1. 如图，点 $A,B,C,D$ 在 $\odot O$ 上，$BO// CD,∠ A=25°$，则 $∠ O$ 的度数为（）

A.$120°$
B.$130°$
C.$100°$
D.$125°$

连接OC. 因为∠A=25°,所以∠BOC=2∠A=50°. 因为BO//CD,所以∠OCD=∠BOC=50°. 因为OC=OD,所以∠ODC=∠OCD=50°,所以∠BOD=180°−∠ODC=130°.

2. 如图，$△ ABC$ 是$\odot O$ 的内接三角形，$∠ C = 30°$，$\odot O$ 的半径为 2. 若 $P$ 是$\odot O$ 上的一点，且 $PB = AB$，则 $PA$ 的长为（）

A.$2\sqrt{2}$
B.$2\sqrt{3}$
C.$\sqrt{3}$
D.$2$

连接OA,OB,OP,设OB与AP交于点H. 因为PB=AB,所以∠POB=∠AOB. 因为OA=OP,所以OH⊥PA,所以PH=$\frac{1}{2}$PA. 因为∠C=30°,所以∠AOB=2∠C=60°. 因为OA=OB,所以△OAB为等边三角形,所以PB=AB=OA=2. 因为∠APB=∠C=30°,所以BH=$\frac{1}{2}$PB=1,所以PH=$\sqrt{PB^2-BH^2}=\sqrt{3}$,所以PA=2PH=$2\sqrt{3}$.

3. 新素养 推理能力 如图，$\odot O$是$\mathrm{Rt}△ ABC$的外接圆，直径$AC=4$，过点$C$作$\odot O$的切线，与$AB$的延长线交于点$D$，$M$为$CD$的中点，连接$BM$，$OM$，且$BC$与$OM$相交于点$N$.
(1) 求证:直线$BM$与$\odot O$相切；
(2) 当$∠ BAC=60°$时，在$\odot O$上取点$F$，使$∠ ABF=15°$，补全图形，并求点$F$到直线$AB$的距离.

(1) 连接OB. 因为AC是⊙O的直径,所以∠ABC=90°,所以∠CBD=180°−∠ABC=90°. 因为M为CD的中点,所以BM=CM=$\frac{1}{2}$CD,所以∠MBC=∠MCB. 因为CD与⊙O相切于点C,所以AC⊥CD,所以∠ACD=90°,所以∠OCB+∠MCB=90°,所以∠OCB+∠MBC=90°. 因为OB=OC,所以∠OBC=∠OCB,所以∠OBC+∠MBC=90°,所以∠OBM=90°,即OB⊥BM. 因为OB是⊙O的半径,所以直线BM与⊙O相切.
(2) 如图,分类讨论如下:① 连接OF₁交AB于点G. 因为∠ABF₁=15°,所以∠AOF₁=2∠ABF₁=30°. 因为∠BAC=60°,所以∠BAC+∠AOF₁=90°,所以∠OGA=90°,所以OF₁⊥AB. 因为AC=4,所以OF₁=OA=$\frac{1}{2}$AC=2,所以AG=$\frac{1}{2}$OA=1,所以OG=$\sqrt{OA^2-AG^2}=\sqrt{3}$,所以F₁G=OF₁−OG=2−$\sqrt{3}$;② 连接OF₂,过点F₂作F₂P⊥OF₁于点P,F₂Q⊥AB交BA的延长线于点Q,则∠F₂PF₁=∠Q=∠OGA=90°,所以四边形F₂PGQ为矩形,所以F₂Q=PG. 因为∠ABF₂=15°,所以∠AOF₂=2∠ABF₂=30°,所以∠POF₂=∠AOF₁+∠AOF₂=60°,所以∠OF₂P=90°−∠POF₂=30°. 因为OF₂=2,所以OP=$\frac{1}{2}$OF₂=1,所以F₂Q=PG=OG−OP=$\sqrt{3}-1$. 综上所述,点F到直线AB的距离为2−$\sqrt{3}$或$\sqrt{3}-1$.

