7. 如图,将$\overset{\frown}{BC}$沿弦$BC$翻折,交直径$AB$于点$D$.若$AD=2,BD=3$,则$BC$的长为 （）


A.$2\sqrt{3}$
B.$2\sqrt{5}$
C.$4$
D.$5$
上分秘籍

连接AC,CD,过点C作CE⊥AD于点E. 因为$\overset{\frown}{BDC}=\overset{\frown}{BD}+\overset{\frown}{CD}$,所以∠BAC=∠BCD+∠CBD. 又∠ADC=∠BCD+∠CBD,所以∠BAC=∠ADC,所以AC=CD. 因为AD=2,所以AE=DE=$\frac{1}{2}$AD=1. 因为BD=3,所以BE=BD+DE=4,AB=AD+BD=5. 因为AB是直径,所以∠ACB=90°,所以AC²+BC²=AB². 又AC²=CE²+AE²,BC²=CE²+BE²,所以2CE²+AE²+BE²=AB²,即2CE²+1²+4²=5²,解得CE=2,所以BC²=20,所以BC=2$\sqrt{5}$.

8. 如图①,$AB$是$\odot O$的直径,且$AB=10$,$C$是$\odot O$上的动点,$AC$是弦,直线$EF$和$\odot O$相切于点$C$,$AD ⊥ EF$,垂足为$D$.
(1) 求证:$∠ DAC=∠ BAC$;
(2) 若$AD$和$\odot O$相切于点$A$,则$AD$的长为;
(3) 如图②,若把直线$EF$向上平移,$EF$交$\odot O$于$G$,$C$两点,题中其他条件不变,这时与$∠ DAC$相等的角是否存在?若存在,找出相等的角并说明理由;若不存在,请说明理由.

(1) 连接OC. 因为OA=OC,所以∠OCA=∠BAC. 因为直线EF和⊙O相切于点C,所以OC⊥EF. 因为AD⊥EF,所以OC//AD,所以∠OCA=∠DAC,所以∠DAC=∠BAC.
(2) 5 解析: 因为OC⊥EF,AD⊥EF,所以∠OCD=∠ADC=90°. 因为AD和⊙O相切于点A,所以OA⊥AD,所以∠OAD=90°,所以四边形OADC为矩形,所以AD=OC=$\frac{1}{2}$AB. 因为AB=10,所以AD=5.
(3) ∠BAG=∠DAC. 理由如下:连接BC. 因为AB是⊙O的直径,所以∠BCA=90°,所以∠BCG+∠ACD=180°−∠BCA=90°. 因为AD⊥EF,所以∠ADC=90°,所以∠DAC+∠ACD=90°,所以∠BCG=∠DAC. 因为∠BCG=∠BAG,所以∠BAG=∠DAC.

9. 新素养 几何直观 如图，在$△ ABE$中，$∠ ABE=90°$，点$D$在边$BE$上，以$DE$为直径作$\odot O$，交边$AE$于点$C$，$BC$为切线，且$C$为切点，连接$CD$. 若$CA=CD$，则$△ ABC$和$△ CDE$面积的比值为（）

A.$\dfrac{1}{3}$
B.$\dfrac{1}{2}$
C.$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
D.$\sqrt{2}-1$

连接OC. 因为BC为⊙O的切线,所以OC⊥BC,所以∠OCB=90°,所以∠OCD+∠BCD=90°. 因为DE为⊙O的直径,所以∠DCE=90°,所以∠ACD=180°−∠DCE=90°,所以∠BCA+∠BCD=90°,所以∠BCA=∠OCD. 因为∠ABE=90°,所以∠A+∠E=90°. 因为∠CDO+∠E=90°,所以∠A=∠CDO. 在△ABC和△DOC中,
$\begin{cases}∠A=∠CDO,\\CA=CD,\\∠BCA=∠OCD,\end{cases}$
所以△ABC≌△DOC,所以$S_{△ABC}=S_{△DOC}$. 因为$S_{△DOC}=\frac{1}{2}S_{△CDE}$,所以$S_{△ABC}=\frac{1}{2}S_{△CDE}$,所以△ABC与△CDE面积的比值为$\frac{1}{2}$.

