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6. 如图,在宽为 20 m、长为 38 m 的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分),余下的部分作为草坪. 要使草坪的面积为$540\ \mathrm{m}^2$,求道路的宽. 如果设道路的宽为$x\ \mathrm{m}$,根据题意,所列方程正确的是（
A.$(20-x)(38-x)=540$
B.$(20-x)(38-x)=38×20-540$
C.$(20-2x)(38-2x)=540$
D.$(20-2x)(38-2x)=38×20-540$
A
）A.$(20-x)(38-x)=540$
B.$(20-x)(38-x)=38×20-540$
C.$(20-2x)(38-2x)=540$
D.$(20-2x)(38-2x)=38×20-540$
答案
6. A 解析:
∵道路的宽为 x m,
∴作为草坪的部分可合成长为$(38-x)\mathrm{m}$、宽为$(20-x)\mathrm{m}$的矩形. 根据题意,得$(20-x)(38-x)=540$.
∵道路的宽为 x m,
∴作为草坪的部分可合成长为$(38-x)\mathrm{m}$、宽为$(20-x)\mathrm{m}$的矩形. 根据题意,得$(20-x)(38-x)=540$.
解析
【分析】
本题可通过平移法将分散的草坪拼接为规则矩形，简化面积计算。思路是：观察图形可知阴影道路等宽，将横向道路向上平移、纵向道路向左平移，余下的草坪可组合成一个新矩形，该矩形的长为原矩形长减去道路宽，宽为原矩形宽减去道路宽，结合草坪面积即可列出方程。
【解析】
设道路的宽为$x\ \mathrm{m}$，将阴影道路平移后，草坪可拼接成一个长为$(38 - x)\ \mathrm{m}$、宽为$(20 - x)\ \mathrm{m}$的矩形。根据矩形面积公式，草坪面积等于拼接后矩形的面积，因此所列方程为$(20 - x)(38 - x)=540$。
【答案】
A
【知识点】
矩形面积、平移法求面积
【点评】
本题考查几何面积问题中的平移转化技巧，将不规则图形转化为规则图形是解题关键，此类题型是初中数学常见的基础题型，需掌握平移法的应用。
【难度系数】
0.6
本题可通过平移法将分散的草坪拼接为规则矩形，简化面积计算。思路是：观察图形可知阴影道路等宽，将横向道路向上平移、纵向道路向左平移，余下的草坪可组合成一个新矩形，该矩形的长为原矩形长减去道路宽，宽为原矩形宽减去道路宽，结合草坪面积即可列出方程。
【解析】
设道路的宽为$x\ \mathrm{m}$，将阴影道路平移后，草坪可拼接成一个长为$(38 - x)\ \mathrm{m}$、宽为$(20 - x)\ \mathrm{m}$的矩形。根据矩形面积公式，草坪面积等于拼接后矩形的面积，因此所列方程为$(20 - x)(38 - x)=540$。
【答案】
A
【知识点】
矩形面积、平移法求面积
【点评】
本题考查几何面积问题中的平移转化技巧，将不规则图形转化为规则图形是解题关键，此类题型是初中数学常见的基础题型，需掌握平移法的应用。
【难度系数】
0.6
7. 有一个人患了流行性感冒,经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒,则每轮传染中平均一个人传染的人数为（
A.14
B.11
C.10
D.9
B
）A.14
B.11
C.10
D.9
答案
7. B 解析:设每轮传染中平均一个人传染了 x 人. 根据题意,得$1+x+x(1+x)=144$,整理,得$(1+x)^2=144$,解得$x_1=11$,$x_2=-13$(不符合题意,舍去).故每轮传染中平均一个人传染的人数为 11.
