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1. 下列各数量关系中,成反比例关系的是 （
A.全班人数一定,出勤人数和缺勤人数
B.运送一批货物,每天运的吨数和需要的天数
C.单价一定,买的数量和总价
D.出油率一定,花生油的质量与花生的质量
B
）A.全班人数一定,出勤人数和缺勤人数
B.运送一批货物,每天运的吨数和需要的天数
C.单价一定,买的数量和总价
D.出油率一定,花生油的质量与花生的质量
答案
A. 全班人数一定,出勤人数和缺勤人数的和为定值,
∴ A选项不符合题意.B. 运送一批货物,每天运的吨数和需要的天数的积为定值,
∴ B选项符合题意.C. 单价一定,买的数量和总价成正比,
∴ C选项不符合题意.D. 出油率一定,花生油的质量与花生的质量成正比,
∴ D选项不符合题意.
∴ A选项不符合题意.B. 运送一批货物,每天运的吨数和需要的天数的积为定值,
∴ B选项符合题意.C. 单价一定,买的数量和总价成正比,
∴ C选项不符合题意.D. 出油率一定,花生油的质量与花生的质量成正比,
∴ D选项不符合题意.
解析
【分析】
要判断两个量是否成反比例，首先明确反比例的核心判定规则：两种相关联的量，若它们的乘积始终是固定不变的定值，则这两个量成反比例关系。我们可以逐个对选项里的两组数量的运算关系进行验证：首先判断每组关联量的结果是和为定值、商为定值还是积为定值，排除和为定值、商为定值的情况，剩下的积为定值的就是符合反比例要求的选项，最终就能选出正确答案。
【解析】
解：逐一分析各选项：
选项A：出勤人数 + 缺勤人数 = 全班人数（一定），两个量的和为定值，并非乘积一定，因此出勤人数和缺勤人数不成反比例关系，该选项不符合题意。
选项B：每天运的吨数 × 需要的天数 = 这批货物的总质量（一定），两个量的乘积为定值，因此每天运的吨数和需要的天数成反比例关系，该选项符合题意。
选项C：总价 ÷ 买的数量 = 单价（一定），两个量的商为定值，因此买的数量和总价成正比例关系，不符合反比例要求，该选项不符合题意。
选项D：花生油的质量 ÷ 花生的质量 = 出油率（一定），两个量的商为定值，因此花生油的质量与花生的质量成正比例关系，不符合反比例要求，该选项不符合题意。
【答案】B
【知识点】
反比例判定，正比例判定
【点评】
本题属于正反比例辨识的基础题型，易错点是部分同学会误将和为定值的关联量判定为反比例，解题时要牢记核心判定逻辑：反比例要求两个量乘积固定，正比例要求两个量比值（商）固定，和/差为定值的关联量都不成比例。
【难度系数】
0.8
要判断两个量是否成反比例，首先明确反比例的核心判定规则：两种相关联的量，若它们的乘积始终是固定不变的定值，则这两个量成反比例关系。我们可以逐个对选项里的两组数量的运算关系进行验证：首先判断每组关联量的结果是和为定值、商为定值还是积为定值，排除和为定值、商为定值的情况，剩下的积为定值的就是符合反比例要求的选项，最终就能选出正确答案。
【解析】
解：逐一分析各选项：
选项A：出勤人数 + 缺勤人数 = 全班人数（一定），两个量的和为定值，并非乘积一定，因此出勤人数和缺勤人数不成反比例关系，该选项不符合题意。
选项B：每天运的吨数 × 需要的天数 = 这批货物的总质量（一定），两个量的乘积为定值，因此每天运的吨数和需要的天数成反比例关系，该选项符合题意。
选项C：总价 ÷ 买的数量 = 单价（一定），两个量的商为定值，因此买的数量和总价成正比例关系，不符合反比例要求，该选项不符合题意。
选项D：花生油的质量 ÷ 花生的质量 = 出油率（一定），两个量的商为定值，因此花生油的质量与花生的质量成正比例关系，不符合反比例要求，该选项不符合题意。
【答案】B
【知识点】
反比例判定，正比例判定
【点评】
本题属于正反比例辨识的基础题型，易错点是部分同学会误将和为定值的关联量判定为反比例，解题时要牢记核心判定逻辑：反比例要求两个量乘积固定，正比例要求两个量比值（商）固定，和/差为定值的关联量都不成比例。
【难度系数】
0.8
2. 易错题 如果函数$y=(m-1)x^{|m|-2}$是反比例函数,那么$m$的值是（
A.2
B.-1
C.1
D.0
B
）A.2
B.-1
C.1
D.0
答案
∵ 函数$y=(m-1)x^{|m|-2}$是反比例函数,
∴ $|m|-2=-1$且$m-1≠0$.由$|m|-2=-1$,得$m=±1$.由$m-1≠0$,得$m≠1$.
