$元，每个“天宫”模型的进价为$b$元，根据题意列方程组：
$\begin{cases}30a + 20b = 6500 \\40a + 25b = 8500\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}3a + 2b = 650 \\8a + 5b = 1700\end{cases}$
解得$\begin{cases}a = 150 \\b = 100\end{cases}$。
（2）设购进“神舟”模型$x$个，则“天宫”模型为$(200 - x)$个，根据题意列不等式组：
$\begin{cases}200 - x ≤ 3x \\150x + 100(200 - x) ≤ 25000\end{cases}$
解得$50 ≤ x ≤ 100$。
利润$w=(180 - 150)x + (150 - 100)(200 - x)= -20x + 10000$，
因为$-20 ＜ 0$，所以$w$随$x$的减小而增大，当$x=50$时，$w$最大，$w_{最大}=-20×50 + 10000=9000$，此时“天宫”模型数量为$200 - 50=150$个。
（3）“神舟”模型进价下调$a$元后，利润$w=(180 - 150 + a)x + (150 - 100)(200 - x)=(a - 20)x + 10000$，
结合限定$50 ≤ x ≤ 80$，要使最大利润为10800元，则$a - 20 ＞ 0$（否则最大利润在$x=50$时，无法达到10800），此时$w$随$x$增大而增大，当$x=80$时，$80(a - 20) + 10000=10800$，解得$a=30$。
【答案】
（1）每个“神舟”模型的进价为150元，每个“天宫”模型的进价为100元；（2）购进“神舟”模型50个、“天宫”模型150个时，最大利润为9000元；（3）30
【知识点】
二元一次方程组应用、一元一次不等式组应用、一次函数的最值
【点评】
本题为实际生活中的利润问题，综合考查方程、不等式与函数的应用，需从题目中提取等量/不等关系，结合函数单调性求最值，是初中数学的典型应用题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
本题分三小问，解题思路如下：
1. 第（1）问：利用二元一次方程组解决进价问题，设两种模型的进价为未知数，根据两次购进的总费用列出方程组，求解即可。
2. 第（2）问：先设购进“神舟”模型数量为$x$，表示出“天宫”模型数量，根据“天宫”数量限制和总金额限制列出不等式组，确定$x$的取值范围；再根据利润公式写出利润关于$x$的一次函数，结合一次函数的单调性求最大利润。
3. 第（3）问：调整“神舟”模型进价后，重新写出利润函数，结合“最多购80个‘神舟’模型”的限定，分析函数单调性，确定最大利润对应的$x$值，代入求解$a$。
【解析】
（1）设每个“神舟”模型的进价为$a$元，每个“天宫”模型的进价为$b$元，根据题意列方程组：
$\begin{cases}30a + 20b = 6500 \\40a + 25b = 8500\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}3a + 2b = 650 \\8a + 5b = 1700\end{cases}$
解得$\begin{cases}a = 150 \\b = 100\end{cases}$。
（2）设购进“神舟”模型$x$个，则“天宫”模型为$(200 - x)$个，根据题意列不等式组：
$\begin{cases}200 - x ≤ 3x \\150x + 100(200 - x) ≤ 25000\end{cases}$
解得$50 ≤ x ≤ 100$。
利润$w=(180 - 150)x + (150 - 100)(200 - x)= -20x + 10000$，
因为$-20 ＜ 0$，所以$w$随$x$的减小而增大，当$x=50$时，$w$最大，$w_{最大}=-20×50 + 10000=9000$，此时“天宫”模型数量为$200 - 50=150$个。
（3）“神舟”模型进价下调$a$元后，利润$w=(180 - 150 + a)x + (150 - 100)(200 - x)=(a - 20)x + 10000$，
结合限定$50 ≤ x ≤ 80$，要使最大利润为10800元，则$a - 20 ＞ 0$（否则最大利润在$x=50$时，无法达到10800），此时$w$随$x$增大而增大，当$x=80$时，$80(a - 20) + 10000=10800$，解得$a=30$。
【答案】
（1）每个“神舟”模型的进价为150元，每个“天宫”模型的进价为100元；（2）购进“神舟”模型50个、“天宫”模型150个时，最大利润为9000元；（3）30
【知识点】
二元一次方程组应用、一元一次不等式组应用、一次函数的最值
【点评】
本题为实际生活中的利润问题，综合考查方程、不等式与函数的应用，需从题目中提取等量/不等关系，结合函数单调性求最值，是初中数学的典型应用题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
23.（10分）正方形ABCD中，E是BC边上的点，$AE⊥EF$且$AE=EF$，连接CF.
（1）如图1，直接写出$∠ECF=$______；
（2）如图2，连接AC，证明：$AC-FC=\sqrt{2}EC$；
（3）如图3，连接AF、BD交于点H，连EH，证明：$AH⊥EH$.
（1）如图1，直接写出$∠ECF=$______；
（2）如图2，连接AC，证明：$AC-FC=\sqrt{2}EC$；
（3）如图3，连接AF、BD交于点H，连EH，证明：$AH⊥EH$.
