9. 添加辅助线是很多同学感觉比较困难的事情.
如图 ①, 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中, $∠ ABC=90°$, $BD$ 是高,$E$ 是 $△ ABC$ 外一点, $BE=BA$, $∠ E=∠ C$, 若$DE=\dfrac{2}{3}BD$, $AD=9$, $BD=12$, 求 $△ BDE$ 的面积.
同学们可以先思考一下……小颖思考后认为可以这样添加辅助线: 在 $BD$ 上截取 $BF=DE$(如图②).同学们,根据小颖的提示,聪明的你可以求得 $△ BDE$ 的面积为.

9. 36 解析:$\because BD$是$△ ABC$的高,$\therefore BD⊥ AC,\therefore ∠ BAD+$$∠ ABD=90°.\because ∠ ABC=90°,\therefore ∠ BAD+∠ C=90°,\therefore ∠ ABD=$$∠ C.\because ∠ E=∠ C,\therefore ∠ ABD=∠ E$.在$△ ABF$和$△ BED$中,$\begin{cases} AB=BE,\\ ∠ ABD=∠ E,\therefore △ ABF≌△ BED,\therefore S_{△ ABF}=S_{△ BED}.\because DE=\\ BF=DE, \end{cases}$$\frac{2}{3}BD,BD=12,BF=DE,\therefore BF=DE=\frac{2}{3}BD=\frac{2}{3}×12=8$,$\therefore S_{△ ABF}=\frac{1}{2}BF· AD=\frac{1}{2}×8×9=36,\therefore S_{△ BED}=S_{△ ABF}=36$.

10. 如图, 在 $△ ABC$ 和 $△ AED$ 中, $AB = AC, AE =$$AD,∠ BAC=∠ EAD$, 且点 $E,A,B$ 在同一直线上,点 $C,D$ 在 $EB$ 同侧, 连接 $BD,CE$ 交于点 $M$.
(1) 求证: $△ ABD ≌ △ ACE$;
(2) 若 $∠ CAD=120°$, 求 $∠ DME$ 的度数.

10. (1)$\because ∠ BAC=∠ EAD,\therefore ∠ BAC+∠ DAC=∠ EAD+∠ DAC$,即$∠ DAB=∠ EAC$.在$△ ABD$和$△ ACE$中,$\begin{cases} AD=AE,\\ ∠ DAB=∠ EAC,\\ AB=AC, \end{cases}$$\therefore △ ABD≌△ ACE(\mathrm{SAS}).$
(2)$\because ∠ BAC=∠ EAD,∠ CAD=120°,\therefore ∠ BAC=∠ EAD=$$\frac{180°-∠ CAD}{2}=\frac{180°-120°}{2}=30°.\because ∠ BAC$是$△ EAC$的外角,$\therefore ∠ BAC=∠ AEC+∠ ACE=30°.\because △ ABD≌△ ACE$,$\therefore ∠ ECA=∠ DBA.\because ∠ DME$是$△ BME$的外角,$\therefore ∠ DME=$$∠ AEC+∠ ABD=∠ AEC+∠ ACE=30°$.

11. (2026·无锡期中) 在 $△ ABC$ 中，$AB=8$，如果 $BC$ 边上的中线 $AD=5$，那么线段 $AC$ 长度的取值范围是.
第1章

11. $2＜AC＜18$ 解析:如图,延长$AD$到$E$,使$AD=DE$,连接$BE$,$\because AD=DE,∠ ADC=∠ BDE,DC=BD,\therefore △ ADC≌$$△ EDB(\mathrm{SAS}),\therefore AC=BE$.在$△ AEB$中,$AE-AB＜BE＜$$AB+AE$,即$2＜BE＜18,\therefore 2＜AC＜18$.

技法点拨 本题的解题技巧是作辅助线,延长中线,使所延长部分与中线长度相等,然后连接相应的顶点,从而构造全等三角形,这种方法叫作倍长中线法,是一种常用的构造全等三角形的方法.