∴ $m=-1$.
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确反比例函数的定义特征：反比例函数的标准形式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$），也可写成$y=kx^{-1}$的形式。因此给定函数是反比例函数必须同时满足两个要求：第一，自变量$x$的次数等于$-1$；第二，$x$前的比例系数不能为0，否则函数会退化为$y=0$，不符合反比例函数的定义。我们先根据指数要求列方程解出所有可能的$m$取值，再通过系数不为0的条件排除不符合的取值，最终就能得到正确的$m$值，对应选出选项即可。
【解析】
解：若函数$y=(m-1)x^{|m|-2}$是反比例函数，需同时满足两个条件：
1. 自变量的指数为$-1$：
$|m|-2=-1$
移项得$|m|=1$，解得$m=1$或$m=-1$。
2. 反比例函数的比例系数不为0：
$m-1≠0$
解得$m≠1$。
综合两个条件，舍去$m=1$，最终得$m=-1$。
【答案】B
【知识点】
反比例函数定义，绝对值运算
【点评】
本题是反比例函数章节的典型易错题，很多同学解题时只关注自变量指数为$-1$的要求，容易忽略比例系数不能为0这个隐藏限制条件，导致错选，解题时要牢记反比例函数定义的两个必备条件，二者缺一不可。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先需要明确反比例函数的定义特征：反比例函数的标准形式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$），也可写成$y=kx^{-1}$的形式。因此给定函数是反比例函数必须同时满足两个要求：第一，自变量$x$的次数等于$-1$；第二，$x$前的比例系数不能为0，否则函数会退化为$y=0$，不符合反比例函数的定义。我们先根据指数要求列方程解出所有可能的$m$取值，再通过系数不为0的条件排除不符合的取值，最终就能得到正确的$m$值，对应选出选项即可。
【解析】
解：若函数$y=(m-1)x^{|m|-2}$是反比例函数，需同时满足两个条件：
1. 自变量的指数为$-1$：
$|m|-2=-1$
移项得$|m|=1$，解得$m=1$或$m=-1$。
2. 反比例函数的比例系数不为0：
$m-1≠0$
解得$m≠1$。
综合两个条件，舍去$m=1$，最终得$m=-1$。
【答案】B
【知识点】
反比例函数定义，绝对值运算
【点评】
本题是反比例函数章节的典型易错题，很多同学解题时只关注自变量指数为$-1$的要求，容易忽略比例系数不能为0这个隐藏限制条件，导致错选，解题时要牢记反比例函数定义的两个必备条件，二者缺一不可。
【难度系数】
0.6
3. 有下列函数表达式: ① $y=-\dfrac{x^{2}}{3}$; ② $y=\dfrac{3}{-2x}$; ③ $y=\dfrac{\sqrt{2}-5}{5x}$; ④ $y-1=\dfrac{1}{x}$; ⑤ $y=\dfrac{2}{x-1}$. 其中,表示 $y$ 是 $x$ 的反比例函数的是
②③
(填序号).答案
① $y=-\dfrac{x^2}{3}$是二次函数;② $y=\dfrac{3}{-2x}$是$y$关于$x$的反比例函数;③ $y=\dfrac{\sqrt{2}-5}{5x}$是$y$关于$x$的反比例函数;④ $y-1=\dfrac{1}{x}$不是$y$关于$x$的反比例函数;⑤ $y=\dfrac{2}{x-1}$不是$y$关于$x$的反比例函数.