答案
23.（1）$135°$；
（2）证明：在AB上取一点H，使$BH=BE$，连接HE，
由（1）知：$HE=FC$，
∵$△BHE$为等腰直角三角形，
∴$HE=\sqrt{2} BE$，
∴$FC=\sqrt{2} BE$.
∵$AC=\sqrt{2} AB$，
∴$AC - FC=\sqrt{2} AB - \sqrt{2} BE=\sqrt{2}（BC - BE）=\sqrt{2} EC$.
∴$AC - FC = \sqrt{2} EC$；
（3）证明：连接CH，
∵四边形ABCD为正方形，
∴$AD=DC$，$∠ADB=∠CDB=∠DBC=45°$，
在$△ADH$和$△CDH$中，
$\begin{cases}AD = DC \\∠ADH = ∠CDH \\DH = DH\end{cases}$
∴$△ADH≌△CDH（SAS）$，
∴$AH=CH$，$∠DAH=∠DCH$，
由（1）知：$∠FCD=45°$，
∴$∠FCD=∠BDC=45°$，
∴$CF//BD$，
∴$∠DHF=∠HFC$，
∵$∠DHF=∠DAH+∠ADB=45° + ∠DAH$，$∠HCF=∠DCH+∠DCF=45° + ∠DCH$，
∴$∠DHF=∠HCF$，
∴$∠HCF=∠HFC$，
∴$HC=HF$，
∴$AH=HF$，
∵$EA=EF$，
∴$AH⊥EH$.
（2）证明：在AB上取一点H，使$BH=BE$，连接HE，
由（1）知：$HE=FC$，
∵$△BHE$为等腰直角三角形，
∴$HE=\sqrt{2} BE$，
∴$FC=\sqrt{2} BE$.
∵$AC=\sqrt{2} AB$，
∴$AC - FC=\sqrt{2} AB - \sqrt{2} BE=\sqrt{2}（BC - BE）=\sqrt{2} EC$.
∴$AC - FC = \sqrt{2} EC$；
（3）证明：连接CH，
∵四边形ABCD为正方形，
∴$AD=DC$，$∠ADB=∠CDB=∠DBC=45°$，
在$△ADH$和$△CDH$中，
$\begin{cases}AD = DC \\∠ADH = ∠CDH \\DH = DH\end{cases}$
∴$△ADH≌△CDH（SAS）$，
∴$AH=CH$，$∠DAH=∠DCH$，
由（1）知：$∠FCD=45°$，
∴$∠FCD=∠BDC=45°$，
∴$CF//BD$，
∴$∠DHF=∠HFC$，
∵$∠DHF=∠DAH+∠ADB=45° + ∠DAH$，$∠HCF=∠DCH+∠DCF=45° + ∠DCH$，
∴$∠DHF=∠HCF$，
∴$∠HCF=∠HFC$，
∴$HC=HF$，
∴$AH=HF$，
∵$EA=EF$，
∴$AH⊥EH$.
解析
【分析】
本题是正方形的几何综合题，分三小问逐步推导：
（1）要确定∠ECF的度数，通过构造直角三角形，利用AE⊥EF且AE=EF的条件，证明△ABE与△EGF全等，得到边的关系，进而推出△FCG为等腰直角三角形，从而求出∠ECF；
（2）证明AC-FC=√2 EC时，利用正方形对角线AC=√2 AB的性质，结合（1）中得到的FC与BE的关系，通过构造等腰直角三角形，将FC转化为与BE相关的线段，结合AB=BC的等量关系完成证明；
（3）证明AH⊥EH时，利用正方形的对称性，通过全等三角形得到AH=CH，再结合平行线的性质推出HC=HF，进而得到AH=HF，结合EA=EF，利用等腰三角形三线合一的性质完成垂直证明。
【解析】
（1）过点F作FG⊥BC，交BC的延长线于点G。
∵ AE⊥EF，
∴ ∠AEF=90°，
∴ ∠AEB + ∠FEG=90°。
又
∵ 正方形ABCD中，∠B=90°，
∴ ∠AEB + ∠BAE=90°，
∴ ∠BAE=∠FEG。
在△ABE和△EGF中：
$\begin{cases}∠B=∠G=90° \\∠BAE=∠FEG \\AE=EF\end{cases}$
∴ △ABE≌△EGF（AAS），
∴ BE=FG，AB=EG。
∵ 正方形ABCD中，AB=BC，
∴ EG=BC，
∴ EG - EC = BC - EC，即BE=CG，
∴ FG=CG。
∴ △FCG是等腰直角三角形，∠FCG=45°，
∴ ∠ECF=180° - ∠FCG=135°。
（2）在AB上取点H，使BH=BE，连接HE。
∵ ∠B=90°，BH=BE，
∴ △BHE是等腰直角三角形，
∴ HE=√2 BE。
由（1）中△ABE≌△EGF，得BE=CG，FG=CG，且FC=√2 CG=√2 BE，
∴ FC=HE。
∵ 正方形ABCD中，AC是对角线，