解析
【分析】
这是一道一元二次方程应用的传染问题，解题思路为：先设每轮传染中平均一人传染$ x $人，第一轮传染后总人数为初始1人加上被传染的$ x $人，即$ 1+x $；第二轮传染时，所有第一轮患病的人（共$ 1+x $个）每人再传染$ x $人，因此新增人数为$ x(1+x) $，两轮后总人数为$ 1+x + x(1+x) $，等于144，据此列方程求解，最后舍去不符合实际意义的负数解。
【解析】
设每轮传染中平均一个人传染了$ x $人。
第一轮传染后，患病总人数为：$ 1 + x $；
第二轮传染中，传染源为第一轮患病的$ (1+x) $人，每人传染$ x $人，新增患病人数为$ x(1+x) $，因此两轮后总患病人数为：$ (1+x) + x(1+x) = (1+x)^2 $；
根据题意列方程：$ (1+x)^2 = 144 $；
解方程得：$ 1+x = \pm12 $，
由于传染人数不能为负数，舍去$ 1+x = -12 $（对应$ x=-13 $，不符合题意），
取$ 1+x = 12 $，解得$ x = 11 $。
故每轮传染中平均一个人传染的人数为11。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的应用（传染问题）
【点评】
本题是一元二次方程在实际生活中的典型应用，重点考查对传染问题人数增长规律的理解，需注意舍去不符合实际意义的解，属于基础应用题，难度适中。
【难度系数】
0.7
这是一道一元二次方程应用的传染问题，解题思路为：先设每轮传染中平均一人传染$ x $人，第一轮传染后总人数为初始1人加上被传染的$ x $人，即$ 1+x $；第二轮传染时，所有第一轮患病的人（共$ 1+x $个）每人再传染$ x $人，因此新增人数为$ x(1+x) $，两轮后总人数为$ 1+x + x(1+x) $，等于144，据此列方程求解，最后舍去不符合实际意义的负数解。
【解析】
设每轮传染中平均一个人传染了$ x $人。
第一轮传染后，患病总人数为：$ 1 + x $；
第二轮传染中，传染源为第一轮患病的$ (1+x) $人，每人传染$ x $人，新增患病人数为$ x(1+x) $，因此两轮后总患病人数为：$ (1+x) + x(1+x) = (1+x)^2 $；
根据题意列方程：$ (1+x)^2 = 144 $；
解方程得：$ 1+x = \pm12 $，
由于传染人数不能为负数，舍去$ 1+x = -12 $（对应$ x=-13 $，不符合题意），
取$ 1+x = 12 $，解得$ x = 11 $。
故每轮传染中平均一个人传染的人数为11。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的应用（传染问题）
【点评】
本题是一元二次方程在实际生活中的典型应用，重点考查对传染问题人数增长规律的理解，需注意舍去不符合实际意义的解，属于基础应用题，难度适中。
【难度系数】
0.7
8. 如图是一张长为12 cm、宽为10 cm的矩形铁皮,将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形,剩余部分(阴影部分)可制成底面积是$24\ \mathrm{cm}^{2}$的有盖的长方体铁盒,则剪去的正方形的边长为
2
cm.答案
8. 2 解析:设底面长为 a cm,宽为 b cm,剪去的正方形的边长为 x cm. 根据题意,得$a=10-2x$,$b=\frac{1}{2}(12-2x)=6-x$,代入$ab=24$,得$(10-2x)(6-x)=24$,整理,得$x^2-11x+18=0$,解得$x_1=2$,$x_2=9$(不符合题意,舍去),
∴剪去的正方形的边长为 2 cm.
∴剪去的正方形的边长为 2 cm.
解析
【分析】
要解决这个问题，我们先设剪去的正方形边长为未知数，再结合图形尺寸关系推导出长方体铁盒底面的长和宽的表达式，根据底面积为24 cm²列出一元二次方程，解方程后舍去不符合实际意义的解，即可得到结果。
【解析】
设剪去的正方形的边长为$x\ \mathrm{cm}$，制成的长方体铁盒底面的长为$a\ \mathrm{cm}$，宽为$b\ \mathrm{cm}$。
根据图形的尺寸关系：
1. 矩形铁皮的宽为10 cm，左右各剪去一个正方形的边长，因此底面的长$a = 10 - 2x$；
2. 矩形铁皮的长为12 cm，上下剪去两个正方形后，剩余部分的一半为底面的宽，因此底面的宽$b = \frac{12 - 2x}{2} = 6 - x$。
已知底面面积为$24\ \mathrm{cm}^2$，根据长方形面积公式$ab = 24$，代入得：
$(10 - 2x)(6 - x) = 24$
展开并整理方程：
$60 - 22x + 2x^2 = 24 \x^2 - 11x + 18 = 0$