解析
【分析】
要解决这道题，首先得明确反比例函数的严格定义，牢记反比例函数的标准形式是$y=\frac{k}{x}$（其中k是不为0的常数），核心特征是y与x的乘积为非零常数，自变量x仅以一次项的形式出现在分母中，没有额外的常数项对x进行加减，也不能出现x的高于1次的项。接下来我们只需要把给出的5个函数表达式逐个和反比例函数的定义做比对，排除不符合定义的，留下符合的即可。
【解析】
首先明确反比例函数的定义：一般地，形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，且$k≠0$）的函数，叫做y是x的反比例函数，该形式也可等价变形为$xy=k$（$k≠0$）、$y=kx^{-1}$（$k≠0$）。我们逐个判断给出的表达式：
1. 对于①$y=-\dfrac{x^{2}}{3}$：该式中自变量x的次数是2，属于二次函数，不符合反比例函数的定义，因此不是反比例函数。
2. 对于②$y=\dfrac{3}{-2x}$：可变形为$y=\frac{-\frac{3}{2}}{x}$，这里常数$k=-\frac{3}{2}≠0$，完全符合$y=\frac{k}{x}$的反比例函数标准形式，因此是y关于x的反比例函数。
3. 对于③$y=\dfrac{\sqrt{2}-5}{5x}$：可变形为$y=\frac{\frac{\sqrt{2}-5}{5}}{x}$，这里常数$k=\frac{\sqrt{2}-5}{5}≠0$，符合反比例函数的定义，因此是y关于x的反比例函数。
4. 对于④$y-1=\dfrac{1}{x}$：变形可得$y=\frac{1}{x}+1$，此时$y$与$x$的乘积为$1+x$，不是固定的非零常数，不符合反比例函数的定义，因此不是y关于x的反比例函数。
5. 对于⑤$y=\dfrac{2}{x-1}$：该式的分母是$x-1$，并非单独的自变量x，它是y关于$(x-1)$的反比例函数，不是y关于x的反比例函数，不符合要求。
综上，符合要求的是②③。
【答案】
②③
【知识点】
反比例函数定义，反比例函数判定
【点评】
本题是反比例函数章节的基础概念题，核心考察对反比例函数定义的准确理解，很多同学容易误选④或者⑤，本质是没有抓住“y是x的反比例函数”的核心要求：必须满足y和x的乘积为固定非零常数，不能对自变量x做加减后再放到分母，也不能在y的表达式里额外加常数项，判断时优先把式子整理成标准形式再核对就不容易出错。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先得明确反比例函数的严格定义，牢记反比例函数的标准形式是$y=\frac{k}{x}$（其中k是不为0的常数），核心特征是y与x的乘积为非零常数，自变量x仅以一次项的形式出现在分母中，没有额外的常数项对x进行加减，也不能出现x的高于1次的项。接下来我们只需要把给出的5个函数表达式逐个和反比例函数的定义做比对，排除不符合定义的，留下符合的即可。
【解析】
首先明确反比例函数的定义：一般地，形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，且$k≠0$）的函数，叫做y是x的反比例函数，该形式也可等价变形为$xy=k$（$k≠0$）、$y=kx^{-1}$（$k≠0$）。我们逐个判断给出的表达式：
1. 对于①$y=-\dfrac{x^{2}}{3}$：该式中自变量x的次数是2，属于二次函数，不符合反比例函数的定义，因此不是反比例函数。
2. 对于②$y=\dfrac{3}{-2x}$：可变形为$y=\frac{-\frac{3}{2}}{x}$，这里常数$k=-\frac{3}{2}≠0$，完全符合$y=\frac{k}{x}$的反比例函数标准形式，因此是y关于x的反比例函数。
3. 对于③$y=\dfrac{\sqrt{2}-5}{5x}$：可变形为$y=\frac{\frac{\sqrt{2}-5}{5}}{x}$，这里常数$k=\frac{\sqrt{2}-5}{5}≠0$，符合反比例函数的定义，因此是y关于x的反比例函数。
