10. (2025·江苏徐州二模)如图,BC是$\odot O$的直径,半径$OA ⊥ BC$,点D在劣弧AC上(不与点A,C重合),BD与OA交于点E.设$∠ AED= α$,$∠ AOD= β$,则$α$与$β$之间的数量关系为（）

A.$3α+β=180°$
B.$2α+β=180°$
C.$3α-β=90°$
D.$2α-β=90°$

10. D 解析:因为$∠AED=α$,所以$∠BEO=∠AED=α$. 因为$OA⊥BC$,所以$∠BOA=∠COA=90°$,所以$∠CBD=90°-∠BEO=90°-α$,所以$∠COD=2∠CBD=180°-2α$. 因为$∠COD + ∠AOD = ∠COA$,所以$180°-2α+β=90°$,所以$2α-β=90°$.

11. (2023·湖北随州) 如图，在$\odot O$中，$OA ⊥$$BC$，$∠ AOB=60^{ \circ }$，则$∠ ADC=$.

11. 30° 解析:连接OC. 因为$OA⊥BC$,所以$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$,所以$∠AOC = ∠AOB = 60°$, 所以$∠ADC = \frac{1}{2}∠AOC=30°$.

12. 如图,点 A,B,C 在$\odot O$上,四边形 OABC 是平行四边形,$OD ⊥ AB$交$\odot O$于点 D,则$∠ BAD=$.

12. 15° 解析:连接OB. 因为四边形OABC是平行四边形,所以OC=AB. 因为OC=OA=OB,所以AB=OA=OB,所以△OAB是等边三角形,所以$∠AOB=60°$. 因为$OD⊥AB$,所以$∠BOD=\frac{1}{2}∠AOB=30°$,所以$∠BAD=\frac{1}{2}∠BOD=15°$.

13. 新素养 几何直观 如图,在平面直角坐标系中,$O$是原点,$\odot P$与$x$轴交于$A(-5,0)$,$B(1,0)$两点,与$y$轴的正半轴交于点$C$.若$∠ ACB=60°$,则点$C$的纵坐标为.

13. $\sqrt{3}+2\sqrt{2}$ 解析:如图,连接PA,PB,PC,过点P分别作$PD⊥AB$于点D,$PE⊥OC$于点E,则$∠PDO=∠PEO=∠PEC=90°$,$BD=\frac{1}{2}AB$. 因为$A(-5,0)$,$B(1,0)$,所以$OA=5$,$OB=1$,所以$AB=OA+OB=6$,所以$BD=3$,所以$OD=BD-OB=2$. 因为$∠ACB=60°$,所以$∠APB=2∠ACB=120°$. 因为$PA=PB$,所以$∠PAB = ∠PBA = \frac{1}{2}（180°-∠APB）=30°$,所以$PB=2PD$. 设$PD=x$,则$PB=2x$,所以$BD=\sqrt{PB^2-PD^2}=\sqrt{3}x$,所以$\sqrt{3}x=3$,解得$x=\sqrt{3}$,所以$PD=\sqrt{3}$,$PC=PB=2\sqrt{3}$. 因为$∠DOE=90°$,所以四边形ODPE是矩形,所以$OE = PD = \sqrt{3}$,$PE = OD = 2$, 所以 $CE = \sqrt{PC^2-PE^2}=2\sqrt{2}$,所以$OC=OE+CE=\sqrt{3}+2\sqrt{2}$,所以点C的纵坐标为$\sqrt{3}+2\sqrt{2}$.

14. 已知$\odot O$的半径为2,弦$AB=2\sqrt{2}$,弦$AC=$$2\sqrt{3}$,求$∠ BOC$的度数.