10. (2025·江苏南京一模) 如图, 在 $△ ABC$ 中,
$AB=8, BC=5, AC=7, \odot O$ 分别与直线$AB, BC, AC$ 相切于点 $D, E, F$, 则点 $A$ 到圆心 $O$ 的距离为.

连接OA,OB,OC,OD,OE,OF,过点A作AH⊥BC于点H,则∠AHB=∠AHC=90°,所以AH²+BH²=AB²,AH²+CH²=AC²,所以AB²−BH²=AC²−CH². 设BH=x. 因为BC=5,所以CH=BC−BH=5−x. 因为AB=8,AC=7,所以8²−x²=7²−(5−x)²,解得x=4,所以BH=4,所以AH=$\sqrt{AB^2-BH^2}=4\sqrt{3}$,所以$S_{△ABC}=\frac{1}{2}BC·AH=10\sqrt{3}$. 因为⊙O分别与直线AB,BC,AC相切于点D,E,F,所以AD=AF,BD=BE,CF=CE,所以AD+AF=AB+BD+AC+CF=AB+BE+AC+CE=AB+AC+BC=20,所以AD=AF=10. 设⊙O的半径为r,则OD=OE=OF=r,所以$S_{四边形ADOF}=S_{△ADO}+S_{△AFO}=\frac{1}{2}AD·OD+\frac{1}{2}AF·OF=10r$,$S_{五边形BCFOD}=S_{△BOD}+S_{△COF}+S_{△BOC}=\frac{1}{2}BD·OD+\frac{1}{2}CF·OF+\frac{1}{2}BC·OE=\frac{1}{2}BE·OE+\frac{1}{2}CE·OE+\frac{1}{2}BC·OE=\frac{1}{2}BC·OE+\frac{1}{2}BC·OE=BC·OE=5r$. 因为$S_{四边形ADOF}=S_{△ABC}+S_{五边形BCFOD}$,所以10r=10$\sqrt{3}$+5r,解得r=2$\sqrt{3}$,所以OD=2$\sqrt{3}$,所以OA=$\sqrt{AD^2+OD^2}=4\sqrt{7}$.

11. 如图, $PA,PB$ 是 $\odot O$ 的切线,切点分别为
$A,B,C$ 为 $\overgroup{AB}$ 上任意一点, $∠ AOC=∠ P$.
(1) 求证:$BC// AO$;
(2) 若 $BC=10,AO=13$,求 $PA$ 的长.

(1) 如图,连接BO,延长AO交⊙O于点D. 因为PA,PB是⊙O的切线,所以PA⊥OA,PB⊥OB,所以∠OAP=∠OBP=90°,所以∠AOB+∠P=360°−∠OAP−∠OBP=180°. 因为∠AOB+∠BOD=180°,所以∠BOD=∠P. 因为∠AOC=∠P,所以∠AOC=∠BOD,所以∠COB+2∠AOC=180°. 因为OC=OB,所以∠CBO=∠BCO,所以∠COB+2∠BCO=180°,所以∠AOC=∠BCO,所以BC//AO.

(2) 如图,延长BC交PA于点E,过点O作OF⊥BC于点F,则∠OFC=90°. 因为BC=10,CO=BO=AO=13,所以BF=CF=$\frac{1}{2}$BC=5,所以FO=$\sqrt{CO^2-CF^2}=12$. 因为∠OAP=90°,BC//AO,所以∠AEF=180°−∠OAP=90°,∠PEB=∠OAP=90°,所以四边形AOFE是矩形,所以AE=FO=12,EF=AO=13. 因为PA,PB是⊙O的切线,所以PA=PB. 设PA=PB=x,则PE=PA−AE=x−12. 因为BE=BF+EF=18,PB²=PE²+BE²,所以x²=(x−12)²+18²,解得x=$\frac{39}{2}$,所以PA的长为$\frac{39}{2}$.