4. 对于④$y-1=\dfrac{1}{x}$：变形可得$y=\frac{1}{x}+1$，此时$y$与$x$的乘积为$1+x$，不是固定的非零常数，不符合反比例函数的定义，因此不是y关于x的反比例函数。
5. 对于⑤$y=\dfrac{2}{x-1}$：该式的分母是$x-1$，并非单独的自变量x，它是y关于$(x-1)$的反比例函数，不是y关于x的反比例函数，不符合要求。
综上，符合要求的是②③。
【答案】
②③
【知识点】
反比例函数定义，反比例函数判定
【点评】
本题是反比例函数章节的基础概念题，核心考察对反比例函数定义的准确理解，很多同学容易误选④或者⑤，本质是没有抓住“y是x的反比例函数”的核心要求：必须满足y和x的乘积为固定非零常数，不能对自变量x做加减后再放到分母，也不能在y的表达式里额外加常数项，判断时优先把式子整理成标准形式再核对就不容易出错。
【难度系数】
0.7
4. 已知 y 与 x 成反比例，且当 $x = - 3$ 时，$y = 4$，则当 $x = 6$ 时，y 的值为
-2
.答案
设反比例函数为$y=\dfrac{k}{x}$.
∵ 当$x=-3$时,$y=4$.
∴ $4=\dfrac{k}{-3}$,解得$k=-12$.
∴ 反比例函数为$y=\dfrac{-12}{x}$.
∴ 当$x=6$时,$y=\dfrac{-12}{6}=-2$.
∵ 当$x=-3$时,$y=4$.
∴ $4=\dfrac{k}{-3}$,解得$k=-12$.
∴ 反比例函数为$y=\dfrac{-12}{x}$.
∴ 当$x=6$时,$y=\dfrac{-12}{6}=-2$.
解析
【分析】
这道题的核心思路是用待定系数法求解反比例函数再代入求值：首先根据“y与x成反比例”的条件，回忆反比例函数的通用形式，先设出反比例函数的解析式；接着把题目给出的x=-3、y=4的已知取值代入所设解析式，计算出待定系数k，得到完整的反比例函数关系式；最后把待求的x=6代入完整的解析式，就能算出对应的y值，整个过程逻辑清晰，按步骤操作即可。
【解析】
解：
1. 设反比例函数的解析式为$y=\dfrac{k}{x} \ (k≠0)$
2. 将$x=-3$，$y=4$代入所设解析式中，可得：
$4=\dfrac{k}{-3}$
解得$k=-12$
3. 由此得到完整的反比例函数解析式为$y=\dfrac{-12}{x}$
4. 把$x=6$代入上述解析式，计算得：
$y=\dfrac{-12}{6}=-2$
【答案】
$-2$
【知识点】
反比例函数定义，待定系数法求函数解析式
【点评】
本题是反比例函数的基础题型，完全围绕待定系数法求反比例解析式的标准流程设置，步骤简单逻辑直白，仅需要注意代入数值计算时不要搞错正负号，是巩固反比例函数基础概念的典型入门习题。
【难度系数】
0.8
这道题的核心思路是用待定系数法求解反比例函数再代入求值：首先根据“y与x成反比例”的条件，回忆反比例函数的通用形式，先设出反比例函数的解析式；接着把题目给出的x=-3、y=4的已知取值代入所设解析式，计算出待定系数k，得到完整的反比例函数关系式；最后把待求的x=6代入完整的解析式，就能算出对应的y值，整个过程逻辑清晰，按步骤操作即可。
【解析】
解：
1. 设反比例函数的解析式为$y=\dfrac{k}{x} \ (k≠0)$
2. 将$x=-3$，$y=4$代入所设解析式中，可得：
$4=\dfrac{k}{-3}$
解得$k=-12$
3. 由此得到完整的反比例函数解析式为$y=\dfrac{-12}{x}$
4. 把$x=6$代入上述解析式，计算得：
$y=\dfrac{-12}{6}=-2$
【答案】
$-2$
【知识点】
反比例函数定义，待定系数法求函数解析式
【点评】
本题是反比例函数的基础题型，完全围绕待定系数法求反比例解析式的标准流程设置，步骤简单逻辑直白，仅需要注意代入数值计算时不要搞错正负号，是巩固反比例函数基础概念的典型入门习题。
【难度系数】
0.8
5. 用函数表达式表示下列问题中两个变量之间的关系,并判断其是否为反比例函数. 如果是,写出$k$的值.