14. 连接OA,过点O分别作$OD⊥AB$于点D,$OE⊥AC$于点E,则$∠ODA = ∠OEA = 90°$,$AD = \frac{1}{2} AB$,$AE=\frac{1}{2}AC$. 因为$AB=2\sqrt{2}$,$AC=2\sqrt{3}$,所以$AD=\sqrt{2}$,$AE=\sqrt{3}$. 因为$\odot O$的半径为2,所以$OA=2$,所以$OD=\sqrt{OA^2-AD^2}=\sqrt{2}$,$OE=\sqrt{OA^2-AE^2}=1$,所以$OD=AD$,$OE=\frac{1}{2}OA$,所以$∠OAD=∠AOD=\frac{1}{2}(180°-∠ODA)=45°$,$∠OAE=30°$. 分类讨论如下:① 如图①,当圆心O在$∠BAC$内部时,$∠BAC=∠OAD+∠OAE = 75°$,所以$∠BOC = 2∠BAC=150°$;② 如图②,当圆心O在$∠BAC$外部时,$∠BAC=∠OAD - ∠OAE = 15°$,所以$∠BOC = 2∠BAC = 30°$. 综上所述,$∠BOC$ 的度数为 $150°$或 $30°$.
易错警示:当题干中未给出明确的示意图时,解答时需考虑可能出现的所有情况.

15. 如图,$△ ABC$是$\odot O$的内接三角形,$∠ A=30^{\circ }$,$BC=\sqrt {2}$,把$△ ABC$绕点$O$按逆时针方向旋转$90^{\circ }$得到$△ BED$,则对应点$C,D$之间的距离为 （）

A.$1$
B.$\sqrt {2}$
C.$\sqrt {3}$
D.$2$

15. D 解析:如图,连接OB,OC,OD,CD. 因为$∠A=30°$,所以$∠BOC=2∠A=60°$. 因为OB=OC,所以△BOC为等边三角形,所以$OD=OC=BC=\sqrt{2}$. 由旋转的性质,得$∠COD=90°$,所以$CD=\sqrt{OD^2+OC^2}=2$.

16. 如图,以$AB$为直径的半圆沿弦$BC$折叠后,
$AB$与$\overset{\frown}{CB}$相交于点$D$.若$\overset{\frown}{CD}=\dfrac{1}{3}\overset{\frown}{BD}$,则
$∠ ABC$的度数为.

16. 18° 解析:如图,取$A'B$的中点$O'$,连接$O'C$,$O'D$,则$O'$即为半圆的圆心. 由折叠的性质,得$∠ABC=∠A'BC$. 因为$∠CO'D=2∠ABC$,$∠A'O'C=2∠A'BC$,所以$∠CO'D = ∠A'O'C$,所以$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{A'C}$. 因为$\overset{\frown}{CD}=\frac{1}{3}\overset{\frown}{BD}$,所以$\overset{\frown}{CD}=\frac{1}{5}\overset{\frown}{A'B}$,所以$∠CO'D=\frac{1}{5}×180°=36°$,所以$∠ABC=\frac{1}{2}∠CO'D=18°$.

17. 已知在$\odot O$中,$AB$为直径,$C$为圆上一点,将劣弧$AC$沿弦$AC$翻折交$AB$于点$D$,连接$CD$.
(1) 如图①,若点$D$与圆心$O$重合,$AC=2$,求$\odot O$的半径;
(2) 如图②,若点$D$与圆心$O$不重合,$∠ BAC=25°$,求$∠ DCA$的度数.

17. (1) 过点O作$OE⊥AC$于点E,则$∠OEA=90°$,$AE=\frac{1}{2}AC$. 因为$AC=2$,所以$AE=1$. 设$\odot O$的半径为r,则$OA=r$. 因为翻折后点D与圆心O重合,所以$OE=\frac{1}{2}r$,所以$AE=\sqrt{OA^2-OE^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}r$,所以$\frac{\sqrt{3}}{2}r=1$,解得$r=\frac{2\sqrt{3}}{3}$. 故$\odot O$的半径为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$.
(2) 连接BC. 因为AB是$\odot O$的直径,所以$∠AOB=180°$,所以$∠ACB=\frac{1}{2}∠AOB=90°$. 因为$∠BAC=25°$,所以$∠B=90°-∠BAC=65°$. 由折叠的性质,得$\overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{AC}$,所以$∠DCA + ∠BAC = ∠B$,所以$∠DCA=∠B-∠BAC=40°$.