因式分解得：$(x - 2)(x - 9) = 0$，解得$x_1 = 2$，$x_2 = 9$。
结合实际意义，当$x = 9$时，底面的长$10 - 2×9 = -8\ \mathrm{cm}$（为负数，不符合实际），故舍去$x_2 = 9$。
因此剪去的正方形的边长为$2\ \mathrm{cm}$。
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程的应用；长方体底面积计算
【点评】
本题是一元二次方程在实际问题中的典型应用，核心是结合图形推导底面长和宽的表达式，解方程后需根据实际意义舍去不合理的解，考查学生的图形分析和方程求解能力。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，我们先设剪去的正方形边长为未知数，再结合图形尺寸关系推导出长方体铁盒底面的长和宽的表达式，根据底面积为24 cm²列出一元二次方程，解方程后舍去不符合实际意义的解，即可得到结果。
【解析】
设剪去的正方形的边长为$x\ \mathrm{cm}$，制成的长方体铁盒底面的长为$a\ \mathrm{cm}$，宽为$b\ \mathrm{cm}$。
根据图形的尺寸关系：
1. 矩形铁皮的宽为10 cm，左右各剪去一个正方形的边长，因此底面的长$a = 10 - 2x$；
2. 矩形铁皮的长为12 cm，上下剪去两个正方形后，剩余部分的一半为底面的宽，因此底面的宽$b = \frac{12 - 2x}{2} = 6 - x$。
已知底面面积为$24\ \mathrm{cm}^2$，根据长方形面积公式$ab = 24$，代入得：
$(10 - 2x)(6 - x) = 24$
展开并整理方程：
$60 - 22x + 2x^2 = 24 \x^2 - 11x + 18 = 0$
因式分解得：$(x - 2)(x - 9) = 0$，解得$x_1 = 2$，$x_2 = 9$。
结合实际意义，当$x = 9$时，底面的长$10 - 2×9 = -8\ \mathrm{cm}$（为负数，不符合实际），故舍去$x_2 = 9$。
因此剪去的正方形的边长为$2\ \mathrm{cm}$。
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程的应用；长方体底面积计算
【点评】
本题是一元二次方程在实际问题中的典型应用，核心是结合图形推导底面长和宽的表达式，解方程后需根据实际意义舍去不合理的解，考查学生的图形分析和方程求解能力。
【难度系数】
0.5
9. 某单位要修建一个长方形的活动区（图中阴影部分），根据规划，活动区的长和宽分别为 20 m 和 16 m，同时要在它四周外围修建宽度相等的小路. 已知活动区和小路的总面积为 $480\ \mathrm{m^2}$.
(1)求小路的宽度.
(2)某建筑公司希望承包这项工程，报价 50 万元，该单位认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以 32 万元达成一致. 若两次降价的百分比相同，求每次降价的百分比.
(1)求小路的宽度.
(2)某建筑公司希望承包这项工程，报价 50 万元，该单位认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以 32 万元达成一致. 若两次降价的百分比相同，求每次降价的百分比.
答案
9. (1)设小路的宽度是 x m. 根据题意,得$(20+2x)(16+2x)=480$,整理,得$x^2+18x-40=0$,解得$x_1=2$,$x_2=-20$(不符合题意,舍去).答:小路的宽度为 2 m.
(2)设每次降价的百分比为 y. 根据题意,得$50(1-y)^2=32$,解得$y_1=0.2=20\%$,$y_2=1.8$(不符合题意,舍去).答:每次降价的百分比为 20%.
(2)设每次降价的百分比为 y. 根据题意,得$50(1-y)^2=32$,解得$y_1=0.2=20\%$,$y_2=1.8$(不符合题意,舍去).答:每次降价的百分比为 20%.
解析
【分析】
第(1)问：要计算小路宽度，需先确定活动区与小路组成的大长方形的长和宽。由于小路宽度为$x\ \mathrm{m}$，大长方形的长为活动区长加左右两侧小路宽度，即$(20+2x)\ \mathrm{m}$；宽为活动区宽加上下两侧小路宽度，即$(16+2x)\ \mathrm{m}$。根据总面积为$480\ \mathrm{m}^2$列方程，再舍去不符合实际意义的解。
第(2)问：两次降价百分比相同，设为$y$，第一次降价后价格为$50(1-y)$万元，第二次降价后价格为$50(1-y)^2$万元，结合最终价格32万元列方程，舍去不合理的解（降价百分比不超过100%）。
【解析】
(1)设小路的宽度是$x\ \mathrm{m}$。