(1) 底边长为3 cm的平行四边形的面积$y(\mathrm{cm}^2)$随底边上的高$x(\mathrm{cm})$的变化而变化.
(2) 检修100 m长的管道时,每天能完成10 m,剩下未检修的管道长$y(\mathrm{m})$随检修天数$x$的变化而变化.
(3) 实数$x$与$y$互为倒数,$y$随$x$的变化而变化.
(1) 底边长为3 cm的平行四边形的面积$y(\mathrm{cm}^2)$随底边上的高$x(\mathrm{cm})$的变化而变化.
(2) 检修100 m长的管道时,每天能完成10 m,剩下未检修的管道长$y(\mathrm{m})$随检修天数$x$的变化而变化.
(3) 实数$x$与$y$互为倒数,$y$随$x$的变化而变化.
答案
(1) 根据平行四边形的面积公式,可得$y=3x$,
∴ $y$不是$x$的反比例函数.
(2) 由题意,得$y+10x=100$,
∴ 两个变量之间的函数表达式为$y=100-10x$,故$y$不是$x$的反比例函数.
(3)
∵ 实数$x$与$y$互为倒数,
∴ 两个变量之间的函数表达式为$y=\dfrac{1}{x}$,故$y$是$x$的反比例函数,且$k=1$.
∴ $y$不是$x$的反比例函数.
(2) 由题意,得$y+10x=100$,
∴ 两个变量之间的函数表达式为$y=100-10x$,故$y$不是$x$的反比例函数.
(3)
∵ 实数$x$与$y$互为倒数,
∴ 两个变量之间的函数表达式为$y=\dfrac{1}{x}$,故$y$是$x$的反比例函数,且$k=1$.
解析
【分析】
我们的解题思路分两步走：第一步先结合每个小题给出的实际场景的等量关系，推导出两个变量之间的函数表达式；第二步对照反比例函数的定义（形如$y=\frac{k}{x}$，其中k为非零常数的函数才是反比例函数），逐个判断写出的函数是否符合反比例函数的形式，符合的直接提取k值即可。三个小问分别对应平行四边形面积公式、剩余工程量的等量关系、倒数的定义来列函数式，再逐一校验是否满足反比例函数的要求。
【解析】
(1) 已知平行四边形底边长为3 cm，根据平行四边形面积公式：面积=底×底边上的高，代入已知底边长可得：
$y = 3x$，该函数是正比例函数，不符合反比例函数$y=\frac{k}{x}$的形式，因此$y$不是$x$的反比例函数。
(2) 已知管道总长100 m，每天检修10 m，检修x天的总检修长度为$10x$ m，剩余未检修长度=总长度-已检修长度，因此可得：
$y = 100 - 10x$，该函数是一次函数，不符合反比例函数的形式，因此$y$不是$x$的反比例函数。
(3) 根据倒数的定义：互为倒数的两个实数乘积为1，即$xy=1$，变形可得函数表达式：
$y=\frac{1}{x}$，该式完全符合反比例函数的形式，因此$y$是$x$的反比例函数，其中常数$k=1$。
【答案】
(1) 函数表达式为$y=3x$，不是反比例函数；
(2) 函数表达式为$y=100-10x$，不是反比例函数；
(3) 函数表达式为$y=\dfrac{1}{x}$，是反比例函数，$k=1$。
【知识点】
反比例函数定义；实际问题列函数式
【点评】
本题属于反比例函数章节的基础概念题，核心是考察学生对反比例函数形式的准确辨析，避免把正比例函数、一次函数误判为反比例函数，解题时只需要严格对照反比例函数的定义校验写出的函数式即可，难度较低，适合初学者巩固概念。
【难度系数】
0.9
我们的解题思路分两步走：第一步先结合每个小题给出的实际场景的等量关系，推导出两个变量之间的函数表达式；第二步对照反比例函数的定义（形如$y=\frac{k}{x}$，其中k为非零常数的函数才是反比例函数），逐个判断写出的函数是否符合反比例函数的形式，符合的直接提取k值即可。三个小问分别对应平行四边形面积公式、剩余工程量的等量关系、倒数的定义来列函数式，再逐一校验是否满足反比例函数的要求。
【解析】
(1) 已知平行四边形底边长为3 cm，根据平行四边形面积公式：面积=底×底边上的高，代入已知底边长可得：
