11. 中考新考法 新定义问题 （2025·苏州相城区期末）我们规定:若关于$x$的一元一次方程$ax=b$的解为$b+a$,则称该方程为“和解方程”,例如:方程$2x=-4$的解为$x=-2$,而$-2=-4+2$,则方程$2x=-4$为“和解方程”.
请根据上述规定解答下列问题:
(1)下列关于$x$的一元一次方程是“和解方程”的是(填序号).
①$3x=-5$;②$5x=-2$;③$-3x=\dfrac{9}{4}$.
(2)若关于$x$的一元一次方程$4x=8a-12$是“和解方程”,求$a$的值.

(1)③ [解析]由方程 $3x=-5$,解得 $x=-\dfrac{5}{3}$,且$-5+3=-2≠-\dfrac{5}{3}$,
∴方程 $3x=-5$ 不是“和解方程”;
由方程 $5x=-2$,解得 $x=-\dfrac{2}{5}$,且$-2+5=3≠-\dfrac{2}{5}$,
∴方程 $5x=-2$ 不是“和解方程”;
由方程 $-3x=\dfrac{9}{4}$,解得 $x=-\dfrac{3}{4}$,且$-3+\dfrac{9}{4}=-\dfrac{3}{4}$,
∴方程 $-3x=\dfrac{9}{4}$ 是“和解方程”.
(2)由方程解得 $x=2a-3$.
∵一元一次方程是“和解方程”,
∴$4+(8a-12)=2a-3$,解得 $a=\dfrac{5}{6}$.

【分析】
首先明确“和解方程”的定义：对于一元一次方程$ax=b$，若它的解$x$满足$x = b + a$，则该方程为“和解方程”。解题时，第(1)问需分别求出每个方程的解，再验证解是否等于“常数项+一次项系数”；第(2)问先求出给定方程的解，再根据“和解方程”的定义，让解等于“常数项+一次项系数”，据此列方程求解$a$的值。
【解析】
(1) 对于方程①$3x=-5$，解得$x=-\dfrac{5}{3}$，常数项为$-5$，一次项系数为$3$，故常数项+一次项系数$=-5+3=-2$，因为$-\dfrac{5}{3}≠-2$，所以不是“和解方程”；
对于方程②$5x=-2$，解得$x=-\dfrac{2}{5}$，常数项为$-2$，一次项系数为$5$，故常数项+一次项系数$=-2+5=3$，因为$-\dfrac{2}{5}≠3$，所以不是“和解方程”；
对于方程③$-3x=\dfrac{9}{4}$，解得$x=-\dfrac{3}{4}$，常数项为$\dfrac{9}{4}$，一次项系数为$-3$，故常数项+一次项系数$=\dfrac{9}{4}+(-3)=-\dfrac{3}{4}$，因为解等于该值，所以是“和解方程”。
(2) 解方程$4x=8a-12$，得$x=\dfrac{8a-12}{4}=2a-3$。
因为该方程是“和解方程”，所以解等于常数项+一次项系数，即$2a-3=(8a-12)+4$，
化简得$2a-3=8a-8$，移项得$-6a=-5$，解得$a=\dfrac{5}{6}$。
【答案】
(1)③；(2)$a=\dfrac{5}{6}$
【知识点】
一元一次方程的解、新定义运算
【点评】
本题为中考新考法的新定义问题，核心是准确理解“和解方程”的定义，将新定义转化为一元一次方程的解的关系，进而求解，考查学生对新定义的理解能力和一元一次方程的运算能力，难度适中。
【难度系数】
0.6

12. 能不能从 $(a+3)x=b-1$ 得到 $x=\dfrac{b-1}{a+3},$ 为什么？反之, 能不能从 $x=\dfrac{b-1}{a+3}$ 得到等式
$(a+3)x=b-1$, 为什么？

当 $a=-3$ 时,从$(a+3)x=b-1$ 不能得到 $x=\dfrac{b-1}{a+3}$,因为0不能做除数.
从 $x=\dfrac{b-1}{a+3}$ 可以得到等式$(a+3)x=b-1$,这是根据等式的基本性质2,从 $x=\dfrac{b-1}{a+3}$,可知 $a+3≠0$.