12. 新趋势 项目式学习 (2026·连云港校级月考)
(1)问题背景:如图①,在四边形 $ABCD$ 中,$AB = AD$,$∠ BAD = 120°$,$∠ B = ∠ ADC = 90°$,$E,F$ 分别是 $BC,CD$ 上的点,且 $∠ EAF = 60°$,探究图中线段 $BE,EF,FD$ 之间的数量关系.
小李同学探究此问题的方法是:延长 $FD$ 到点 $G$,使 $DG = BE$.连接 $AG$,先证明 $△ ABE ≌ △ ADG$,再证明 $△ AEF ≌ △ AGF$,可得出结论.
他的结论应是.
(2) 如图②,在四边形 $ABCD$ 中,$AB = AD$,$∠ B + ∠ D = 180°$,$E,F$ 分别是边 $BC,CD$ 上的点,且 $∠ EAF = \dfrac{1}{2}∠ BAD$. (1) 中的结论是否仍然成立? 请写出证明过程.
(3)在四边形 $ABCD$ 中,$AB = AD$,$∠ B + ∠ D = 180°$,$E,F$ 分别是边 $BC,CD$ 所在直线上的点,且 $∠ EAF = \dfrac{1}{2}∠ BAD$. 请直接写出线段 $EF,BE,FD$ 之间的数量关系.

4星学霸 009

12. (1)$BE+DF=EF$ 解析:如图①,延长$FD$到点$G$,使$DG=$$BE$.连接$AG$,$\because ∠ B=∠ ADC=90°,\therefore ∠ B=∠ ADG=$$90°.\because AB=AD,BE=DG,\therefore △ ABE≌△ ADG,\therefore ∠ BAE=$$∠ DAG,AE=AG.\because ∠ EAF=60°,∠ BAD=120°,\therefore ∠ BAE+$$∠ DAF=120°-60°=60°$,则$∠ DAG+∠ DAF=60°$,即$∠ GAF=∠ EAF=60°.\because AG=AE,AF=AF,\therefore △ AEF≌$$△ AGF,\therefore EF=GF$,即$GD+DF=BE+DF=EF$.

(2)(1)中的结论仍然成立.证明:如图②,延长$EB$到$G$,使$BG=DF$,连接$AG$.$\because ∠ ABC+∠ D=180°,∠ ABG+$$∠ ABC=180°,\therefore ∠ ABG=∠ D$.在$△ ABG$与$△ ADF$中,$\begin{cases} AB=AD,\\ ∠ ABG=∠ D,\therefore △ ABG≌△ ADF(\mathrm{SAS}),\therefore AG=AF,∠ 1=\\ BG=DF, \end{cases}$$∠ 2,\therefore ∠ 1+∠ 3=∠ 2+∠ 3=\frac{1}{2}∠ BAD=∠ EAF.\therefore ∠ GAE=$$∠ EAF$.又$AE=AE,\therefore △ AEG≌△ AEF,\therefore EG=EF.\because EG=$$BE+BG.\therefore EF=BE+FD$.
(3)$EF=BE-FD$或$EF=FD-BE$或$EF=BE+FD$.
解析:①如图③,在$BE$上截取$BG=DF$,连接$AG$.$\because ∠ B+$$∠ ADC=180°,∠ ADF+∠ ADC=180°,\therefore ∠ B=∠ ADF$.在$△ ABG$ 与$△ ADF$ 中,$\begin{cases} AB=AD,\\ ∠ ABG=∠ ADF,\therefore △ ABG≌△ ADF\\ BG=DF, \end{cases}$$(\mathrm{SAS}),\therefore ∠ BAG=∠ DAF,AG=AF.\therefore ∠ BAG+∠ EAD=$$∠ DAF+∠ EAD=∠ EAF=\frac{1}{2}∠ BAD.\therefore ∠ GAE=∠ EAF$.$\because AE=AE$,易证$△ AEG≌△ AEF,\therefore EG=EF.\because EG=BE-$$BG,\therefore EF=BE-FD$.

②如图④,在$DF$上截取$DH=BE$,同第一种情况方法,证明$△ AEB≌△ AHD(\mathrm{SAS})$,证明$△ AEF≌△ AHF(\mathrm{SAS})$,$\therefore EF=FH=FD-DH=FD-BE$.
③当$E,F$分别在边$BC,CD$上时,由(1)、(2)可知,$EF=$$BE+FD$.
④如图⑤,点$E$在$BC$延长线上,点$F$在$DC$延长线上,此时线段$EF,BE,FD$之间并无直接数量关系.
综上,$EF=BE-FD$或$EF=FD-BE$或$EF=BE+FD$.