$y = 3x$，该函数是正比例函数，不符合反比例函数$y=\frac{k}{x}$的形式，因此$y$不是$x$的反比例函数。
(2) 已知管道总长100 m，每天检修10 m，检修x天的总检修长度为$10x$ m，剩余未检修长度=总长度-已检修长度，因此可得：
$y = 100 - 10x$，该函数是一次函数，不符合反比例函数的形式，因此$y$不是$x$的反比例函数。
(3) 根据倒数的定义：互为倒数的两个实数乘积为1，即$xy=1$，变形可得函数表达式：
$y=\frac{1}{x}$，该式完全符合反比例函数的形式，因此$y$是$x$的反比例函数，其中常数$k=1$。
【答案】
(1) 函数表达式为$y=3x$，不是反比例函数；
(2) 函数表达式为$y=100-10x$，不是反比例函数；
(3) 函数表达式为$y=\dfrac{1}{x}$，是反比例函数，$k=1$。
【知识点】
反比例函数定义；实际问题列函数式
【点评】
本题属于反比例函数章节的基础概念题，核心是考察学生对反比例函数形式的准确辨析，避免把正比例函数、一次函数误判为反比例函数，解题时只需要严格对照反比例函数的定义校验写出的函数式即可，难度较低，适合初学者巩固概念。
【难度系数】
0.9
6. 观察表格,如果$x$与$y$成正比例,那么$m$的值为
$\dfrac{16}{3}$
;如果$x$与$y$成反比例,那么$m$的值为3
.答案
当$x$与$y$成正比例时,$4:6=m:8$,解得$m=\dfrac{16}{3}$.当$x$与$y$成反比例时,$8m=4×6$,解得$m=3$.
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确正比例和反比例的核心判定规则：若两个量成正比例，它们的比值是固定不变的定值；若两个量成反比例，它们的乘积是固定不变的定值。第一步先处理正比例的情况：已知x=4对应y=6，x=m对应y=8，利用比值相等的特征列出比例式，解比例即可得到m；第二步处理反比例的情况：利用两组对应x、y的乘积相等的特征列出等式，解方程就能得到反比例下的m值。
【解析】
1. 当x与y成正比例时：
正比例关系满足$\frac{x}{y}=k$（k为定值），因此两组对应数据的比值相等，可得比例式：
$4:6 = m:8$
根据比例的基本性质“内项之积等于外项之积”，变形得：
$6m = 4×8$
$6m=32$
解得：$m=\frac{16}{3}$
2. 当x与y成反比例时：
反比例关系满足$x× y=k$（k为定值），因此两组对应数据的乘积相等，可得等式：
$8m = 4×6$
计算得：
$8m=24$
解得：$m=3$
【答案】
$\dfrac{16}{3}$；$3$
【知识点】
正比例的意义，反比例的意义，解比例
【点评】
本题是正反比例概念的基础应用题，核心是区分正比例“比值一定”、反比例“乘积一定”的本质区别，只要牢记正反比例的定义就可以快速列出对应等式求解，避免混淆两者的判定条件是解题的关键。
【难度系数】
0.75
要解决这道题，首先要明确正比例和反比例的核心判定规则：若两个量成正比例，它们的比值是固定不变的定值；若两个量成反比例，它们的乘积是固定不变的定值。第一步先处理正比例的情况：已知x=4对应y=6，x=m对应y=8，利用比值相等的特征列出比例式，解比例即可得到m；第二步处理反比例的情况：利用两组对应x、y的乘积相等的特征列出等式，解方程就能得到反比例下的m值。
【解析】
1. 当x与y成正比例时：
正比例关系满足$\frac{x}{y}=k$（k为定值），因此两组对应数据的比值相等，可得比例式：
$4:6 = m:8$
根据比例的基本性质“内项之积等于外项之积”，变形得：
$6m = 4×8$
$6m=32$
解得：$m=\frac{16}{3}$
2. 当x与y成反比例时：
反比例关系满足$x× y=k$（k为定值），因此两组对应数据的乘积相等，可得等式：
$8m = 4×6$
计算得：
$8m=24$