【分析】要解决这两个问题，需依据等式的基本性质2（等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立），同时注意除法运算中除数不能为0的规则。第一个变形是将等式两边除以$(a+3)$，必须保证$(a+3)≠0$；第二个变形是将等式两边乘$(a+3)$，由$x=\dfrac{b-1}{a+3}$可知分母$a+3≠0$，因此可直接变形。
【解析】1. 从$(a+3)x = b-1$不一定能得到$x=\dfrac{b-1}{a+3}$：根据等式的基本性质2，等式两边同时除以同一个数时，该数不能为0。当$a=-3$时，$a+3=0$，此时除以0无意义，因此不能得到$x=\dfrac{b-1}{a+3}$；只有当$a≠-3$即$a+3≠0$时，才能得到该式。2. 从$x=\dfrac{b-1}{a+3}$一定能得到$(a+3)x = b-1$：因为分式$\dfrac{b-1}{a+3}$有意义，隐含了分母$a+3≠0$，根据等式的基本性质2，等式两边同时乘不为0的数$a+3$，等式仍然成立，因此可得到$(a+3)x = b-1$。
【答案】当 $a=-3$ 时,从$(a+3)x=b-1$ 不能得到 $x=\dfrac{b-1}{a+3}$,因为0不能做除数.从 $x=\dfrac{b-1}{a+3}$ 可以得到等式$(a+3)x=b-1$,这是根据等式的基本性质2,从 $x=\dfrac{b-1}{a+3}$,可知 $a+3≠0$.
【知识点】等式的基本性质、分式有意义的条件
【点评】本题考查等式性质的应用，易错点在于忽略除法运算中除数不能为0的限制，需仔细分析变形的前提条件，是基础且易出错的题型。
【难度系数】0.5

13. 方程思想 小明课后利用方程的知识探索发现，所有纯循环小数都可以化为分数，例如：化$0.\dot{3}$为分数，解决方法是：设$x=0.\dot{3}$，即$x=0.333···$，将方程两边都乘10，得$10x=3.333···$，即$10x=3+0.333···$.
因为$x=0.333···$，所以$10x=3+x$，
所以$9x=3$，即$x=\dfrac{1}{3}$，所以$0.\dot{3}=\dfrac{1}{3}$.
尝试解决下列各题：
(1)把$0.\dot{1}$化成分数为；
(2)请利用小明的方法，把纯循环小数$0.\dot{1}\dot{6}$化成分数.
精题详解

(1)$\dfrac{1}{9}$ [解析]设 $x=0.\dot{1}$,即 $x=0.111···$,
将方程两边都乘10,得 $10x=1.111···$,
即 $10x=1+0.111···$.
因为 $x=0.111···$,所以 $10x=1+x$,
所以 $9x=1$,即 $x=\dfrac{1}{9}$,所以 $0.\dot{1}=\dfrac{1}{9}$.
(2)设 $x=0.\dot{1}\dot{6}$,即 $x=0.1616···$,
将方程两边都乘100,得 $100x=16.1616···$,
即 $100x=16+0.1616···$.
因为 $x=0.1616···$,所以 $100x=16+x$,
所以 $99x=16$,即 $x=\dfrac{16}{99}$,所以 $0.\dot{1}\dot{6}=\dfrac{16}{99}$.

【分析】
本题利用方程思想将纯循环小数转化为分数，核心思路是：设纯循环小数为$x$，根据循环节的位数，将方程两边乘以10的对应幂次，使转化后的小数与原小数的循环部分完全相同，通过等式变形消去无限循环的小数部分，解出$x$即可得到对应分数。一位循环节的小数乘10，两位循环节的小数乘100，以此类推。
【解析】
(1) 设$x = 0.\dot{1}$，即$x = 0.111···$，
将方程两边都乘10，得$10x = 1.111···$，
即$10x = 1 + 0.111···$，
因为$x = 0.111···$，所以$10x = 1 + x$，
移项得$9x = 1$，解得$x = \frac{1}{9}$，故$0.\dot{1} = \frac{1}{9}$。
(2) 设$x = 0.\dot{1}\dot{6}$，即$x = 0.1616···$，
将方程两边都乘100，得$100x = 16.1616···$，
即$100x = 16 + 0.1616···$，
因为$x = 0.1616···$，所以$100x = 16 + x$，
移项得$99x = 16$，解得$x = \frac{16}{99}$，故$0.\dot{1}\dot{6} = \frac{16}{99}$。
【答案】
(1)$\frac{1}{9}$；(2)$\frac{16}{99}$
【知识点】
方程思想、纯循环小数化分数
【点评】
本题通过方程思想解决纯循环小数化分数的问题，关键是根据循环节位数确定乘10的幂次以消去循环部分，步骤清晰易掌握，是方程思想在数的转化中的基础应用。
【难度系数】
0.5