活动区和小路组成的大长方形长为$(20+2x)\ \mathrm{m}$，宽为$(16+2x)\ \mathrm{m}$，根据总面积列方程：
$(20+2x)(16+2x)=480$
整理得：$x^2+18x-40=0$
解得：$x_1=2$，$x_2=-20$（宽度不能为负，舍去）。
答：小路的宽度为$2\ \mathrm{m}$。
(2)设每次降价的百分比为$y$，根据两次降价后价格为32万元列方程：
$50(1-y)^2=32$
解得：$y_1=0.2=20\%$，$y_2=1.8$（降价百分比不能超过100%，舍去）。
答：每次降价的百分比为$20\%$。
【答案】
(1)小路的宽度为$2\ \mathrm{m}$；(2)每次降价的百分比为$20\%$
【知识点】
一元二次方程的应用、面积问题、增长率问题
【点评】
本题是一元二次方程在实际场景的典型应用，分别考查面积类和降价类问题，解题核心是找准等量关系列方程，需注意舍去不符合实际的解，难度适中。
【难度系数】
0.6
第(1)问：要计算小路宽度，需先确定活动区与小路组成的大长方形的长和宽。由于小路宽度为$x\ \mathrm{m}$，大长方形的长为活动区长加左右两侧小路宽度，即$(20+2x)\ \mathrm{m}$；宽为活动区宽加上下两侧小路宽度，即$(16+2x)\ \mathrm{m}$。根据总面积为$480\ \mathrm{m}^2$列方程，再舍去不符合实际意义的解。
第(2)问：两次降价百分比相同，设为$y$，第一次降价后价格为$50(1-y)$万元，第二次降价后价格为$50(1-y)^2$万元，结合最终价格32万元列方程，舍去不合理的解（降价百分比不超过100%）。
【解析】
(1)设小路的宽度是$x\ \mathrm{m}$。
活动区和小路组成的大长方形长为$(20+2x)\ \mathrm{m}$，宽为$(16+2x)\ \mathrm{m}$，根据总面积列方程：
$(20+2x)(16+2x)=480$
整理得：$x^2+18x-40=0$
解得：$x_1=2$，$x_2=-20$（宽度不能为负，舍去）。
答：小路的宽度为$2\ \mathrm{m}$。
(2)设每次降价的百分比为$y$，根据两次降价后价格为32万元列方程：
$50(1-y)^2=32$
解得：$y_1=0.2=20\%$，$y_2=1.8$（降价百分比不能超过100%，舍去）。
答：每次降价的百分比为$20\%$。
【答案】
(1)小路的宽度为$2\ \mathrm{m}$；(2)每次降价的百分比为$20\%$
【知识点】
一元二次方程的应用、面积问题、增长率问题
【点评】
本题是一元二次方程在实际场景的典型应用，分别考查面积类和降价类问题，解题核心是找准等量关系列方程，需注意舍去不符合实际的解，难度适中。
【难度系数】
0.6
10. 某农场计划建造一个矩形养殖场,为充分利用现有资源,该矩形养殖场一面靠墙(墙的长度为 10 m),另外三面用栅栏围成,中间再用栅栏把它分成两个面积比为$1:2$的矩形,已知栅栏的总长度为 24 m,设较小矩形的宽为$x\ \mathrm{m}$(如图).
(1)若矩形养殖场的总面积为$36\ \mathrm{m}^2$,求此时$x$的值.
(2)该农场想要建一个$50\ \mathrm{m}^2$的矩形养殖场,这个想法能实现吗?请说明理由.
(1)若矩形养殖场的总面积为$36\ \mathrm{m}^2$,求此时$x$的值.
(2)该农场想要建一个$50\ \mathrm{m}^2$的矩形养殖场,这个想法能实现吗?请说明理由.
答案
10. (1)
∵$BC=x$ m,且矩形面积比为$1:2$,
∴$CD=2x$ m,
∴$BD=3x$ m,$AB=CF=DE=\frac{1}{3}(24-BD)=(8-x)$m. 根据题意,得$3x(8-x)=36$,整理,得$x^2-8x+12=0$,解得$x_1=2$,$x_2=6$. 当$x=2$时,$3x=3×2=6＜10$,符合题意;当$x=6$时,$3x=3×6=18＞10$,不符合题意,舍去.即此时 x 的值为 2.
(2)这个想法不能实现. 理由如下:假设这个想法能实现,则根据题意,得$3x(8-x)=50$,整理,得$3x^2-24x+50=0$,
∵$b^2-4ac=(-24)^2-4×3×50=-24＜0$,
∴方程没有实数根,
∴假设不成立,即这个想法不能实现.
∵$BC=x$ m,且矩形面积比为$1:2$,
∴$CD=2x$ m,
∴$BD=3x$ m,$AB=CF=DE=\frac{1}{3}(24-BD)=(8-x)$m. 根据题意,得$3x(8-x)=36$,整理,得$x^2-8x+12=0$,解得$x_1=2$,$x_2=6$. 当$x=2$时,$3x=3×2=6＜10$,符合题意;当$x=6$时,$3x=3×6=18＞10$,不符合题意,舍去.即此时 x 的值为 2.