解得：$m=3$
【答案】
$\dfrac{16}{3}$；$3$
【知识点】
正比例的意义，反比例的意义，解比例
【点评】
本题是正反比例概念的基础应用题，核心是区分正比例“比值一定”、反比例“乘积一定”的本质区别，只要牢记正反比例的定义就可以快速列出对应等式求解，避免混淆两者的判定条件是解题的关键。
【难度系数】
0.75
7. 已知 $y$ 与 $x$ 之间的函数表达式为 $y=(5m-3)x^{2-n}+(n+m)$. 请求出在下列情况中,$m,n$ 满足的条件：
（1）该函数为一次函数.
（2）该函数为正比例函数.
（3）该函数为反比例函数.
（1）该函数为一次函数.
（2）该函数为正比例函数.
（3）该函数为反比例函数.
答案
(1) 当函数$y=(5m-3)x^{2-n}+(n+m)$为一次函数时,
$\begin{cases}2-n=1,\\5m-3≠0,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}n=1,\\m≠\dfrac{3}{5}.\end{cases}$
(2) 当函数$y=(5m-3)· x^{2-n}+(n+m)$为正比例函数时,$\begin{cases}2-n=1,\\n+m=0,\\5m-3≠0,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}n=1,\\m=-1.\end{cases}$
(3) 当函数$y=(5m-3)x^{2-n}+(n+m)$为反比例函数时,
$\begin{cases}2-n=-1,\\n+m=0,\\5m-3≠0,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}n=3,\\m=-3.\end{cases}$
$\begin{cases}2-n=1,\\5m-3≠0,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}n=1,\\m≠\dfrac{3}{5}.\end{cases}$
(2) 当函数$y=(5m-3)· x^{2-n}+(n+m)$为正比例函数时,$\begin{cases}2-n=1,\\n+m=0,\\5m-3≠0,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}n=1,\\m=-1.\end{cases}$
(3) 当函数$y=(5m-3)x^{2-n}+(n+m)$为反比例函数时,
$\begin{cases}2-n=-1,\\n+m=0,\\5m-3≠0,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}n=3,\\m=-3.\end{cases}$
解析
【分析】
我们可以从三类特殊函数的定义出发，逐步推导参数需要满足的条件：
1. 先回忆一次函数的标准形式是$y=kx+b$（$k≠0$），对应题目给出的函数，首先要让$x$的指数等于1，同时$x$的系数不能为0，列出对应的方程和不等式就能解出第一问的条件。
2. 正比例函数是特殊的一次函数，它的标准形式是$y=kx$（$k≠0$），除了满足一次函数的$x$指数为1、系数不为0之外，还需要常数项等于0，联立所有条件求解即可。
3. 反比例函数的标准形式是$y=\frac{k}{x}$也就是$y=kx^{-1}$（$k≠0$），因此需要$x$的指数等于-1，常数项等于0，同时$x$的系数不为0，联立条件求解就能得到第三问的结果。解题时要注意不能遗漏“自变量的系数不为0”这个隐含限制，避免出错。
【解析】
（1）当函数为一次函数时：
一次函数要求自变量$x$的次数为1，且一次项系数不为0，因此列条件：
$\begin{cases}2-n=1\\5m-3≠0\end{cases}$
解第一个方程得$n=1$，解不等式得$m≠\frac{3}{5}$。
（2）当函数为正比例函数时：