4. 如图,在$\odot O$中,直径$AB = 8$,弦$CD$经过$OA$的中点$P$,则$PC^{2} + PD^{2}$的最小值为（）

A.12
B.24
C.36
D.40

如图,连接OC,过点O作OE⊥CD于点E,则CE=DE,∠OEC=∠OED=90°. 因为AB=8,所以OA=OC=$\frac{1}{2}$AB=4,所以CE²=OC²−OE²=16−OE². 因为P是OA的中点,所以OP=$\frac{1}{2}$OA=2,所以PE²=OP²−OE²=4−OE²,所以PC²+PD²=(CE+PE)²+(DE−PE)²=(CE+PE)²+(CE−PE)²=2(CE²+PE²)=40−4OE²,所以当OE的长取最大值时,PC²+PD²取最小值. 结合图形可知,当点E与点P重合时,OE的长取最大值,且最大值即为OP的长,所以PC²+PD²的最小值为40−4×2²=24.

5. (2025·江苏徐州一模) 如图, 四边形 $ABCD$ 是半径为 1 的 $\odot O$ 的内接四边形, 对角线 $AC$, $BD$ 交于点 $P,∠ BAC+∠ ACD=∠ CAD+$ $∠ ACB$, 则当 $5 ≤ A C^2+B D^2 ≤ 6$ 时, $O P$ 长的取值范围为.

如图,连接OA,OD,过点O作OM⊥AC于点M,ON⊥BD于点N,则∠OMA=∠OMP=∠ONP=∠OND=90°,AM=$\frac{1}{2}$AC,DN=$\frac{1}{2}$BD. 因为∠ABD=∠ACD,∠ACB=∠ADB,所以∠BAC+∠ACD=∠BAC+∠ABD,∠CAD+∠ACB=∠CAD+∠ADB. 因为∠BAC+∠ACD=∠CAD+∠ACB,所以∠BAC+∠ABD=∠CAD+∠ADB. 因为∠APD=∠BAC+∠ABD,∠APB=∠CAD+∠ADB,所以∠APD=∠APB. 因为∠APD+∠APB=180°,所以∠APD=90°,所以四边形OMPN是矩形,所以OM=PN. 因为⊙O的半径为1,所以OA=OD=1,所以PN²=OM²=OA²−AM²=1−$\frac{1}{4}$AC²,ON²=OD²−DN²=1−$\frac{1}{4}$BD²,所以OP²=PN²+ON²=2−$\frac{1}{4}(AC^2+BD^2)$. 因为5≤AC²+BD²≤6,所以$\frac{1}{2} ≤ OP^2 ≤ \frac{3}{4}$,所以$\frac{\sqrt{2}}{2} ≤ OP ≤ \frac{\sqrt{3}}{2}$. 故OP长的取值范围为$\frac{\sqrt{2}}{2} ≤ OP ≤ \frac{\sqrt{3}}{2}$.

6. 如图,点 $P$ 在 $\odot O$ 的直径 $AB$ 上,作正方形$PCDE$ 和正方形 $PFGH$,其中点 $D,G$ 在直径$AB$ 所在直线上,点 $C,E,F,H$ 都在 $\odot O$上. 若这两个正方形的面积之和为 $18,OP=$$\sqrt{2}$,求 $\odot O$ 的半径.

由题意,易得C,P,F三点共线. 连接OC,过点O作OM⊥CF于点M,则∠OMC=∠OMP=90°,CM=FM. 因为四边形PCDE为正方形,所以∠CPD=45°,所以∠POM=90°−∠CPD=45°,所以∠CPD=∠POM,所以OM=PM,所以OP=$\sqrt{OM^2+PM^2}=\sqrt{2}PM$. 因为OP=$\sqrt{2}$,所以OM=PM=$\frac{\sqrt{2}}{2}OP=1$. 设PF=x,则CM=FM=PF+PM=x+1,所以CP=CM+PM=x+2. 因为这两个正方形的面积之和为18,所以CP²+PF²=18,所以(x+2)²+x²=18,解得x=2$\sqrt{2}$−1(负值舍去),所以CM=2$\sqrt{2}$,所以OC=$\sqrt{OM^2+CM^2}=3$. 故⊙O的半径为3.