(2)这个想法不能实现. 理由如下:假设这个想法能实现,则根据题意,得$3x(8-x)=50$,整理,得$3x^2-24x+50=0$,
∵$b^2-4ac=(-24)^2-4×3×50=-24＜0$,
∴方程没有实数根,
∴假设不成立,即这个想法不能实现.
解析
【分析】
首先根据两个矩形面积比为1:2，结合小矩形宽为x m，得出大矩形宽为2x m，进而得到平行于墙的栅栏总长度BD=3x m；再由栅栏总长度24 m，算出垂直于墙的栅栏每段长度为(8 - x) m。利用矩形面积公式得到总面积表达式，据此列方程求解。第一问解方程后需验证BD是否不超过墙长10 m，舍去不符合题意的解；第二问假设面积为50 m²，列方程后通过判别式判断方程是否有实根，确定想法是否可行。
【解析】
(1) 由两个矩形面积比为1:2，小矩形宽为x m，得大矩形宽为2x m，因此平行于墙的栅栏总长度BD = x + 2x = 3x (m)。
栅栏总长度为24 m，垂直于墙的栅栏共3段，每段长度相等，故AB = CF = DE = (24 - BD)÷3 = (24 - 3x)÷3 = (8 - x) (m)。
根据总面积为36 m²，列方程：
3x(8 - x) = 36
整理得：x² - 8x + 12 = 0
因式分解得：(x - 2)(x - 6) = 0
解得：x₁ = 2，x₂ = 6。
验证：当x=2时，BD=3×2=6 m ＜ 10 m，符合墙长限制；当x=6时，BD=3×6=18 m ＞10 m，不符合，舍去。
故此时x的值为2。
(2) 假设能建成50 m²的养殖场，根据面积公式列方程：
3x(8 - x) = 50
整理得：3x² - 24x + 50 = 0
计算判别式Δ = (-24)² - 4×3×50 = 576 - 600 = -24 ＜ 0
因为判别式小于0，该一元二次方程无实数根，不存在符合条件的x值，因此想法不能实现。
【答案】
(1) x的值为2；(2) 这个想法不能实现。
【知识点】
一元二次方程应用、矩形面积计算
【点评】
本题结合实际场景考查一元二次方程的应用，关键是理清栅栏各部分长度关系，需验证解的实际合理性，同时利用判别式判断方程根的情况，是中等难度的实际应用题。
【难度系数】
0.4
首先根据两个矩形面积比为1:2，结合小矩形宽为x m，得出大矩形宽为2x m，进而得到平行于墙的栅栏总长度BD=3x m；再由栅栏总长度24 m，算出垂直于墙的栅栏每段长度为(8 - x) m。利用矩形面积公式得到总面积表达式，据此列方程求解。第一问解方程后需验证BD是否不超过墙长10 m，舍去不符合题意的解；第二问假设面积为50 m²，列方程后通过判别式判断方程是否有实根，确定想法是否可行。
【解析】
(1) 由两个矩形面积比为1:2，小矩形宽为x m，得大矩形宽为2x m，因此平行于墙的栅栏总长度BD = x + 2x = 3x (m)。
栅栏总长度为24 m，垂直于墙的栅栏共3段，每段长度相等，故AB = CF = DE = (24 - BD)÷3 = (24 - 3x)÷3 = (8 - x) (m)。
根据总面积为36 m²，列方程：
3x(8 - x) = 36
整理得：x² - 8x + 12 = 0
因式分解得：(x - 2)(x - 6) = 0
解得：x₁ = 2，x₂ = 6。
验证：当x=2时，BD=3×2=6 m ＜ 10 m，符合墙长限制；当x=6时，BD=3×6=18 m ＞10 m，不符合，舍去。
故此时x的值为2。
(2) 假设能建成50 m²的养殖场，根据面积公式列方程：
3x(8 - x) = 50
整理得：3x² - 24x + 50 = 0
计算判别式Δ = (-24)² - 4×3×50 = 576 - 600 = -24 ＜ 0
因为判别式小于0，该一元二次方程无实数根，不存在符合条件的x值，因此想法不能实现。
【答案】
(1) x的值为2；(2) 这个想法不能实现。
【知识点】
一元二次方程应用、矩形面积计算
【点评】
本题结合实际场景考查一元二次方程的应用，关键是理清栅栏各部分长度关系，需验证解的实际合理性，同时利用判别式判断方程根的情况，是中等难度的实际应用题。
【难度系数】
0.4