正比例函数是特殊的一次函数，除了满足一次函数的要求外，还要求常数项为0，因此列条件：
$\begin{cases}2-n=1\\n+m=0\\5m-3≠0\end{cases}$
由第一个方程得$n=1$，代入第二个方程得$1+m=0$，即$m=-1$，此时$5m-3=-8≠0$，满足第三个条件。
（3）当函数为反比例函数时：
反比例函数的标准形式为$y=kx^{-1}(k≠0)$，因此要求$x$的次数为-1，常数项为0，且系数不为0，列条件：
$\begin{cases}2-n=-1\\n+m=0\\5m-3≠0\end{cases}$
由第一个方程得$n=3$，代入第二个方程得$3+m=0$，即$m=-3$，此时$5m-3=-18≠0$，满足第三个条件。
【答案】
(1) $\begin{cases}n=1,\\m≠\dfrac{3}{5}\end{cases}$
(2) $\begin{cases}n=1,\\m=-1\end{cases}$
(3) $\begin{cases}n=3,\\m=-3\end{cases}$
【知识点】
一次函数定义，正比例函数定义，反比例函数定义
【点评】
本题重点考察三类基础特殊函数的定义辨析，核心易错点是容易忽略“函数自变量的系数不能为0”这个隐含限制条件，解题时只需要严格对应各类函数的标准形式，把指数、系数、常数项的要求全部转化为方程/不等式联立求解，就可以得到正确结果。
【难度系数】
0.7
我们可以从三类特殊函数的定义出发，逐步推导参数需要满足的条件：
1. 先回忆一次函数的标准形式是$y=kx+b$（$k≠0$），对应题目给出的函数，首先要让$x$的指数等于1，同时$x$的系数不能为0，列出对应的方程和不等式就能解出第一问的条件。
2. 正比例函数是特殊的一次函数，它的标准形式是$y=kx$（$k≠0$），除了满足一次函数的$x$指数为1、系数不为0之外，还需要常数项等于0，联立所有条件求解即可。
3. 反比例函数的标准形式是$y=\frac{k}{x}$也就是$y=kx^{-1}$（$k≠0$），因此需要$x$的指数等于-1，常数项等于0，同时$x$的系数不为0，联立条件求解就能得到第三问的结果。解题时要注意不能遗漏“自变量的系数不为0”这个隐含限制，避免出错。
【解析】
（1）当函数为一次函数时：
一次函数要求自变量$x$的次数为1，且一次项系数不为0，因此列条件：
$\begin{cases}2-n=1\\5m-3≠0\end{cases}$
解第一个方程得$n=1$，解不等式得$m≠\frac{3}{5}$。
（2）当函数为正比例函数时：
正比例函数是特殊的一次函数，除了满足一次函数的要求外，还要求常数项为0，因此列条件：
$\begin{cases}2-n=1\\n+m=0\\5m-3≠0\end{cases}$
由第一个方程得$n=1$，代入第二个方程得$1+m=0$，即$m=-1$，此时$5m-3=-8≠0$，满足第三个条件。
（3）当函数为反比例函数时：
反比例函数的标准形式为$y=kx^{-1}(k≠0)$，因此要求$x$的次数为-1，常数项为0，且系数不为0，列条件：
$\begin{cases}2-n=-1\\n+m=0\\5m-3≠0\end{cases}$
由第一个方程得$n=3$，代入第二个方程得$3+m=0$，即$m=-3$，此时$5m-3=-18≠0$，满足第三个条件。
【答案】
(1) $\begin{cases}n=1,\\m≠\dfrac{3}{5}\end{cases}$
(2) $\begin{cases}n=1,\\m=-1\end{cases}$
(3) $\begin{cases}n=3,\\m=-3\end{cases}$
【知识点】
一次函数定义，正比例函数定义，反比例函数定义
【点评】
本题重点考察三类基础特殊函数的定义辨析，核心易错点是容易忽略“函数自变量的系数不能为0”这个隐含限制条件，解题时只需要严格对应各类函数的标准形式，把指数、系数、常数项的要求全部转化为方程/不等式联立求解，就可以得到正确结果。
【难度系数】
0.7