∴ AC=√2 AB。
∴ AC - FC = √2 AB - √2 BE = √2(AB - BE)。
又
∵ AB=BC，BE=BH，
∴ AB - BE = BC - BH = EC，
∴ AC - FC=√2 EC，得证。
（3）连接CH。
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AD=DC，∠ADB=∠CDB=45°。
在△ADH和△CDH中：
$\begin{cases}AD=DC \\∠ADH=∠CDH \\DH=DH\end{cases}$
∴ △ADH≌△CDH（SAS），
∴ AH=CH，∠DAH=∠DCH。
由（1）知∠FCD=45°，
∴ ∠FCD=∠BDC=45°，
∴ CF//BD，
∴ ∠HCF=∠HFC，
∴ HC=HF。
∴ AH=HF，又
∵ EA=EF，
∴ △AEF是等腰三角形，EH是底边AF的中线，根据等腰三角形三线合一，EH⊥AF，即AH⊥EH，得证。
【答案】
（1）$135°$；（2）证明见解析；（3）证明见解析。
【知识点】
正方形性质、全等三角形判定、等腰直角三角形性质
【点评】
本题为正方形综合几何题，需结合全等三角形、等腰三角形性质等知识，通过构造辅助线逐步推导，考查学生的几何逻辑推理能力，是中等难度的几何综合题。
【难度系数】
0.5
本题是正方形的几何综合题，分三小问逐步推导：
（1）要确定∠ECF的度数，通过构造直角三角形，利用AE⊥EF且AE=EF的条件，证明△ABE与△EGF全等，得到边的关系，进而推出△FCG为等腰直角三角形，从而求出∠ECF；
（2）证明AC-FC=√2 EC时，利用正方形对角线AC=√2 AB的性质，结合（1）中得到的FC与BE的关系，通过构造等腰直角三角形，将FC转化为与BE相关的线段，结合AB=BC的等量关系完成证明；
（3）证明AH⊥EH时，利用正方形的对称性，通过全等三角形得到AH=CH，再结合平行线的性质推出HC=HF，进而得到AH=HF，结合EA=EF，利用等腰三角形三线合一的性质完成垂直证明。
【解析】
（1）过点F作FG⊥BC，交BC的延长线于点G。
∵ AE⊥EF，
∴ ∠AEF=90°，
∴ ∠AEB + ∠FEG=90°。
又
∵ 正方形ABCD中，∠B=90°，
∴ ∠AEB + ∠BAE=90°，
∴ ∠BAE=∠FEG。
在△ABE和△EGF中：
$\begin{cases}∠B=∠G=90° \\∠BAE=∠FEG \\AE=EF\end{cases}$
∴ △ABE≌△EGF（AAS），
∴ BE=FG，AB=EG。
∵ 正方形ABCD中，AB=BC，
∴ EG=BC，
∴ EG - EC = BC - EC，即BE=CG，
∴ FG=CG。
∴ △FCG是等腰直角三角形，∠FCG=45°，
∴ ∠ECF=180° - ∠FCG=135°。
（2）在AB上取点H，使BH=BE，连接HE。
∵ ∠B=90°，BH=BE，
∴ △BHE是等腰直角三角形，
∴ HE=√2 BE。
由（1）中△ABE≌△EGF，得BE=CG，FG=CG，且FC=√2 CG=√2 BE，
∴ FC=HE。
∵ 正方形ABCD中，AC是对角线，
∴ AC=√2 AB。
∴ AC - FC = √2 AB - √2 BE = √2(AB - BE)。
又
∵ AB=BC，BE=BH，
∴ AB - BE = BC - BH = EC，
∴ AC - FC=√2 EC，得证。
（3）连接CH。
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AD=DC，∠ADB=∠CDB=45°。
在△ADH和△CDH中：
$\begin{cases}AD=DC \\∠ADH=∠CDH \\DH=DH\end{cases}$
∴ △ADH≌△CDH（SAS），
∴ AH=CH，∠DAH=∠DCH。
由（1）知∠FCD=45°，
∴ ∠FCD=∠BDC=45°，
∴ CF//BD，
∴ ∠HCF=∠HFC，
∴ HC=HF。
∴ AH=HF，又
∵ EA=EF，
∴ △AEF是等腰三角形，EH是底边AF的中线，根据等腰三角形三线合一，EH⊥AF，即AH⊥EH，得证。
【答案】
（1）$135°$；（2）证明见解析；（3）证明见解析。
【知识点】
正方形性质、全等三角形判定、等腰直角三角形性质
【点评】
本题为正方形综合几何题，需结合全等三角形、等腰三角形性质等知识，通过构造辅助线逐步推导，考查学生的几何逻辑推理能力，是中等难度的几何综合题。
【难度系数】
0.5
